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Video课程教案、知识点、字幕

下面我们讨论

相对论的速度变换

由洛仑兹坐标变换

进行微分之后

就可以得到速度变换

x′等于γ倍的（x-ut）

对它两边取微分

于是dx′等于γ（dx-udt）

把dt提出来

dx除以dt就是vx

就是γ（vx-u）dt

于是y也是

y′等于y两边取微分

就是dy′等于dy

dz′等于dz

t′两边取微分

于是dt′等于γ（dt-udx/c方）

同样把dt提出来

变成γ（1-uvx/c方）dt

有了这个准备

我们就可以求速度变换

vx′=dx′/dt′

vy′=dy′/dt′

vz′=dz′/dt′

分别是它除以它

它除以它

它除以它

除完之后就得到了

速度的变换

于是vx′=vx-u除以1-u

大家注意这是vx除以c方

vy′等于vy除以γ倍的

（1-uvx除以c方）

所以这一项

跟这一项是相同的

只是前边多了一个γ倍

类似

vz′等于vz

除以γ倍的1-uvx除以c方

这就是速度的正变换

我们把u换成负u

就得到了速度的逆变换

就是vx等于vx′

注意这变成加上u

除以1+uvx′/c方

类似得到vy vz

这就是速度的相对论变换

或者是洛仑兹的速度变换

在相对论里

边加速度不是不变量

所以用的比较少

我们就不再把加速度的

相对论变换写出来了

我们看一个例子

这是一个光源

这光源固定在S参照系

它发出1和2两条光线来

1光线是水平的

所以1光线vx等于c

vy vz都等于零

2光线是竖直向下的

所以vx等于vz等于零

只有vy等于负c

所以固定在S参照系的光源

发出两条光线来

一条水平的

一条竖直向下的

现在的问题就要看

在S′系里面

它的速度如何

我们来看

在S′系

vx′等于vx-u

vx就等于c/1-u乘以vx

vx就等于c再除以c方

把这个约掉

然后一整理

最后结果就是c

vy′等于vz′等于零

于是在S′系看

这条光线的光速c′

就等于vx′等于c

那么光速是不变的

我们看到这个结果

再看2′光线

是不是也光速不变

2′光线vx′等于这条光线

这条光线vx是零的

所以它应该是

（0-u）除以（1-0）

因为它这个u乘以vx是零

所以这一项是零

于是就等于负u

所以我们看

在S参照系里面

竖直向下的光线

在S′系里面看

它有一条水平的分量

这就是它不等于零

然后vy′等于负c除以γ

然后vz′等于零

于是在S′系里面

看2′光线

它的速度等于多少呢

c′等于vx′的平方

加上vy′的平方

加上vz′平方

然后合起来再开方

把这个结果代进去

仍然等于c

所以我们看

洛仑兹坐标变换

是从光速不变原理推导出来的

那么现在

由洛仑兹坐标变换

推导出来的速度变换

满足了

在各个惯性系里面

光速都是c的情况

所以它彼此是互恰的

这样的话我们看到

竖直向下的光线2

在S′系看到

它向左边有一个偏斜

偏斜的倾角是θ′

那么θ′的正切tanθ′

等于vx′除以vy′的绝对值

等于u除以根号下

c方减u方

这就是光行差现象

就是恒星它发射的光线

在不同的参考系看

它的方向有改变

这是光行差现象

那么这就是我们以前

观察到的就是这个情况

下面我们举个例子

在地面的参考系

S参照系观测

u是0.6c

v是0.8c

u是飞船的速率

v是卫星的速率

然后地面观测的时候

发现了这两个飞行器

而且测量出这两个飞行器

将在5秒以后相遇

那么问你

在S′参照系

也就是在飞船参考系看

卫星的速度

v′等于多少

这是第一个问题

第二个问题

还有多少时间

卫星会与飞船相遇

这是两个问题

我们来计算一下γ

等于（1-u方/c方）

的负二分之一次方

就以飞船做参考系的时候

它的γ是5/4

那么v′我们用速度变换

v′等于

vx-u除以1-uvx除以c方

vx就是它的速度v

但是它是反方向的

所以它是负v

负v代进去

于是结果等于负的

37分之35c

这就是在S′参照系看

这个卫星的飞行速度v′

是这个方向飞行

飞行的速度是这么大

下面我们来看

同样的两个事件

那么一个是发现这两个

这是事件

还有一个这两个相遇

所以这个事件

都是在飞船上观测的

所以认为飞船上的时间是原时

于是原时等于非原时除以γ

所以这是5秒

那个是除以5/4

就变成了4秒

所以答案就是说

这个卫星的速度算出来了

然后还要经过4秒

卫星跟飞船要相遇

这是在S′参照系里面

计算的结果

这是一个方法

有人还提出另外一个方法

什么方法呢

你不是在S′参照系测出来

它的速度是这么大吗

那么我算一下

这两个之间的距离

这两个之间的距离

就再除以它的

相对运动的速度

那么就可以算出它

相遇的时间

这两个的距离是等于多少呢

在S参照系看

这两个的距离

因为它是以u来运动

它是以v来运动

所以它俩的距离

就u+v乘以它相遇的时间

所以在S参照系看

它的距离是u+v乘以ΔtΔ

t是5秒

u+v系一个是0.6

一个是0.8是1.4

所以得到了7光速乘以秒

这就是在S参照系看

S参照系看呢

S参照系是同时测量

这两个的距离

于是在S′系看

这应该是你侧量是动长

我的距离是静长

所以Δx′等于γ倍的Δx

等于是35/4光速秒

把这个结果

除以这个的速度的绝对值

就得出来37/4秒相遇

跟我刚才计算的4秒

大不相同

大家想一下

这是第二种计算方法

就是我在这个参考系看一下

它跟它距离是多少

再除以它的速度

就是它相遇的时间

这不很正常的吗

怎么却跟你这个计算的

原时非原时计算的结果

差这么多呢

所以这个问题

使得很多人迷惑不解

我们现在就说明一下

问题的症结在哪里

那么我们这里的

问题的症结就在于

你没有分清事件

我们利用洛仑兹坐标变换

来讨论问题的时候

一定要把事件先弄清楚

然后再讨论

你要求的

是哪个事件之间的

时间间隔和空间间隔

所以我们要看

有几个事件

有几个事件呢

有三个事件

第一个事件

是发现飞船

第二个事件

是发现卫星

第三个事件

是飞船卫星相遇

所以它实际上是有三个事件

在地面上看

我发现飞船和发现卫星

是同时发生的两个事件

因为你是同时发生的

我才能测量距离

才能知道相遇时间

所以它是三个事件

这是事件1

这是事件2

相遇这是事件3

其中在S参照系看

事件1跟事件2同时的

t1=t2

事件3减去事件1

也就是等于事件3减去事件2

就等于它相遇的时间是5秒

所以x3-x1

它俩个事件的空间间隔

是u乘Δt

是3c秒

那么x3-x2

是这两个事件的空间间隔

是负的v乘Δt

是负的4c秒

这就是

三个事件之间的

时间间隔和空间间隔

在S参照系里面的讨论

在S′系

我的这个事件3和事件1

它的这个时间间隔

等于γ倍的t3-t1

减去u（x3-x1）/c方

把这个结果代进来

就等于γ倍的Δt-u方Δ

t除以c方

等于Δt除以γ等于4秒

所以确实有个4秒

这4秒指的是什么呢

是指的

事件3和事件1

之间的时间间隔

这个是对的

这正好是

我在飞船参考系上

这个人它所测量到的

观察到的

这两个事件的时间间隔

因为什么呢

因为地面上

我测量到观察到这飞船的时候

我就通知它我观察到你了

那么这个人就已经开始计时了

于是这个计时跟这个计时

的时间差

就是事件1跟事件3的时间差

所以这个计算出的4秒

就是飞船上人

观察到的时间差

所以这是正确的

那么

我事件3和事件2的时间间隔

是多少呢

是γ倍的t3-t2

减去u乘以x3-x2除以c方

那么把计算出来37/4

所以你所求的是这个结果

而这个结果

并不是你应该求的结果

那么S′系观察到事件

是2先1后

所以你在S参照系看

是同时观察到这两个飞行器

那么在S′系看

你是有先有后的

哪个呢

是这个先观察到了卫星

后观察到了飞船

所以呢

在这两个事件之间的时间差

就是t1′-t2′

计算出来是21/4秒

所以这两个事件有个时间差

这样的话

我们就看到37/4

就是这个时间

等于多少呢

等于4秒

就是你这个时间

加上21/4秒

所以你刚才

用另一种办法计算的

是所谓的在这个飞船看

它跟它相遇的时间差

实际上是这个事件

和这个事件的时间差

因为你是先观察到这个事件

后观察到这个事件

所以它不等于

这两个事件的时间差

差多少

就差了21/4秒

所以

你第二种计算的方法

是不对的

它不是你所要求的

在飞船上观察到的时间差

而是在S′系看

这个事件和这个事件的时间差

这样的话我们就看到

我们要想正确的严格的

讨论这个问题

必须找出事件来

分析哪两个事件的时间差

才是你所要求的

这样的话

才是个严格的讨论

不然的话

你就分不清对和错误

好这部分就到此为止

力学课程列表：

微积分简介

-一.导数与微分

-二. 积分

绪论

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Ch1.质点运动学

-§1 矢量简介

-Ch1.质点运动学--习题

-§2质点运动学

-§3 相对运动-参考系变换

-习题

--习题

Ch2. 质点动力学

-§1牛顿力学.力

-§2万有引力定律

-习题--作业

-§3 牛顿力学应用

-§4.非惯性系.惯性力(上)

-习题

--习题

-§4.非惯性系.惯性力(下)

-习题

--习题

Ch3.动量

-§1动量.质点动量定理

-§2质点系动量定理

-习题

-§3质心和质心运动方程

Ch4.功和能

-§1动能.功.动能定理

-Ch4.功和能--习题

-§2保守内力.势能

-§3机械能定理.机械能守恒

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--习题

-§4自由碰撞

Ch5.角动量

-§1质点角动量.质点角动量定理

-习题--作业

-§2质点系角动量定理

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-§2.固体形变和流体静力学(上)

-§2.固体形变和流体静力学(下)

-Ch6.连续介质力学--习题

-§3理想流体动力学(上)

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Ch8.狭义相对论

-§1 基本原理

-§2 L氏坐标变换.速度变换(上)

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-§2 L氏坐标变换.速度变换(下)

-习题

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-§3 相对论动力学基础

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-§4 质量.动量.能量.力相对论变换;不变量

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Ch9.广义相对论

-§1.基本原理

-§2史瓦西场中时间与空间(上)

-§2史瓦西场中时间与空间(下)

-§3大爆炸宇宙学简介

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