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Video课程教案、知识点、字幕

有了力矩和角动量

我们就可以建立起

质点的角动量定理

首先看微分形式

在惯性系

选一个固定点O

作为参考点

也就是我们的取矩点

对质点m定理

我们先把定理给出来

就是M等于dL/dt

就是质点对固定点的力矩

等于质点角动量的变化率

下面看分量式

也就是对固定轴的角动量定理

分别是对x轴 y轴 z轴

看对z轴的角动量定理

对z轴的力矩

等于对z轴角动量的变化率

下面证明质点角动量定理

那么由质点动量定理

力等于动量变化率

那么在这个式子两边

对O取矩

对O取矩

就是拿r去叉等式的两边

这边就是r×F

这没什么问题

这边应该是r×P一点

r×P一点

并不等于r×P的导数

因为r×P求导

应该出来两项

一项是r×上P一点

另一项还是r一点叉上P

所以r×P一点

等于这个式子减去r一点叉P

那么r×P就是角动量

所以这一项

就是角动量的变化率

因此我们要说

r×F力矩等于角动量变化率

要说明这一项是0

注意

我们以前一说

都说对固定点

那么固定点它的条件

它用在哪儿呢

就在这里出现了

r一点等于多少呢

因为你O点是定点

所以O点是确定的固定点

于是

失径r一点

就是质点的速度

因此这一项就是质点的速度

叉上质点动量是等于m乘v

等于v叉上v

v叉v是0

所以这一项是0

因此

这一项是0

因为它是质点运动的速度

它为什么是质点运动速度呢

因为你选择是定点

所以才有这个条件

它是0了

于是我们就得到了结果

就是力矩等于

角动量的变化率

这是我们的微分形式

下面我们讨论一下积分形式

积分形式

把微分形式的这个dt乘过来

于是dL等于Mdt

两边积分

左边积分

就是角动量的增量

右边积分

就是力矩对时间的积分

那么力矩对时间的积分大家看

Mdt

M是等于谁呢

r×F

F乘dt我们知道

它是元冲量dI

于是

这个Mdt就可以写成r×dI

也就是说

dI的元冲量对O点取矩

所以我们把这一项

称为元冲量矩

元冲量对O点取矩

称为元冲量矩

所以

我这里面看

这是力矩对时间的积分

也可以看作

元冲量矩的积分

元冲量矩的积分

就称为冲量矩

所以积分形式

可以写作在一段时间里边

对固定点O点

角动量的增量Δ

L等于谁呢

等于力矩对时间的积分

或者等于冲量矩

大家注意

冲量矩是元冲量矩的积分

不是说我先求出冲量矩I

I取矩

不是这意思

它是元冲量矩的积分

以后我们都这么叫

希望大家注意

它的物理意义

那么写出分量式

就是对轴的角动量定理

的积分形式

大家看

这是对x轴 y轴 z轴

分别是这样的话

对三个固定轴的

角动量定理的积分形式

我们看一个例子

一个轻绳挂着一个单摆

摆长是r

求它的运动方程

m做一个平面运动

我们现在考虑对m

第一种方法牛顿第二定律

我们知道绳子对它有个张力

这张力是沿着径向

但是是未知的

为了避开这个未知力

我们选切向

对切向方程的时候

就是负的mgsinθ

等于mrθ两点

这就是切向方程

那么这是第一种方法

第二种方法

我们用角动量定理

角动量定理

我们取固定轴

对z轴的角动量定理

大家看

我现在选择了x轴 y轴 z轴

已经确定了

就是这个方向是z轴

z轴有了

于是z轴的正方向

也就是角动量正方向

力矩正方向

都由z来决定

就有了

那么这个时候

我们用角动量定理来讨论的时候

我们就不像刚才

要想方设法的避开这个未知力

所以选了切向

现在我们用了角动量定理

正大光明的

它这个力的力矩就是0

因为它通过原点

不必再去做过多的考虑

所以这就是角动量定理的

一个很大的优势

所以我对z轴

来应用角动量定理的时候

未知力已经是

它的影响力矩是0

于是我们直接

就可以写出方程来

就是现在对z轴的矩

只有重力矩

重力称以它的力臂

力臂是rsinθ

但是它的方向

跟z轴方向正好相反

所以是负的rmgsinθ

等于谁呢

等于它角动量

角动量是r乘以mv

就是r乘mv

它的变化率

它的变化率v等于是θ

一点乘以r

所以这写作mr方θ两点

然后把这个m消掉

最后得到这样一个方程

我们看到这就是用角动量定理

解决这个问题

这里有个问题

大家看

我现在是用绳子

系着这个小球

做一个来回的摆动

绳子特别是柔绳

它的力是沿着径向

这没有问题

我问大家

如果我不是柔绳

而是一根细杆

然后上边固定一个质点m

做一个摆动

我们刚才的讨论方法和结论

都正确不正确呢

大家看

如果是杆的话

我现在对m来讨论

杆对m的力

除了径向力之外

还可能出现它的切向力

于是

你用牛顿第二定律的时候

我选择切向

有可能还伴随着一个

未知的切向力

你用角动量定理

讨论对它这个轴的力矩的时候

除了重力矩之外

切向力也有力矩

所以我们刚才讨论

都要考虑考虑有问题了

力学课程列表：

微积分简介

-一.导数与微分

-二. 积分

绪论

-绪论

Ch1.质点运动学

-§1 矢量简介

-Ch1.质点运动学--习题

-§2质点运动学

-§3 相对运动-参考系变换

-习题

--习题

Ch2. 质点动力学

-§1牛顿力学.力

-§2万有引力定律

-习题--作业

-§3 牛顿力学应用

-§4.非惯性系.惯性力(上)

-习题

--习题

-§4.非惯性系.惯性力(下)

-习题

--习题

Ch3.动量

-§1动量.质点动量定理

-§2质点系动量定理

-习题

-§3质心和质心运动方程

Ch4.功和能

-§1动能.功.动能定理

-Ch4.功和能--习题

-§2保守内力.势能

-§3机械能定理.机械能守恒

-习题

--习题

-§4自由碰撞

Ch5.角动量

-§1质点角动量.质点角动量定理

-习题--作业

-§2质点系角动量定理

-习题

--习题

-§3万有引力场中质点运动

-§4.刚体 (上)

-习题

--习题

-§4.刚体 (下)

-习题

--习题

Ch6.连续介质力学

-§1应力应变

-§2.固体形变和流体静力学(上)

-§2.固体形变和流体静力学(下)

-Ch6.连续介质力学--习题

-§3理想流体动力学(上)

-习题

--习题

-§3理想流体动力学(下)

-§4粘滞流体动力学(上)

-习题

--习题

-§4粘滞流体动力学(下)

-§5流体阻力(上)

-习题

--习题

-§5流体阻力(下)

Ch7. 振动和波

-§1自由振动.简谐振动

-Ch7. 振动和波--习题

-§2阻尼和受迫振动

-§3简谐振动合成(上)

-习题

--作业

-§3简谐振动合成(下)

-§4简谐波

-习题

--作业

-§5波动方程.波速

-习题

--习题

-§6衍射反射折射多普勒效应

-§7简谐波迭加.非谐波传播

-习题

--习题

-§8驻波

-习题

--习题

Ch8.狭义相对论

-§1 基本原理

-§2 L氏坐标变换.速度变换(上)

-习题--作业

-§2 L氏坐标变换.速度变换(下)

-习题

--习题

-§3 相对论动力学基础

-习题

--习题

-§4 质量.动量.能量.力相对论变换;不变量

-习题

--习题

Ch9.广义相对论

-§1.基本原理

-§2史瓦西场中时间与空间(上)

-§2史瓦西场中时间与空间(下)

-§3大爆炸宇宙学简介

Video笔记与讨论

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