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Video课程教案、知识点、字幕

第三个问题

大家看这图

质量为m的一个圆形的刚体

受外力矩

M在平面上纯滚

圆心为O

注意质心为c

它是不均匀的

所以它的质心不在圆心上

质心在这一点上c

瞬心为Q

写出此刻

刚体转动的微分方程

下面我们来解答这个问题

这个求解过程

了解一下就可以了

第一个方法

在瞬心Q为基点的

平动参考系S′系讨论

就我建立瞬心参考系

在瞬心参考系讨论

注意它是非惯性系

它有惯性力

于是我这个刚才已经讨论过

一个圆形物体

它在平面上纯滚的时候

Q点的加速度是ω平方r

是竖直向上ω平方r

这已经讨论了

那么

我们惯性力的合力

作用在哪儿呢

作用在质心上

它等于负的mω平方r

它是这个方向

这个在这儿

是惯性力的合力

作用在质心上

对于瞬心轴

应用角动量定理

于是就是真实的力矩

加上惯性力的力矩

那么惯性力力矩

可以写成这个形式

就是rc叉上它总的惯性力的合力

作用在质心上

就可以写成这个形式

它等于对于Q点的转动惯量

乘以角加速度

这是转动定律

那么Q点的转动惯量

等于rc加上mrc的平方

这就是我们写的正确的方程

下面第二个方法

我在惯性系S参照系讨论

以前为了避免惯性力的出现

我们常常在惯性系里面

跟某一点重合的一个定点来讨论

这样的话就没有惯性力了

于是我们也尝试用这种办法

来解这个问题

许多同学曾经向我提过这样问题

我选一个跟Q点重合的

地面上的固定点

应用角动量定理

或者转动定律

不就可以不涉及到惯性力了吗

所以我们现在来讨论这个问题

为避免惯性力在惯性系讨论

与Q重合的平面上的点是P点

于是对P的定轴的转动定律

就是真实的力矩

等于对P点的总角动量的变化率

这个角动量因为在这一瞬时

它是一个纯滚动

所以它的角动量等于

对这个P点的转动惯量

乘以角速度

那么这个要求导的话

等于不等于Ip乘以角加速度呢

这是一个问题

为什么呢

因为我们注意到

这个Ip不是常数

因为你这个绕着这个Q点转动

这是一个定轴转动

现在你这是一个刚体

刚体在滚动过程中

你这个P点

跟Q点在这一瞬时重合

这没问题

但是你往前一滚的时候

这个转动惯量就发生变化了

所以转动惯量不是常数

因此我对这个来求导的时候

先对它求导就变成了Ipα

然后对它求导

是对它求导再乘以ω

我们可以讨论一下对它的求导

我们来看一下

对它求导的时候

因为Ip等于Ic加上mrc点上rc

这是用那个平行轴定理

这个是个常量

所以对它求导是零

再对它求导

大家看对它求导

等于对它求导点上它

再加上对它求导点上它

对它求导是什么呢

就是这个vc

所以等于2倍的mrc点上vc

vc这是rc是这个方向

vc是跟它垂直的

于是这一点积是零

所以这一项是零了

于是对它的导数就等于

这个外力矩等于Ip乘以α

只剩下这一项了

或者因为Ip就等于IQ

就等于Iqα

跟我们前边

用瞬心参考系得到的正确结果

不相同了

问题在什么地方呢

这里什么地方出错了呢

像这个平行轴定理没有问题

然后rc的导数就是vc

它的导数vc

跟这个rc垂直

也没有问题

所以它的点积是零

也没有问题

那问题出在哪儿呢

问题出在这儿

此刻以Q为瞬心纯滚，

才有对P点的轴的角动量

等于Ip乘以ω

过了这个时刻

在这时刻之前

在这时刻之后

这个式子都不成立

而我们要求导的话

我们知道

导数必须是

这个函数它的增量

除以时间的增量

它必须是一个稳定的函数

才可以对

你这个关系式只在这一时刻对

其他时刻不对

你怎么对它求导

所以这个式子是不对的

用它来求导是不对的

正确的是怎么样呢

正确的应该用类柯尼希定理

而且所有瞬时的关系

比如vc等于ω叉rc等等

统统都不能使用

所以我们下面来看

我们正确的计算应该怎么计算

我们正确的计算

利用类柯尼希定理

对P点的角动量

等于质心系的角动量

加上质心大质点的角动量

质心大质点的角动量

就等于这个质量乘以vc

那么在质心系的角动量

就等于Ic乘以ω

这是没有错的

这个关系式

是对任何时候都是对的

所以这个没有问题

然后

我们来看我对它来求导

这一项求导就是Ic乘以α

然后对这个来求导

对这个求导出来两项

先对它求导

是vc

vc叉vc是零没有

然后剩下的就是rc叉上对它求导

对它求导是ac

变成了mrc叉上ac

下面我们就讨论ac

大家看这图

我们讨论ac呢

我想求ac的绝对加速度

我要用一下

这个O点的动参考系

以O点为中心的动参考系

来计算它

于是它等于

在O点的动参考系里面的

相对加速度 ac′

然后加上O点的加速度

还是利用相对运动的关系来讨论

O点的加速度

就是我们前面讨论过

一个圆形物体纯滚动的时候

它的O点加速度就是α叉上r

那么ac′就是在这个参考系里面

这个c点的加速度

在这个参考系看

c点做一个圆周运动

于是有一个负的ω平方rc′

还有一个α叉上rc′

出来两项

一项是切向的

一项是法向的加速度

那么大家看

这有个α叉上r

这儿有一个α叉上rc′

我们看这两个加起来

把这两个合起来

等于α叉上r+rc′

大家看这图r加上rc′

正好等于rc

所以就变成什么呢

变成α叉上rc

前边这个不变

所以变成了α叉上rc

所以ac就等于这两项

我们把这ac代到这里边来

于是就得到了mrc叉上ac

等于m这个加上这一项叉积

我们来看rc叉上rc′

等于rc叉上rc减去r

那么这两项一叉积是零

所以等于负的rc叉上r

它叉上它

可以把它写出来α

然后rc点rc

然后再把它取出来α

点上rc

这俩互相垂直

所以点积就是零

所以它叉上它等于rc的平方α

于是就得这个结果

就是mrc叉上ac等于这个结果

于是

我的真实的外力矩

就等于Icα加上这一项

于是就等于

Ic加上mrc的平方α

加上这一项

就把这个结果代进来加上这一项

这样的话得到的结果

跟我们（1）法里面结果完全相同

我们这个结果是正确的

计算的方法也是正确的

好今天就讲到这儿

力学课程列表：

微积分简介

-一.导数与微分

-二. 积分

绪论

-绪论

Ch1.质点运动学

-§1 矢量简介

-Ch1.质点运动学--习题

-§2质点运动学

-§3 相对运动-参考系变换

-习题

--习题

Ch2. 质点动力学

-§1牛顿力学.力

-§2万有引力定律

-习题--作业

-§3 牛顿力学应用

-§4.非惯性系.惯性力(上)

-习题

--习题

-§4.非惯性系.惯性力(下)

-习题

--习题

Ch3.动量

-§1动量.质点动量定理

-§2质点系动量定理

-习题

-§3质心和质心运动方程

Ch4.功和能

-§1动能.功.动能定理

-Ch4.功和能--习题

-§2保守内力.势能

-§3机械能定理.机械能守恒

-习题

--习题

-§4自由碰撞

Ch5.角动量

-§1质点角动量.质点角动量定理

-习题--作业

-§2质点系角动量定理

-习题

--习题

-§3万有引力场中质点运动

-§4.刚体 (上)

-习题

--习题

-§4.刚体 (下)

-习题

--习题

Ch6.连续介质力学

-§1应力应变

-§2.固体形变和流体静力学(上)

-§2.固体形变和流体静力学(下)

-Ch6.连续介质力学--习题

-§3理想流体动力学(上)

-习题

--习题

-§3理想流体动力学(下)

-§4粘滞流体动力学(上)

-习题

--习题

-§4粘滞流体动力学(下)

-§5流体阻力(上)

-习题

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-§5流体阻力(下)

Ch7. 振动和波

-§1自由振动.简谐振动

-Ch7. 振动和波--习题

-§2阻尼和受迫振动

-§3简谐振动合成(上)

-习题

--作业

-§3简谐振动合成(下)

-§4简谐波

-习题

--作业

-§5波动方程.波速

-习题

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-§6衍射反射折射多普勒效应

-§7简谐波迭加.非谐波传播

-习题

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-§8驻波

-习题

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Ch8.狭义相对论

-§1 基本原理

-§2 L氏坐标变换.速度变换(上)

-习题--作业

-§2 L氏坐标变换.速度变换(下)

-习题

--习题

-§3 相对论动力学基础

-习题

--习题

-§4 质量.动量.能量.力相对论变换;不变量

-习题

--习题

Ch9.广义相对论

-§1.基本原理

-§2史瓦西场中时间与空间(上)

-§2史瓦西场中时间与空间(下)

-§3大爆炸宇宙学简介

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