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第四节

粘滞流体动力学

在很多情况下

粘滞性是不可忽略的

所以我们下面讨论

粘滞流体的动力学

主要讨论层流

层流就是流体是分层流动

彼此不混淆

所以是比较最简单

最基本的一种流动形式

那么流体粘滞性体现在哪儿呢

一个体现在

固体在液体里运动

那么固液之间

有一个粘滞力的现象

那么还有液体内部

它在分层流动

那么各层的流速不同的时候

内部就出现了

相互作用的摩擦力

所以这就是出现了粘滞性

第一

讨论流体的粘滞性规律

那么这是最重要的

首先是讨论牛顿摩擦定律

也就是最基本的

关于流体的

粘滞现象的规律

这个是流体

流体的面上一个板子A

它以匀速直线运动

带动了下边的流体

形成层流

各层之间流速不同

于是各层之间

就产生了摩擦力

我们现在建立坐标

以最下边这个平面作为零点

向上是z轴

然后这个方向是x轴

我们来讨论在z处

高度为z处

找一个剖面

就是跟地面平行的一个

这样一个剖面

剖面的面积是dS

就看这个剖面

上下之间的相互作用力

那么在剖面的上边

是上面的流体

受到下面流体给它的阻力

摩擦力

那么剖面的下面

是下面的流体

是上面流体带动下面流体

向前的摩擦力

这俩力大小相等

方向相反

是一对相互作用力

那么摩擦定律就给出来

这个力是什么规律

发现这个力

跟这个面积成正比

跟速度的梯度成正比

也就是速度

沿着方向的变化率成正比

比例系数η是粘度

就是分层界面上的内摩擦力

与该处的速度梯度

和界面的面积成正比

这就是牛顿的摩擦定律

是我们讨论的基础

这个η是粘滞系数

对于液体来说

随着温度升高

粘度下降

对于气体来说

随着温度升高

它反而上升

因为它们的

形成粘滞力的机制不一样η

单位是帕斯卡乘以秒η

除以ρ

质量密度称为比黏度

满足牛顿摩擦定律的流体

叫做牛顿力流体

否则叫非牛顿流体

注意

我们说的运动

一定是指的相对运动

如果流体之间没有相对运动

是不会出现摩擦力的

所以严格说

应该是相对速度的梯度

在平动的情况下

地面测量的速度的梯度

跟我们讨论的

相对速度梯度是一致的

但在转动情况下就不一致了

我们后边有例子加以说明

我们先看一个例子

就咱们刚才做那实验的例子

我们分析一下

它流速的分布

刚才的实验是定常流动

我现在在这个流体里面

这是流动的流体

取一个厚度为dz的

一个小的流体的薄层

把它作为研究对象

因为它是定常流动

所以这个薄层的流体

它运动过程中

动量保持不变

由质点系的动量定理

它动量保持不变

所以它所受到的

外力的矢量和是零

我们看x方向

它是向x方向流动

x方向的外力

因为它是薄层

我们忽略两端的前后的压力

那么它受的x方向力

就是上下的

两个面的相互的摩擦力

是因为它所受的力

应该是矢量和是零

所以上层的力

跟下层的力

应该是大小相等方向相反

也就是说

它的这个df的大小

与你所处的z处的位置无关

因此我们看到

这个速度梯度

就应该是常数

是个常数k

这样的话

我们就可以把这个dz乘过来

两边进行积分

从哪儿积起呢

从地面

就是这个流体下边固定的平面

积到了它的液面h

在h处正好是木板的速度

所以h处的流体速度是v0

就是板的速度

于是v0等于kH

我们如果从零积到z处

这是从0积到v处

于是z处的v就等于k乘是z

把k代进去

等于v0z除以H

这样的话

我们就得到了

刚才实验里头

流体沿着z轴的分布

是个线性分布

所以我们看

刚才我们画的图里边

流速就是线性的

它是一个可以证明的

下面看第二个例子

第二个例子

是测量气体黏度的黏度计

这个装置是什么样的装置呢

它里边有一个圆筒

圆筒的外半径是R1

高度是L

它由一根悬丝吊着

它静止不动的

就是内圆筒是静止不动的

然后外边再套一个圆筒

跟它的高度一样

这个外边的圆筒的内半径是R2

这个圆筒以ω0匀速转动

在这两个圆筒之间充满了

我们要测量黏度的气体

于是就可以用这个黏度计

来测量出这个气体的黏度

要想测量气体黏度

必须计算出

它的一些内在规律

也就是说

要计算出在这种情况下

内筒所受的扭矩是多少

我们来看稳定情况下

现在我们讨论这个情况

在稳定情况下

这是一个内筒

这是一个外筒

我们在内外筒之间

我们找出一个圆柱的

一个薄壁的圆筒

这个圆筒

它的内半径是R1

外半径是R2

找到一个气体的

薄层的一个圆筒

那么我们以这个

气体的薄层的圆筒

它做了一个匀速的转动

匀角速度的转动

因此这个以它为对象

它的角动量

对这个z轴的角动量

是守恒的

角动量守恒

就说明它所受的外力矩

应该是零

那么它受到一个里边的

这气体是这么一个

厚度的一个圆筒

那么里边的这个力矩

跟外边力矩

也是大小相等方向相反

于是这个例子就说明

我们这个每一个气体的

圆柱的表面上

所受的力矩

跟它的半径无关

它应该是个常数

所以我们用这个来论证

在这个里边

这里头气体充满了

比如我以R为半径

做一个气体的圆柱的面

那么这个圆柱的面上

气体它外边气体

给它的这个摩擦力矩

应该是个常数

所以我们现在先论证了

这个摩擦力矩应该是常数

我们来计算一下摩擦力矩

大家看这就是气体

气体到中心的半径是r

这样的话

形成一个圆柱面

我们刚才说的

就是外边气体

给它的一个摩擦力

对于中心的力矩

应该是常数

刚才证明了

下面我们把这个摩擦力矩算出来

在给圆柱的侧面上

我做这么一个小的面积dS

在dS上受的力

就可以用刚才的

牛顿的摩擦定律

计算出来

假如是df

那么df到中心的距离是r

于是这个力对中心的力矩

就是r乘dF

r乘dF我把它积分出来

就是整个的这气体圆柱的

外表面所受的

总的摩擦力矩

它应该是一个常数

跟半径无关

然后我们对这个地方

对这个小面积上

它的力应用牛顿粘滞定律

或者牛顿摩擦定律

它应该等于谁呢

应该等于黏度

乘以在这个地方

这个流速的梯度

就是流速对r的变化率

dv除以dr

我为了强调是相对

加个角标相对

就是流速的相对的梯度

或者是相对速度的梯度

然后因为这都是常数

因为在圆周上

这梯度都应该相同

常数提出来

所以最后是对dS积分

对dS积分

整个的面积就是

2πr乘以高度

就是2πr乘高度

于是这就是η乘以r

乘以梯度

再乘以2πL

我们下面会论证

这个相对速度梯度

等于多少呢

等于r乘以dω除以dr

就是r乘以dω除以dr

于是代进来

这就是2πηL

大家看r的三次方

这一个r 这一个r

在这上又出现一个r

是r的三次方

乘以dω除以dr

这应该等于常数

下面我们就来论证

为什么相对速度梯度

是r乘以dω除以dr

我们说我们曾经强调过

A物体相对于B物体的运动

是在B物体的参考系中

来考察A的运动

我们在想象一下

我有一个密闭的

圆柱形的一个容器

就整个封死了

一个圆柱形容器

里面充满了流体

比如充满了气体

我让这个容器

以ω匀角速转动

长时间之后

当它里边的气体

是稳定之后

我们以圆柱形的容器为参考系

来观察里边的气体

我们发现

里边的气体是静止不动的

对吧

因为它长时间

它就随着圆筒一块儿转了

所以在圆柱形容器来看

参考系来看

里边的气体是静止不动的

静止不动

就没有相对运动

没有相对运动

里边各层之间就没有摩擦力

所以它的相对速度梯度

就是零

可是地面上看

大家想想

我在地面上看

这一个圆筒在转动

里边气体随着它一块儿转动

也就是有同样的角速度

但是距离中心近的地方的速度

地面看速度

跟远处的速度就不一样

所以在地面上看

它两个速度是不同的

有个相对速度梯度

但这个相对速度梯度

不是相对运动的速度梯度

所以

我们在地面看

它的速度梯度

跟这个在

圆筒参照系看的速度梯度

就不一样

因此

我们现在强调

我们那个

牛顿摩擦定律里面的速度梯度

应该是相对运动的速度梯度

于是现在大家想

这是r处半径有个圆柱面

这个圆柱面在地面看

角速度是ω

我为了讨论它和r+dr

就是这是r半径

比它再长一点的地方

讨论这一点的速度的

相对它的速度梯度

就要以它以这个圆柱面

作参考系

大家注意

它是有ω角速度的

在这个参考系看

距离它

比如说我是这个圆柱面

距离它 dr处

它的相对速度是多大

那么它这个参考系来看

距离它圆一点dr处

它有一个角速度dω

这个dω在地面看

就是ω+dω

在圆柱面参考系看

就是因为它自己认为不动

所以这处的角速度就是dω

它有个dω

相对于这点

它有一个运动速度

有一个相对速度

所以在这个参考系看

这个地方有一个dω的角速度

于是在这个参考系看

这点的运动速度多大呢

就等于从中心到这点的距离

乘以这dω

就是在这个参考系看

它的速度

所以

它看到的相对的速度的大小

就等于从中心到这一点的距离

乘以dω

这个一乘

它跟它是高阶小

忽略不计了

就等于r×dω

所以在r这个圆柱面上看

比它远一点dr处的速度

就是r乘dω

这个速度除以dω

就是相对速度梯度

相对速度梯度

就等于rdω除以dr

就是我们需要论证的这个结果

这个结果

和我们地面上看到的

这个速度梯度是不等的

地面上看

这个v应该等于r乘ω

那么r乘ω

对于r来求导

出来两项

一项是r对r来求导

这一项就dr除以dr是1

另一个是ω对r来求导

就是dω除以dr

于是地面上看

这个速度的空间变化率

应该是ω加上

r乘以dω除以dr

所以跟我们看到的真正的

严格的相对速度的梯度

是不一样的

所以这也是希望我们

加以注意的

我们证明了这个

相对速度的梯度

等于r乘以dω除以dr

代到刚才那式子里面去

分离变量以后得这结果

注意这是摩擦力矩M

是常数

于是两边就可以积分

这边积分从r1积到r2

从内圆柱面积到外圆柱的内面

这边因为内圆柱面

它的角速度是零

外圆柱面的角速度是ω0

所以从这儿积到这儿

注意M是常数

于是积分出来

最后就得到结果

我的摩擦力矩等于这个值

那么这些都是已知的

L ω0 R1 R2都是已知的

于是我测量出来M

就可以把黏度求出来

这就是黏度计的工作原理

那么这个M怎么求呢

我们以前讲过

它是个悬丝

悬丝的扭矩是等于

这个扭转弹性系数D乘以ф

悬丝的扭转弹性系数已知的

于是由它的转角

就可以把M求出来

有了M就可以把

黏度求出来

这样的话我们这个黏度计

就完成了测量

力学课程列表：

微积分简介

-一.导数与微分

-二. 积分

绪论

-绪论

Ch1.质点运动学

-§1 矢量简介

-Ch1.质点运动学--习题

-§2质点运动学

-§3 相对运动-参考系变换

-习题

--习题

Ch2. 质点动力学

-§1牛顿力学.力

-§2万有引力定律

-习题--作业

-§3 牛顿力学应用

-§4.非惯性系.惯性力(上)

-习题

--习题

-§4.非惯性系.惯性力(下)

-习题

--习题

Ch3.动量

-§1动量.质点动量定理

-§2质点系动量定理

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-§3质心和质心运动方程

Ch4.功和能

-§1动能.功.动能定理

-Ch4.功和能--习题

-§2保守内力.势能

-§3机械能定理.机械能守恒

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-§1质点角动量.质点角动量定理

-习题--作业

-§2质点系角动量定理

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-§3万有引力场中质点运动

-§4.刚体 (上)

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-§4.刚体 (下)

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-§2.固体形变和流体静力学(下)

-Ch6.连续介质力学--习题

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-§7简谐波迭加.非谐波传播

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Ch8.狭义相对论

-§1 基本原理

-§2 L氏坐标变换.速度变换(上)

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-§2 L氏坐标变换.速度变换(下)

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-§3 相对论动力学基础

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-§4 质量.动量.能量.力相对论变换;不变量

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Ch9.广义相对论

-§1.基本原理

-§2史瓦西场中时间与空间(上)

-§2史瓦西场中时间与空间(下)

-§3大爆炸宇宙学简介

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