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第四

振动方向互相垂直的

简谐振动的合成

那么一个做平面运动的质点

同时参与两个互相垂直方向的

运动

那么这两个运动都是简谐振动

那么这样的话

合起来这个质点它的运动

就是两个互相垂直方向的

简谐振动的合成

于是

它的这个矢径就等于

某一时刻它的x(t)x加上y(t)y

都是时间的函数

首先我们看同频的情况下

就是它参与的互相垂直的

两个简谐振动

频率相同

所以x=A1cos(ωt+ф1)

这是频率是ω

y方向相同

也是这个频率

但是呢

位相不一样 振幅不一样

这样的话

我们把这cos(ωt+ф1)

或者cos(ωt+ф2)

把它展开

展开成cosωt乘以cosф1

减去sinωt sinф1

或者是cosωt cosф2减去

sinωt sinф2

展开成两个式子

然后呢

这样话把cosωt sinωt消去

进行一些简单计算 消去

就得到x、y满足的方程

什么方程呢

就是x^2/A1^2

A1是它的振幅

加上y^2/A2^2

减去2xy/A1A2

乘以cosΔф

Δф就是这两个的位相差

等于(sinΔф)^2

就是这样一个方程

这样的方程一列出来

我们就看到

这个r

它的轨迹是什么轨迹呢

是个椭圆

所以这是一个椭圆方程

所以呢

在同频的互相垂直方向

是两个简谐振动情况下

它的实际的轨迹

是一个椭圆方程

这个椭圆

它的方向是斜着的

主的对角线的方向是斜着的

所以这是斜椭圆

Δф就是两个位相差

是ф2-ф1±2π

那么它的轨迹是椭圆

那么椭圆的话

我们需要做点什么工作呢

有一个工作就是判别

椭圆它矢点运动起来

大家看它是在椭圆运动

但是呢

它可以有两种运动方向

一种呢

这个质点沿着椭圆

逆时针运动

还有一种呢

质点沿着椭圆顺时针运动

判断它的转动方向

这在光学里面是很有用的

所以我们要给大家说明

怎么判断

大家看

这就是一个椭圆轨迹

这个在某一时刻

这个质点它的矢径

它的矢径端点

画出一个椭圆来

这就是斜椭圆

这是一个斜椭圆的轨迹

这椭圆跟一个矩形

或者长方形相切

这个上边有一个切点

下面有一个切点

这儿都有切点

一共有四个切点

我们为了判断转动的方向

就是矢径端点转动方向

我们取这点来讨论

P点来讨论

P点在y方向上

是一个极大值

所以y在P点的话

它正好是A2

就是它的振幅

这是在这个点上

那么x的P点

等于A1cosψ1P

ψ1是x方向的简谐振动的位相

它在P点的位相是ψ1P

那么ψ2P

就是这P点

对于这个y方向的它的位相

因为它正好在最高点

就是振幅这点

所以它的位相应该是2nπ

于是ψ1P就是这点它的位相

等于谁呢

等于是2n′π-Δф

因为这Δф

是等于ф1-ф2±2π

或者是ψ2-ψ1±2π

所以ψ1P就等于

2n′π-Δф

其中n跟n′是整数

现在我要求谁呢

我要看一下P点处的

它的运动速度的x分量

也就是v_Px

v_Px就是x对t的导数

它在P点的值就是v_Px

x对t的导数是等于

-ωA1sinψ1

那么在P点就是ψ1P

把ψ1P代进去

它等于2n′π-Δф

代进去

于是这个就变成了sin(-Δф)

sin(-Δф)提出负号来跟它约掉

于是等于ωA1sinΔф

也就是说

P点处它运动速度的x分量

等于ωA1sinΔф

于是如果Δф在0到π之间

那么这个就大于零

大于零那么就是

这个运动速度的分量大于零

所以这个情况下

这个质点向这个方向运动

于是它应该是沿着

椭圆顺时针运动

顺时针运动在光学里面

叫右旋

如果Δф是在-π到0之间

那么这个值就小于零

也就是说

它运动速度是这个方向

于是它就逆时针转

我们称之为左旋

这样的话

我们就可以把左旋右旋

和它的位相差联系起来

讨论的方法

就找一个特殊点来讨论

这样在光学里头就可以确定

这个椭圆光

是左旋光还是右旋光

就是用这个方法讨论

第二个我们讨论几个特例

这是原来的那个椭圆的方程

第一个特例

就是Δф=0或者是π

Δф=0或者π的话

这一项是0

这一项是±1

于是就变成了

x除以A1

加减y除以A2的平方等于零

也就是说

x/y

等于±A1/A2

所以对于Δф=0跟π的情况

它做的不再是一个椭圆运动了

它是在一条直线上运动

Δф=0

是在这个对角线上运动

Δф=π

是在这个对角线上运动

那么这样的运动

就不再是椭圆运动了

而是一个简谐振动了

所以这是第一种特殊情况

Δф=0跟π的情况

那么第二种情况

就是Δф=±π/2

等于±π/2的时候

这一项等于1

这一项等于0

于是就是

x平方除以A1平方

加上y方除以A2平方等于1

这就是典型的椭圆方程

而且是正椭圆

大家看

是这样一个正椭圆

这就是Δф=±π/2的情况

如果A1=A2的话

它就变成一个圆了

所以如果要想做一个圆的

一个运动的话

它要求Δф=±π/2

同时还要求A1=A2

这是我们说的频率相同的情况

下面我们看一下频率不同的情况

利萨如图

这个时候x大家看

它的圆频率是ω1

它的圆频率是ω2

两个频率不同

不同的话图形非常复杂

我们讨论什么情况呢

讨论ω1比上ω2等于整数比

讨论这种情况

它如果是整数比的话

这个质点就是它的矢径端点

就画出一个闭合的图形

一个闭合的曲线

我们称之为利萨如图

利萨如图和频率的关系

这个是讨论利萨如图的

最主要的情况

因为利萨如图

即使是同一个频率比

它的图形跟它的初位相

也是有关系

也是各种各样的

但是同一种利萨如图

它有一个图形跟频率的关系

可以由图形来确定频率比

那么什么关系呢

就是我一个利萨如图

在图上沿着图形走一周的话

在x、y方向上

达到最大值的次数之比

就等于频率之比

这就是它的利萨如图的

共同的规律

也就是我们利用利萨如图

所做的主要工作

就是用这个结果

大家看这是一个利萨如图

这是ω1:ω2等于3:2的情况下

然后第二个

y方向的初位相取作零

大家看

我x方向初位相如果取作零

这个利萨如图是这种情况

这种图形

如果x方向初位相取作π/4

大家看是这样一个利萨如图

这是不同的x的初位相

图形不一样

所以即使你比值确定

那么利萨如图

也跟ф1ф2有关系

是非常复杂的

但是

只要频率比确定

这些利萨如图

就有共同规律

就可以用利萨如图

来确定它的什么呢

它的频率比

大家来看这个

现在假设我从这点出发

沿着这个图形运动一周

运动到这儿

到这儿大家看

我的x方向达到了最大值

这是一次 记住

然后到这儿

这时候

y到达最大值数一次

这是y是1

再回来

x又一次

这是x2两次了

再回来到这儿没完

还要继续走

这个x y各一次

然后再回来

这才走完一周

所以从这儿出发

我走了一周以后

x达到最大值是三次

y达到最大值是两次

所以是3比2

我们再来看这个

我从这儿出发

x是一次

y一次

x一次

x一次 y一次回来了

也是x三次y两次

所以它是3比2

所以虽然图形完全不一样

但是它的确定频率比

是共同的

我们再看另一个

ω1:ω2等于2:1

也是不同的情况

大家可以练习一下

比如我从这儿出发

走一圈

再回来走到这儿

你x达到2次

y达到1次

2:1

你可以试着做一下

这样的话

我们就可以由利萨如图

来得到频率比

这样的话

我们就可以由已知的频率

来通过利萨如图

来测量未知的频率

就可以用利萨如图来找

这是我们说的

线性系统的迭加原理

引出的简谐振动的迭加

对于非线性系统

迭加原理不适用

如果x1 x2是解

x1加上x2不是解

如果在非线性系统里面

加上两个不同的策动力

那么会出现

ω1 ω2的高阶谐波

就是2ω1 3ω1 2ω2 3ω2

以及两个频率的和频

和差频等等

所以对非线性系统

迭加原理不成立