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Video课程教案、知识点、字幕

我们来计算一个惯性矩

矩形截面的

就咱们刚才说的

宽是b 高是h

来计算它的惯性矩

这是宽是b

高是h

我积分y方dS

dS取什么呢

取b乘以dy

这是dS

然后本来应该是积分

从负二分之h到正二分之h

因为它是一个偶函数

所以它就等于2倍的

从0到二分之h

最后积分结果

12分之bh立方

这样的话

我们有了这个前边那个结果

柏努力·欧勒定律

我们就可以得到这个关系

就是σx等于M外力矩

除以惯性矩乘以y

这样的话就真正的

把我们的应力分布得到了

已知的是外力矩

我可以计算出惯性矩

于是在横截面上

不同地点的应力

就可以求出来了

所以这个公式

就真正的给我们解决了

我在已知的力矩作用下

这个矩形梁弯曲

它的内力的分布

这样的话我们看到

最大的内力矩在哪儿呢

在它的两个端点上

所以它就等于

y是2分之h处的应力

结果就是M除以2倍的

惯性矩乘以h

这是我们计算出应力分布

我们下面还可以计算出

中心面的曲率半径

中心面的半径

就等于Y乘以IZ除以M

因为我们刚才从

柏努力方程得到

就是M等于Y除以ρ乘以Iz

所以可以把ρ求出来

然后还可以把这θ0求出来θ

0是什么呢

一弯曲以后

两个端点的截面它的夹角

我们定义作

这个矩形梁的变形

可以把它算出来

这样的话我们就把

整个的矩形梁的纯弯曲问题

全部解决了

由这个知识我们知道

为节约材料

我的h越大

b越小

我的这个材料越省

而这个惯性矩越大

所以要提高它的高度

减小它的宽度

而且我们看到

它是bh立方

它这个应力的分布

是跟y成正比的

所以靠近中心的地方应力小

外边应力大

所以我们也把这个内部的

中心部分的材料可以减小

让它到外边去

于是增加了它的惯性矩

然后对这个整个的抵抗外力矩

就起了更好的作用

大家看这是我们常用的

几个钢件型钢

这是工字钢

工字钢呢

铁轨大部分都用工字钢

它当中部分把它减小了

两部外部加强

这样的话它的惯性矩也增加了

然后力矩小的地方

我用小的面积

力矩大的地方

我多的面积来承受

这个是槽钢

这个是箱形梁

就是这个四周都是钢板

弄成空心的梁

咱们一般的桥梁

都用箱形梁

你看起来

是一个大的一个梁

其实里边都是空心的

这样的话可以节约材料

增加它的钢性

其他截面的这个梁

它在这种情况下

不是单向应力状态

但是可以近似为单向应力状态

按单向应力状态来计算

当不是单纯的力偶矩作用

比如说有了载荷

有了外力作用的时候

那么在一般情况下

在截面上会出现剪切力

但是可以近似按纯弯情况处理

剪切力很多情况下

都可以近似忽略

我们看一个例子

下面这个例子里面不考虑重力

悬臂梁

这是一个梁长是l

一端固定

那么这叫悬臂梁

那么在这个端部加上载荷

它的惯性矩是Iz

端部加上了载荷之后

我们来讨论一下

在任意截面处

它里边的内力矩是多少

现在我们在x处把它想象的切开

讨论x到l这段的平衡

这段平衡首先是力矩平衡

力矩平衡我们对x取矩

对x取矩

那么载荷在x处的力矩

就是P乘以l减x

那么为了力矩平衡

在x处就应该有一个内力矩

跟它相等

所以x处的内力矩

就等于P乘以l减x

刚才是悬臂梁

这种叫简支梁

简支梁架在支架上

它的惯性矩是Iz

它的载荷假设是作用在中点上

有一个载荷P

这种支架

不约束梁的水平运动

因此在支架上

没有水平方向的约束力

只有纵向的约束力

它两个约束力相同

都是二分之P竖直向上

我们现在讨论这个地方的

内力矩

这个地方在0

到它的载荷二分之l处中间

我们仍然对x处假想切开

然后讨论这个部分的平衡

我们知道这儿有一个向上的

支持力

于是对它来讨论横截面积上的

力矩平衡

于是这个力在横截面上的力矩

就是二分之P乘以x

应该等于这儿的内力矩

所以就求出了x处的内力矩

同样

我们在讨论力的平衡

力的平衡这一部分

它在这儿受一个

二分之P向上的力

于是在这个切开的面上

有一个二分之P的向下的力

这个力就不是正应力了

是剪切力了

所以

在这儿有一个剪切力二分之P

是向下的

所以呢

对于非力偶矩的

外力的影响的话

如果像有载荷的话

那么截面上会出现剪切力

悬臂梁简支梁

我们都近似

看作一个单向应力状态

于是

我们就套用前边那个公式

应力就等于

内力矩乘以y除以Iz

也是跟Y成正比的

同样

这点处它的中心面的半径

就等于Y

就是杨氏模量乘以惯性矩

除以内力矩

注意在这个地方

应力还有中心面的半径

以及内力矩

都不再是常数了

而是x的函数

我们这个是近似应用了

刚才我们在严格的矩形梁的

纯弯曲的结果

那么对这种情况下

它的应力

应变不再均匀

但是它的应力应变引起的

弹性势能的密度

仍然是

二分之一应变乘以应力

力学课程列表：

微积分简介

-一.导数与微分

-二. 积分

绪论

-绪论

Ch1.质点运动学

-§1 矢量简介

-Ch1.质点运动学--习题

-§2质点运动学

-§3 相对运动-参考系变换

-习题

--习题

Ch2. 质点动力学

-§1牛顿力学.力

-§2万有引力定律

-习题--作业

-§3 牛顿力学应用

-§4.非惯性系.惯性力(上)

-习题

--习题

-§4.非惯性系.惯性力(下)

-习题

--习题

Ch3.动量

-§1动量.质点动量定理

-§2质点系动量定理

-习题

-§3质心和质心运动方程

Ch4.功和能

-§1动能.功.动能定理

-Ch4.功和能--习题

-§2保守内力.势能

-§3机械能定理.机械能守恒

-习题

--习题

-§4自由碰撞

Ch5.角动量

-§1质点角动量.质点角动量定理

-习题--作业

-§2质点系角动量定理

-习题

--习题

-§3万有引力场中质点运动

-§4.刚体 (上)

-习题

--习题

-§4.刚体 (下)

-习题

--习题

Ch6.连续介质力学

-§1应力应变

-§2.固体形变和流体静力学(上)

-§2.固体形变和流体静力学(下)

-Ch6.连续介质力学--习题

-§3理想流体动力学(上)

-习题

--习题

-§3理想流体动力学(下)

-§4粘滞流体动力学(上)

-习题

--习题

-§4粘滞流体动力学(下)

-§5流体阻力(上)

-习题

--习题

-§5流体阻力(下)

Ch7. 振动和波

-§1自由振动.简谐振动

-Ch7. 振动和波--习题

-§2阻尼和受迫振动

-§3简谐振动合成(上)

-习题

--作业

-§3简谐振动合成(下)

-§4简谐波

-习题

--作业

-§5波动方程.波速

-习题

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-§6衍射反射折射多普勒效应

-§7简谐波迭加.非谐波传播

-习题

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-§8驻波

-习题

--习题

Ch8.狭义相对论

-§1 基本原理

-§2 L氏坐标变换.速度变换(上)

-习题--作业

-§2 L氏坐标变换.速度变换(下)

-习题

--习题

-§3 相对论动力学基础

-习题

--习题

-§4 质量.动量.能量.力相对论变换;不变量

-习题

--习题

Ch9.广义相对论

-§1.基本原理

-§2史瓦西场中时间与空间(上)

-§2史瓦西场中时间与空间(下)

-§3大爆炸宇宙学简介

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