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Video课程教案、知识点、字幕

下面呢

我们就讨论具体的运动问题

首先从最简单的

一维运动来讨论起

首先看直线运动

质点呢

沿着x轴运动

那么它做的是直线运动

于是呢

它的这个单位矢呢是x

它的矢径呢

就是一维的xx

它的这速度呢

也是一维的

只有x分量

就是x一点x

它的加速度呢

是x两点x

所以它是在一条直线上运动

它的三个矢量

就只有是一维的

那么它的投影就是x vx ax

分别表示矢径

速度和加速度的投影

它投影的微分关系

就是vx等于x一点

x的变化率

ax等于vx一点等于x两点

这是它的微分关系

有了这样的关系

我们就会讨论具体的问题

具体的一维运动问题呢

可以分成三类

我们来看一下

是哪三类问题

第一类已知位置

t时刻的位置

是1+2t-t³

就是已知

它质点在t时刻的位置

来求什么呢

求它的速度和加速度

这样的问题计算起来最简单

vx就是x的导数

对它求导是0

对它求导是2

对它的求导是3t²

所以结果是2-3t²

这就是这个问题里面

速度它的函数

然后再求加速度

加速度是速度的导数

这个求导是0

这个求导以后是二三得六

-6t

于是加速度求出来了

所以已知位置

来求速度和加速度

是最简单的

就是普通的一阶导数

和二阶导数问题

再看第二类问题

第二类问题已知速度

来求加速度和它的位置

这个位置是需要积分的

要经过一次积分

所以呢

我要有一个初始条件

所谓初始条件

就是t等于0的时候

它的位置在什么地方

这叫初始条件

现在假设

它的速度是3t²

它的初始条件

是t等于0的时候

x是等于x0=5

这是它的初始条件

那么我们来计算

加速度很简单

速度的导数二三得六

等于6t

下面要求谁呢位置

求位置就要找到它的

位置和速度的微分关系

微分关系

就是dx等于vxdt

这个式子呢我们来看

我们刚才定义

速度是位置函数的导数

所以vx等于dx/dt

把它乘过来

dx等于vxdt

我们还可以从另一个角度来考虑

我们在dt时间内

我们可以近似它的速度是常数

于是dt时间内

它位置的改变dx

就等于速度乘以时间

所以我们可以直接

来引出这个式子dx等于vxdt

有了这个微分关系

我要来求谁呢

已知vx来求x

就有两种方法

我们来看第一种方法

由不定积分的概念

dx等于vxdt

我们在讨论微积分的时候说过

满足这个关系式说明

x是vx的不定积分

于是x就等于vx的不定积分

vx是3t²

它的不定积分是t³

注意

还要加一个积分常数

所以到这为止

x并没有完全确定

它有个积分常数

为了确定积分常数

要利用到我们的初始条件

我们的初始条件说什么呢

是说t=0的时候x=5

所以t=0的时候x=5

t=0的时候这代进去是0

再加上c

所以呢积分常数就是5

有了初始条件

把积分常数确定了

于是我们的位置函数x

就等于t³+5

这是用不定积分的概念来求的

我们当然还有另一种办法

用定积分的概念

刚才我们写的是dx等于vxdt

这样一个微分关系

那么

我们从这个微分关系就知道

按定积分的概念来知道

从0到t

那么x的增量

就应该是

这个vx从0到t的不定积分

所以x的增量就是x-x0

这是t等于0的时候得x

这是t时刻的x

所以0到t的x增量

就是x-x0

等于谁呢

vx从0到t的定积分

那么这定积分呢

vx是等于3t²

所以呢

3t²的原函数是t³

然后从0到t

0到t就是t³

然后这有个x0

所以就等于t³+5

所以我们看到

用定积分

不需要去求那个积分常数

直接就把结果出来了

所以定积分的办法呢更简单

以后我们基本都用定积分的概念

来解这样的问题

这是第二类问题

第三类问题就是

已知加速度

求速度和位置

这个时候要进行两次积分

所以呢

要有两个初始条件

就是t等于0的时候的速度v0

t等于0的时候的位置 x0

我们来看微分关系

dvx等于axdt

于是由刚才的定积分概念

0到t之间的vx的增量

就是△vx

也就是vx减vx0

应该等于谁呢

0到t　ax的积分

于是呢把v0挪过来

vx就等于v0加上0到t

ax的定积分

类似我们可以得到

x等于x0加上0到t

vx的定积分

这就是我们说的第三类问题

第三类问题里边有一种情况

匀变速直线运动

如果ax等于常数a的话

这就是一个匀变速直线运动

匀变速直线运动

可以积的出来

大家看

a是常数

可以把它提出来

于是它的积分

就是0到t的定积分就是t

所以就是

vx=v0+at

把vx=v0+at

代到这个式子里边来

于是呢就变成了两个积分

一个是v0的积分

一个是at的积分

v0的定积分

就是v0 t从0到t

于是就是v0t

这个at的定积分

那么它把a可以提出来

就是t的定积分

t的不定积分

是½t²

0到t的值

就是½t²

所以前面有个a

于是这个匀变速直线运动

它的位置就是x等于x0

加上v0t加上½at²

所以我们由

这样的一个简单的关系式

可以直接得到这个结果

由这两个式子

可以得到

我们常用的一个关系式

t时刻的v²

减去t等于0时刻的v²

等于2a乘以x-x0

这些公式可能中学都有

第二个

x轴上的分运动问题

我们刚才讲的

质点确确实实在做直线运动

它在x轴上运动

于是它真真正正的

是个一维问题

假设质点是一个空间运动

是个三维运动

那么能不能也用

一维的问题来解决呢

这是可以的

这就用到了我们

矢量的这个分解

矢量的解析表示

我一个三维运动

它的矢径

是可以分解成三个轴上的

这个矢径的投影

同样速度加速度都可以分解

于是一个三维的运动

可以分解成

三个座标轴上的一维运动

这就是x轴上的分运动问题

现在呢假设有个空间运动

空间运动我们把它分解成一个

x轴 y轴 z轴上的运动

我们先讨论x轴上分运动问题

x轴上的分运动矢量就是xx

速度它的分矢量

或者是它的投影

就是vxx　或者是x一点x

这个是x轴

这是它的空间运动

加速度

也可以分解成x轴上的量

就是axx x两点x

所以尽管是空间运动

我可以分解到x轴上的分运动

而分运动这样的投影

xvx和ax

和我直线运动的投影

完全一样

而它的微分关系

也跟我x轴上的

直线运动关系一样

所以x轴上分运动

和我们刚才讨论的

沿x轴的直线运动的

微分关系完全相同

因此运动问题也相同

解法也相同

结果也相同

所以我的一维运动

即是直点沿着x轴的直线运动

也可以来描述

一个空间运动的

一个x轴上的分运动

这样的话

我们就可以处理了空间问题

怎么处理呢

叫分量计算

我们把一个空间运动

分解成互相垂直的

三个坐标轴上的分运动

分运动就是一维的直线运动

然后这样的话它的投影

就是一维的这个微分关系

微积分的关系

我解题也就是普通的

标量的微积分计算

所以进行标量的微积分计算

计算完了之后

得到了我相应的

它的三个分量

它的这个矢径还是速度啊

还是加速度的三个分量

于是这三个分量合起来

又构成了空间运动的解

所以我真正的解决问题

就是利用这样的一个矢量的

这个解析形式

把它分解成三个一维运动

然后利用标量的

微积分计算来解决

这叫分量计算

分量计算的物理意义

就是运动

可以分解也可以合成

可以分解成

三个方向上的一维运动

一维运动得到解之后

合起来又是个空间运动

它为什么能分解

为什么能合成呢

就因为

我们描述质点运动的矢量

都是矢量

矢径速度

加速度都是矢量

矢量本身

就可以分解可以合成

所以本质上

因为描述运动的物理量

都是矢量

因此我的质点的运动

就可以分解也可以合成

我们学员在这一段时间

就会出现一点问题

因为什么呢

中学的学生呢

学了很多的力学知识

而我们学的知识呢

在脑子里头呢都充满了

现在来学我们大学的时候呢

碰到问题

碰到一些思路

就情不自禁的

要回到中学的老路上来

用中学的思想

中学的方法

来解决问题

这样的话

会影响我们现在的

大学的学习

所以一开始

我就强调了

我们现在真正的是一个

学习的是一个科学的

一个物理学

所以你要从零开始从头开始

你现在学了知识

不要跟中学的东西混淆

要用你现在学的大学的知识

回头来审视你中学的知识

来看一看哪些有问题

哪些个还可以应用

对中学的知识进行再认识

然后你去解决问题

分析问题　考虑问题

都要用我们

现在学的这些东西来进行

这是真正的科学的方法

那么解题方法也这样

思考方法也这样

不要动不动就回到

中学的老路上来

这样的话呢

会影响你的学习的

所以我们刚开始学习

给大家做这样的提醒

力学课程列表：

微积分简介

-一.导数与微分

-二. 积分

绪论

-绪论

Ch1.质点运动学

-§1 矢量简介

-Ch1.质点运动学--习题

-§2质点运动学

-§3 相对运动-参考系变换

-习题

--习题

Ch2. 质点动力学

-§1牛顿力学.力

-§2万有引力定律

-习题--作业

-§3 牛顿力学应用

-§4.非惯性系.惯性力(上)

-习题

--习题

-§4.非惯性系.惯性力(下)

-习题

--习题

Ch3.动量

-§1动量.质点动量定理

-§2质点系动量定理

-习题

-§3质心和质心运动方程

Ch4.功和能

-§1动能.功.动能定理

-Ch4.功和能--习题

-§2保守内力.势能

-§3机械能定理.机械能守恒

-习题

--习题

-§4自由碰撞

Ch5.角动量

-§1质点角动量.质点角动量定理

-习题--作业

-§2质点系角动量定理

-习题

--习题

-§3万有引力场中质点运动

-§4.刚体 (上)

-习题

--习题

-§4.刚体 (下)

-习题

--习题

Ch6.连续介质力学

-§1应力应变

-§2.固体形变和流体静力学(上)

-§2.固体形变和流体静力学(下)

-Ch6.连续介质力学--习题

-§3理想流体动力学(上)

-习题

--习题

-§3理想流体动力学(下)

-§4粘滞流体动力学(上)

-习题

--习题

-§4粘滞流体动力学(下)

-§5流体阻力(上)

-习题

--习题

-§5流体阻力(下)

Ch7. 振动和波

-§1自由振动.简谐振动

-Ch7. 振动和波--习题

-§2阻尼和受迫振动

-§3简谐振动合成(上)

-习题

--作业

-§3简谐振动合成(下)

-§4简谐波

-习题

--作业

-§5波动方程.波速

-习题

--习题

-§6衍射反射折射多普勒效应

-§7简谐波迭加.非谐波传播

-习题

--习题

-§8驻波

-习题

--习题

Ch8.狭义相对论

-§1 基本原理

-§2 L氏坐标变换.速度变换(上)

-习题--作业

-§2 L氏坐标变换.速度变换(下)

-习题

--习题

-§3 相对论动力学基础

-习题

--习题

-§4 质量.动量.能量.力相对论变换;不变量

-习题

--习题

Ch9.广义相对论

-§1.基本原理

-§2史瓦西场中时间与空间(上)

-§2史瓦西场中时间与空间(下)

-§3大爆炸宇宙学简介

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