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第二节

阻尼振动和受迫振动

我们现在讨论有阻尼的自由振动

称为阻尼振动

主要讨论的是线性阻尼

就是阻力和速度成正比

也就是我们前面讲的

在流体里面低速运动情况下的

线性阻尼

首先讨论阻尼振动的微分方程

和它的通解

还是用弹簧振子模型

但是现在加上了阻力

阻力与速度成正比

阻力等于负的bx一点

x一点就是它的速度

那么它有个负号

就是阻力跟运动的速度方向相反

b是一个正常数

于是

微分方程变成了mx两点

等于负的kx

这是弹性恢复力

再加上一个阻力

整理一下

就写成这个标准形式

x两点加上2δx一点

加上ω零平方x等于零ω

零称为系统的本征圆频率

它的平方是k除以m

阻尼系数δ等于b除以2m

下面我们求通解

我们前面讲过

二阶微分方程它的通解

要包含两个独立的常数

现在看

我们现在和我们开始的

无阻尼的方程相比较

就多了一个2δx一点

我们想办法把这一项消下去

就可以把这个通解求出来了

那么怎么把这项消去呢

我们假设一下

假设一下让这个振动解

等于e负的δt乘以ξt

就是多出这么一个衰减项

然后代到方程里面去

看能不能把它的一阶导数项消去

把这种假设之后

我们求它的一阶导数

一阶导数出来两项

再求二阶导数

二阶导数把一阶导数代进去

最后得到这个结果

把这个一阶导数跟二阶导数

代到方程里面去

这就是它的二阶导数

加上2δ一阶导数

加上ω0平方x

确实就把这一项ξ一点项

就消去了

于是得到关于ξ的一个微分方程

就是ξ两点加上ω

0平方减去δ平方ξ等于零

没有了一阶导数项

由这个

我们就可以直接求出ξ来

下面根据三种不同的情况

也就是三种不同类型的阻尼

来分别求解ξ

临界阻尼就是

阻尼系数等于它的本征圆频率

这样的话就是

这一项就是零了

于是方程变成ξ两点等于零

两次积分ξ等于c1t+c2

c1 c2就是两个常数

互相独立的常数

于是呢

阻尼方程的阻尼解

就是c1+c2t乘以e负的δt

这就是临界阻尼的

阻尼振动解

我们再看第二种情况

过阻尼

过阻尼的话

就是阻尼系数大于ω0

大于ω0的话

这一项就变成负的

于是ξ两点减去α平方ξ等于零α

平方就是δ平方减去ω0平方

解这个方程的时候

我们还要再假设一下

令ξ等于eλt

先求ξ的一阶导数是λξ

二阶导数是λ平方ξ

把这两个代进去

就把ξ约掉

最后变成了一个关于λ方程

叫这个微分方程的本征方程

就是λ平方减去α平方等于零

于是λ等于正负α

这样的话ξ就等于c1eαt

加上c2e负αt

就是这个λ的两个解分别代进去

然后加上两个任意常数

于是这就是ξ的通解

那么

我原来的振动解

阻尼振动解

就是这个ξ乘以e负δt

这就是过阻尼的阻尼振动解

在一般情况下

临界阻尼和过阻尼

都不是一个严格的往复振动

一般它只是单调的

屈居于平衡位置

所以我们说一般情况下

临界阻尼跟过阻尼

都不是往复振动

咱们看一个例子

就是一种初始条件

什么初始条件呢

我把振子拉到远处

它的最远处

一放手

那么初始条件就是t

等于0的时候位置是

x0大于0

我是拉到正的位置

就是x大于0的位置松手

这时候它的初始速度是0

一松手之后

那么它们

无论是临界阻尼还是过阻尼

振子都是单调的

恢复到平衡位置就停止了

所以我们看它的振动曲线

这是过阻尼

从最远处慢慢的回到平衡位置

临界阻尼是比较快速的

恢复到平衡位置

所以都不在平衡位置往复振动了

一次就回来了

所以

就是这样的两种情况

临界阻尼的情况下

是从最远处

恢复到平衡位置的时候

它用的时间最短

它用的时间比过阻尼要小很多

所以一些精密的测量仪器

比如仪表仪器

如果非常精密

精密的时候

它的阻尼很小

这样的话比如说化学天平

化学天平你去测量的时候

你把这个砝码放在这个

盘子里之后

这个因为它非常灵敏

所以它两个秤盘

要振动很多次停不下来

所以很不容易读数

那么我们就把这个化学天平

加上一个阻尼器

阻尼器就是这种线性阻尼

把阻尼器调整到临界阻尼情况

在这种情况下

你加上砝码之后

它从临界阻尼很快的

一放上以后

很快的就到达它的平衡位置

而我们又知道

这种线性阻尼

就跟速度成正比的阻尼

它在速度为零的时候

它的阻尼为零

所以加上这种阻尼

不影响仪器仪表的灵敏度

也不影响它的平衡位置

所以很多的

灵敏的仪器或者仪表的时候

都要加上临界阻尼

使得它方便读数

第三种情况欠阻尼

就是阻尼系数小于本征圆频率

于是我们可以把这个方程写成ξ

两点加上ω′的平方ξ等于零

其中ω′平方

等于ω0平方减去δ平方

大家一看就知道

这是一个什么呢

这是一个无阻尼自由振动的

微分方程

它的解就是简谐振动

所以我们ξ就是一个谐振的因子

就是Acos（ω′t+ф′）

它的圆频率就是ω′

这样的话

我们欠阻尼振动

它的振动解

就是x（t）等于e负的δt

乘以谐振因子

谐振因子X谐

也就是我们这个

欠阻尼振动的ξ的解

等于Ae负δtcos（ω′t+ф′）

我们通常所说的阻尼振动

就是指的欠阻尼振动

前边两种

都不是一个严格的真正振动

所以我们通常说的阻尼振动

就是欠阻尼振动

所以我们主要讨论的

就是欠阻尼振动

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绪论

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-§3 牛顿力学应用

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