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Video课程教案、知识点、字幕

第二部分

定常流动

一般情况下

流速场不但跟地点有关

还跟时间有关

就是流速场是在随着时间变化的

这样的话

叫不定常流动

在特定情况下

流速场与时间无关

是一个稳定的流速场

我们称为流体做定常流动

以后我们主要讨论的

就是定常流动

所以定常流动最简单

也是我们主要的讨论的对象

定常流动有特点

它第一个特点

它∂v/∂t等于零

因为它流速场跟时间无关

所以对它求偏导数

它对时间的偏导数是零

但是一般来说

它加速度不是零

为什么呢

就是质元从一点流到另一点

如果流速场不均匀

也就是流速场的梯度不等于零的话

那么它的加速度

虽然∂v/∂t等于零了

但是它的加速度等于v·▽v

它不等于零

所以

定常流动的时候

∂v/∂t=0

速度场对时间导数是零

但是加速度不一定是零

第二个

定常流动的时候

流线跟迹线重合

流线迹线不随时间改变

我们来说明一下

流线跟迹线为什么重合

迹线如图

大家看这是一个质元

它流动的迹线

也就是它的运动轨迹

t1时刻它在这儿

t2时刻它在这儿

t3时刻它在这儿

t1时刻速度是v1

t2速度是v2

t3速度是v3

那么它在这儿时候有这样的速度

我们刚才说

定常流动的时候

速度分布与时间无关

你在这个时候

这点的流速是v1

在任何时间

这点的流速都是v1

所以这个流速是v2

任何时间看这点流速都是v2

所以你刚才是由

迹线来讨论的流速的分布

你就相当于流线讨论的

流速的分布

所以

这既是流体质元的运动轨迹

也是流速场的流线

所以迹线跟流线就重合了

第三

压强

ρ也就是密度分布与时间无关

也就是说它是一个稳定的

常态的分布

为什么ρ跟t无关呢

因为刚才说了

迹线跟流线是重合的

迹线跟流线不随时间改变

既然迹线比如这是流体的

质元的运动轨迹

不随时间改变

因此我流进来一个

我就流出去一个

这个地方不会增加

也不会减少质元的分布

质元的分布不改变

那么它的ρ密度

就不随时间变化

密度不随时间变化

压强也不随时间变化

所以整个的这两个参量

都不随时间变化

所以在定常流动的时候

情况就简单的多

它的迹线跟流线重合

流线是不会相交的

所以迹线也不会相交

所以是非常的清晰

然后各种参量的分布

都和时间无关

所以在定常流动的时候

情况要简单的多

我们来看第四

是否为定常流动

是跟参考系有关的

在有的参考系看

这个流动是定常流动

但是同样一个流动

再换一个参考系看

可能就是不定常流动了

所以我们看一个例子

比如说

圆柱在理想流体中

匀速直线运动

那么在静止参考系看

这个圆柱往前走

它就带着流体有这样的迹线

前边也挡开了这是迹线

然后再看流线

它往前一走

在某一时刻看

流体有这样的一些流线

流线跟迹线不重合

而且这个情况

是随着你的圆柱运动而改变的

开始圆柱在这儿

它迹线这样

它跑那儿去了

迹线跟着走了

所以一看这个流动就是不定常的

它的流动情况跟着时间改变

静止参考系看

一个圆柱它匀速直线运动

引起的流体的流动

是不定常的

但是换我一个参考系

换作谁做参考系呢

换作圆柱做参考系

以圆柱做参考系来看

它自己不动

它就看到

流体从无穷远处平行过来

到它这儿分开了

然后到无穷远处

又是均匀流动

所以在圆柱参考系看

这个流动是个稳定的

不随时间变化的

所以在圆柱参考系看

这个流动就是定常的

在静止参考系看

随着圆柱在运动

这个流动是不定常的

所以是否定常运动

也跟参考系有关

看个例子

拉格朗日方法描述流体质元

它是描述它的位置

它的直角坐标系的位置

x=rcos(ωt+θ)

y=rsin(ωt+θ)

z=h

其中r θ ω h都是常数

r是正数

θ在0到2π之间

第一个

求质元的速度

加速度

画出迹线来

第二个改用欧拉法描述

用欧拉法求质元加速度

第三个

判断一下流体是否是定常流动

画出它的流线

首先既然是拉格朗日法

给出了它的位置

于是它的速度加速度

就是直接的求导就可以了

所以速度是矢径的导数

那么分别是求它的三个分量

就是这个结果

加速度是速度的导数

是矢径的二阶导数

得这个结果

在z方向上

速度加速度都没有

它在一个xy平面上运动

从矢径的表达式

就可以知道

它的运动是一个

以原点为圆心的一个圆

其实矢径就是给出了我们的

运动轨迹

所以它的轨迹

是一个以原点为圆心的

以r为半径的同心圆

它是逆时针的方向来流动

现在来确定一下欧拉法的

流体的流速场

vx等于∂x/∂t

这是vx等于负的ωy

vy等于ωx

那么vz等于零

所以欧拉法的流速场

就是这样的流速场

速度它的分量

(-ωy,ωx,0)

这样我们看到

它的流速场与时间无关

所以它是定常流动

流线跟迹线重合

所以流线

也是以原点为圆心

以r为半径的一个同心圆

以逆时针方向来流动

a等于∂v/∂t

∂v/∂t刚才说定常流动这一项是零

然后是v·▽v

就是vx(∂v/∂x）

加上vy(∂v/∂y)

加上vz(∂v/∂z)

现在v的三个分量是

-ωy ωx跟0

你对x求偏导数

这一项是零

这一项是ω

这一项是零

所以出来就是(0,ω,0)

那么∂v/∂y还是这三项

对y求偏导

这一项是负ω

这一项是零

这一项是零

所以是(-ω,0,0)

类似我们得到

这个∂v/∂z的导数

全是零

然后把它乘进去

就得到这个结果

把它乘进去

把它乘进去

把它乘进去

最后合起来得到这个结果

这个结果在把这个

vy vx代进去

就得到了这个结果

这个结果

跟刚才我用拉格朗日法

得到的结果完全一样

所以我们用两种不同的表示法

计算同一个加速度

结果肯定是相同的

力学课程列表：

微积分简介

-一.导数与微分

-二. 积分

绪论

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Ch1.质点运动学

-§1 矢量简介

-Ch1.质点运动学--习题

-§2质点运动学

-§3 相对运动-参考系变换

-习题

--习题

Ch2. 质点动力学

-§1牛顿力学.力

-§2万有引力定律

-习题--作业

-§3 牛顿力学应用

-§4.非惯性系.惯性力(上)

-习题

--习题

-§4.非惯性系.惯性力(下)

-习题

--习题

Ch3.动量

-§1动量.质点动量定理

-§2质点系动量定理

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-§3质心和质心运动方程

Ch4.功和能

-§1动能.功.动能定理

-Ch4.功和能--习题

-§2保守内力.势能

-§3机械能定理.机械能守恒

-习题

--习题

-§4自由碰撞

Ch5.角动量

-§1质点角动量.质点角动量定理

-习题--作业

-§2质点系角动量定理

-习题

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-§3万有引力场中质点运动

-§4.刚体 (上)

-习题

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-§4.刚体 (下)

-习题

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Ch6.连续介质力学

-§1应力应变

-§2.固体形变和流体静力学(上)

-§2.固体形变和流体静力学(下)

-Ch6.连续介质力学--习题

-§3理想流体动力学(上)

-习题

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-§3理想流体动力学(下)

-§4粘滞流体动力学(上)

-习题

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-§5流体阻力(上)

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Ch7. 振动和波

-§1自由振动.简谐振动

-Ch7. 振动和波--习题

-§2阻尼和受迫振动

-§3简谐振动合成(上)

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-§4简谐波

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-§5波动方程.波速

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-§6衍射反射折射多普勒效应

-§7简谐波迭加.非谐波传播

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Ch8.狭义相对论

-§1 基本原理

-§2 L氏坐标变换.速度变换(上)

-习题--作业

-§2 L氏坐标变换.速度变换(下)

-习题

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-§3 相对论动力学基础

-习题

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-§4 质量.动量.能量.力相对论变换;不变量

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Ch9.广义相对论

-§1.基本原理

-§2史瓦西场中时间与空间(上)

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