Video在线视频

下面我们由保守力

引出势能来

什么是保守力呢

就是做功跟路程无关

只跟它的始末状态有关

于是我们就可以把功

这保守力做功

当做一个过程量

跟谁呢

跟状态量建立起关系来

因为它做功跟路径无关

只取决于始末态

所以就跟始末态的

某一个状态量联系起来了

我们就用保守力做功

作为一个过程量

找出跟它对应的状态量

就引出了势能

我们来看

势能就是一个

跟保守力做功相对应的状态量

我们就定义

什么是势能呢

一个保守力

它从a到b做的功

等于谁呢

等于对应的一个状态量

我们称之为势能

大家注意

不是势能的增量

而是势能的负增量

保守内力功等于

该保守内力所对应的

势能的负增量

这是跟我们以前不一样的

我们以前定义一个过程量跟

状态量的增量

总是直接等于

这个有一个负号

为什么有负号

是来自能量守恒

就是说

保守力做正功

应该势能减小

比如说我们知道

一个物体放在高处

它具有重力势能

它从高处掉下来

保守力是谁呢

是重力

重力做正功

做正功怎么样呢

它势能是应该减小的

变成谁了呢

变成了物体的动能

所以这负号来自能量守恒

跟以前的对比

以前的过程量

就直接等于它的增量

只有在这里面

它的过程量等于增量的负值

这是非常重要的

我们知道

保守力做功

是一对内力的合功

因此

保守力不是单独属于某一个质点

而是属于系统

而且我们知道

一对保守内力做功

跟参考系无关

所以势能的增量

也跟参考系无关

我们现在确切定义的

是势能的增量

具体势能的大小

还要由势能的零点选择有关

所以

你现在只有势能的增量

是确切无疑的

你要想知道在这点势能多少

你先要定义

在那点势能是零

这样我们才能计算出来

现在假设我取r0处

这是一个确定位置

作为势能零点

也就是说

r0处的势能是零

于是

任意点r处的势能

就可以算出来

任意一点r处的势能

减去这点的势能

等于谁呢

我们按这个规矩知道

这个是一个增量

等于负的保守力做功

所以Ep(r)减去Ep(r0)

等于负的从r0到r做的功

而现在选择这点是零

所以就等于Ep

等于负的r0到r的积分

这个有负号我们总不愿意保留

我们希望它没有

于是把上下限一换

变成正的

任意点处向这个零点处

这个保守内力积分

就等于这一处的势能

这就是我们的计算

已知势能零点

来计算任意点的势能的公式

等于谁呢

就从任意点向势能零点

保守内力积分

就可以了

下面我们给大家引出

常见的几种势能

看保守力

坐标系 势能零点

然后势能

这是一系列的情况

首先保守力是重力

假如保守力是重力的话

我现在选坐标系竖直向上

这是零点

我选哪儿做势能的零点呢

选y等于零处做势能零点

于是任意点y处

它的重力势能就是mgy

这个可以用咱们刚才公式来积分

我就不做了

同学们可以回去试着做一下

用刚才的公式来积分一下

这是第一个重力

第二个保守力是什么呢

引力

这是一个大质点

把它看作不动

因为我们可以看作不动来计算

把它选择原点

这一点是另一个质点小m

它的位置是r

于是这个系统就有一个

引力势能

我选哪儿做势能零点呢

选m在无穷远处

作为重力势能零点

我们仍然用刚才的公式来积分计算

就发现

在r处的重力势能等于多少呢

负的GmM除以r

这就是引力

万有引力势能

我们再看弹性力

弹性力我这个坐标这么选

然后x等于零处

原长处作为势能零点

于是在x处的势能

等于kx^2/2

就是相对原长的伸长

就是这个x

于是kx^2/2

就是它的弹性势能

我们都可以用刚才的公式计算

这个计算我就不做了

同学们可以回去练习

我们看重力势能的表达

或者是一般势能表达

是跟你选的坐标系有关的

我们刚才选向上为正

然后选原点在这儿

它的重力势能写的是mgy

我现在以向下为正

还是把原点选在这儿

而且以它作为重力势能零点

这时候y处的势能

就是负的mgy

所以它的表达

跟这表达就不一样

这是你选择的坐标系不一样

引起的

这是我们说的

常见的真实保守力的势能

我们现在说一下

保守惯性力势能

如果惯性力是保守的

我们也可以同样定义它的势能

定义

保守惯性力的功

等于跟它相对应的

保守惯性力的势能的

也是负增量

也就是说

这是保守的惯性力

从a到b做的功

等于谁呢

等于从a到b

它所对应的势能的负增量

负的ΔE′惯性力的势能

这就是保守惯性力

所对应的势能

跟真实力的

保守力的势能定义是一样的

我们看一个例子

这是一个匀角速转动的水平圆盘

现在有一个质点m

我在圆盘为参考系来看

惯性离心力

m所受的惯性离心力

是不是保守的

这是第一点让你判断

如果是保守的话

我选这个原点处

作为惯性离心力势能的零点

让你求一下

惯性离心力的势能的表达式

所以我们来看一下

以圆盘作参考系

质点m所受的惯性离心力

等于多少呢

mω^2r′

那么大家一看就知道

这其实相当于保守有心力

对吧

所以从这里我们就已经看出

它应该是保守的

我们现在再多写一步

你这个惯性离心力

我在闭合曲线上的积分

这个跟dr一点积

等于谁呢

等于mω^2r′dr′

大家一看就知道

这变成标量积分了

所以它闭合曲线积分就是零

我再说明一下

一个积分号上面加一圈

表示在闭合路径上的积分

所以它确实是保守惯性力

下面我们来求一下

它的势能的表达式

在哪儿作为势能零点呢

在原点上

所以惯性离心力的势能

等于多少呢

等于任意点处r′处

向你的势能零点处积分

这一积分

最后结果是

-mω^2r'^2/2

这就是保守的惯性力

惯性离心力

以原点为势能零点

任意点处的

它的势能的表达式

然后我们再讨论

重力对质点系做的功

质点系的重力势能

这里边呢

重力是我们在解题过程中

考虑问题过程中

日常生活中

通常碰到的一种力

那么简单情况

比如一个质点

那么重力对质点做功

和这个质点它的重力势能

非常好算

这没问题

但是对一个质点系来说

重力对质点系做功

就是需要我们考虑和研究的了

这个常常碰到

比如说一个大的物体

我们可以初步看作刚体

看它从这儿移动到这儿

重力对它做功多少

甚至它在转动

甚至打着滚走

问你从这儿到这儿

重力做功多少

你能计算吗

所以这都是需要研究的

还有我如果是离散性的

比如我拿铁锹

把一锹沙子扬起来

沙子在空中飞舞

从这儿到这儿

那么重力对这个沙子质点系

做功多少

你会算吗

就是这样的问题我们里讨论一下

还有这样一个复杂的体系

质点系

它的重力势能等于多少

也是需要我们分析的

所以下面我说一下

它的计算

小范围内重力场是均匀的

也就是场强g是常矢量

我们现在就可以讨论

重力场中任意质点系

重力对它做的功如何计算

重力做功做的合功

就是对一个质点系做的合功

等于每个质点所受重力

点上它的位移

这里边这是常矢量

可以把它拿出来

点上这个

而这个微分号跟求和号又可以分开

可以先求和后微分

把它放进去的话

这一求和的话

那么这个求和等于多少呢

我们根据质心的定义知道

质量乘以矢径的和

等于总质量乘以质心的矢径

这是我们以前讨论的公式

于是我再把M是常数提出来

就变成了

Mg·drc

大Mg是谁呢

什么意思呢

就是把所有的质量

集中在一起产生的重力

也就是整个质点系所受的

重力之和

或者我们称为合重力

点上drc

是对谁做功呢

对质心做功

所以最后我们得到一个

非常简单的结果

无论质点系怎么运动

重力对它做功

都等于谁呢

都等于合重力

就是整个质点系受到的合重力

对质心做功

所以你这一个大的物体刚体

打着滚走

你就研究质心的位移就行了

合重力对质心做的功

这是重力对质点系做功

可以简化为

合重力对质心做功

那么质点系的重力势能呢

我们看这儿

质点系每一个质点的

我选坐标y坐标向上

选y等于零

作为重力势能的零点

于是每一个质点

它的重力势能就是migyi

就是它所对应的yi

一求和

还可以把g提出来

最后结果就是

总的质量乘以yc

也就是说

我们一个质点系

它的势能等于多少呢

就等于把所有质量集中在质心上

这个质心大质点的势能

就是我们的质点系的重力势能

所以等于质心大质点的势能

这时候质心就是重心

那么我们就讨论了

重力对一个质点系做功

和重力势能的关系

还有一个对这个问题的一种说明

什么说明呢

我们前边曾经说过

我在惯性系做功

可以把它分解成什么呢

分解成在质心系做功

加上外力的矢量和

对质心大质点的做功

所以等于这个做功

那么我们可以证明

在质心系里面

重力对质点做的功等于零

大家看

这是在质心系里面

第i个质点它受的重力

点上第i个质点

在质心系的位移

就是对第i个质点做的功

把g提出来

于是变成它

这项是零

所以在质心系里面

重力对质点做的功是零

我们刚才说

我可以把这个惯性系做功

等于在质心系做功

和这些力的合起来总和

对质心做的功

所以它在质心系做功是零

于是它只剩下对质心做功了

所以跟刚才结论是一样的

这里还要说明一下

做功对力的要求限制最严

比如说我要想说讨论

力的矢量和

力是可以平移的

随便平移

我只需要求和就行

但是对做功的时候

力不能离开作用点

因为

你做功是力点上质点的位移

不能离开作用点

所以在做功问题里面

对于力的限制最严格