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第五节

流体阻力

我们讨论物体

在流体中运动

所受到的阻力

一 粘滞流体中

运动物体所受的阻力

首先看粘滞阻力

就是表面摩擦力引起的

物体假设做匀速直线运动

那么以它为参考系的时候

流体在它表面上流动

流体在它表面上流动

就产生了摩擦力

这摩擦力

就是我们所说的

粘滞阻力

所以就是f粘

这是直接的粘滞阻力

由粘滞性直接产生的阻力

粘滞阻力与物体的形状

运动速度

和流体的流动有关

在层流情况下

粘滞阻力我们知道

是服从牛顿摩擦定律的

牛顿摩擦定律指出力

是跟黏度成正比

跟运动速度的

法向梯度成正比

在边界层里面

或者附着层里面

这个速度一般是成

剪切形式的

是一种线性关系

所以它法向的速度梯度

就是大概是跟它的流速

成正比

于是这个粘滞阻力

直接的粘滞阻力

或者粘滞摩擦力

就是跟速度成正比

跟黏度成正比

斯托克斯1851年

推导出半径为r

速度为v的球体

在流体中

它所受的

直接的摩擦阻力

就是f粘等于4πηrv

r是球体的半径

v是它运动速度

是4πηrv

这是斯托克斯

推导出来的关系式

在运动速度增加

变成湍流的情况下

摩擦阻力还是存在的

但是那个时候

它就是占的比例非常小了

往往可以忽略

这是直接的粘滞阻力

第二个是压差阻力

前后压差引起的

我们首先看

层流无旋的情况下

压差阻力是多大

物体运动速度是很小

那么以物体为参考系的时候

流体定常流动

那么这个时候

它就是层流无旋的情况

我们来看

这是层流无旋的情况

以它为参考系

看到流体

以负v从无穷远流过来

那么这个点

是它的前驻点A

这个是后驻点B

那么流体是这么流过来

那么我们要想利用这个

伯努利方程来讨论的时候

我们就要建立一条流线

就紧贴着这个AB这两点

建立一条流线

从这儿流过来

这是1点

非常靠近A点

这是2点非常靠近B点

那么由这个考虑摩擦的

也就是粘滞流体的

伯努利方程

对1 2两点建立起来

那么就得到这个结果

就是P1加上二分之一ρv1的平方

等于P2加上二分之ρv2的平方

加上w12

就是从1到2

这个单位体积流体

克服摩擦力做的功

因为1点非常靠近A点

所以P1约等于PA

2点非常靠近B点

所以P2约等于PB

那么1 2两点

它非常靠近AB

AB地方是驻点

速度是零

所以v1约等于零

v2约等于零

于是这一项是零

这一项是零

于是PA就约等于PB

加上w12

PA减PB约等于W12

是大于零的

也就是前方的压强大

后边的压强小

所以这是一个阻力

这就是

这个产生的压差阻力

压差阻力∝压强差

和横截面积S

压强差约等于w12

就是正比于w12乘以S

那么斯托克斯

在1851年推导出

球体它的压差阻力

等于多少呢

2πηrv

r是球体半径

v是运动速度

是2πηrv

这样的话

这个运动的物体

既受到直接的摩擦阻力

还有前后产生的压差阻力

于是

它受到的总的阻力

就等于粘滞阻力

加上压差阻力

这是它受到的总的阻力

两个因素都存在

那么这个斯托克斯

把这两个加起来

一个以v运动的球体

受到的总的阻力

就是6πηrv

这个也叫斯托克斯公式

或者叫斯托克斯定律

这是一个非常重要的

一个关系式

在层流的情况下

它有直接的粘滞阻力

和层流压差阻力

总起来是这个结果

第二个

我们讨论压差阻力的时候

它不是层流了

就是湍流有旋

大家看这是湍流有旋

我这个物体的运动速度比较大

于是这个远处看

流体的速度还是负v

但是前边还是层流

到了后边

就出现了湍流

那么这种情况下

是非定常流动了

这种情况下

我们就不能够用这个

考虑粘滞性的

伯努利方程来计算了

就是严格说

不能用它来计算了

但是我们前边说过

在湍流情况下

我们初步讨论的时候

是把它取它的平均速度

湍流虽然非常的混乱

是一个混沌现象

但是它的平均速度

却非常的规律

它就是平均速度又均匀

就等于这个流体的速度

所以我们用

前边层流

后边也是层流

然后是运动速度

以平均速度来运动的

情况来讨论

利用什么呢

利用粘滞流体的

伯努利方程来讨论

来作为这种情况的

一个近似和估计

所以严格说是不能用的

但是我们把它换成那种情况

就近似的应用

粘滞流体伯努利方程

来对它进行估计

我们现在来计算一下这种情况

现在我们是一个物体

以v来运动

前边仍然是层流

到这儿是驻点

后边湍流呢

用它的平均速度来表示

表示在这里是一个匀速的

没有驻点的一个情况

来计算一下这种情况下

它产生的前后压差

那么由考虑摩擦的伯努利方程

对1 2两点建立起关系来

P1加上二分之一ρv1的平方

等于P2加上二分之ρv2的平方

加上w12

注意到P1约等于PA

V1约等于零

P2约等于PB

v2就是v

这里边还有w12

在这种情况下

w12小于小于二分之一ρv方

所以把它略去

最后我们得到

PA约等于PB

加上二分之ρv方

也就是PA减PB

约等于二分之ρv方

正比于ρv方

于是压差阻力

正比于前后压强差

乘以横截面积

就正比于ρv方d方

d就是这个物体的

最大的尺度

那么湍流时也有粘滞阻力

但是远远小于

湍流引起的压差阻力

所以总的阻力

就等于粘滞阻力

加上压差阻力

约等于湍流的压差阻力

所以我们看到

我们在前边

讨论流体阻力的时候

我们给出了两个关系式

一个低速的情况下

那么这个流体阻力

正比于物体的运动速度v

一个高速流动的时候

流体阻力正比于

物体运动速度的平方

这样的话

我们就把这两种都讨论了

在这里都出现了

就是这个结果

我们说

流体阻力来自流体的粘滞性

没有粘滞性

就没有流体阻力

所以这个无论是

直接的粘滞力

还是w12引起的层流压差阻力

还是湍流的形成等等

都来自流体的粘滞性

如果想减小流体阻力的话

我们看到

流体阻力大的情况

就是湍流的时候

流体阻力是大的

它正比于谁呢

正比于速度的平方

所以它流体阻力是大的

因此我们所说的减小流体阻力

就是减小流体的

湍流压差阻力

要想减小流体的湍流压差阻力

就要避免它形成湍流

也就是说

把物体做成流线型

大家看

湍流压差阻力除以粘滞阻力

等于谁呢

湍流压差阻力

是跟ρv方d方成正比

而粘滞阻力

是跟v和d成正比

于是我们看

这两个一除的话

那么结果就是ρvd除以η

这就等于谁呢

等于是雷诺数

所以湍流压差的阻力

除以粘滞阻力

大约是等于雷诺数

跟雷诺数成正比

雷诺数很大的时候

是湍流的压差阻力

所以雷诺数很大

它就远远超过了粘滞阻力

所以要把它

物体改造成流线型

让它不出现湍流压差阻力

就可以大大减小

它的粘滞阻力

大家看这种情况

这是湍流出现了粘滞阻力

于是我改成流线型

流线型虽然同样的运动

但是它没有湍流压差阻力

就大大的减小了它的阻力

上面两图雷诺数相同

形状不一样

所以它的这个粘滞阻力

也就不一样

或者说它的运动阻力就不一样

低速情况下

是粘滞阻力

你把它改成流线型

反而增加了粘滞阻力

所以大家看

我飞行的小鸟

它的速度不大

所以它身体不是流线型

因为流线型反而增大阻力

而高速飞行的飞禽

它身体都是流线型

就是在高速飞行的时候

使得它减小它的阻力

理想流体黏度是零

那么它就没有流体阻力

就是不受压缩的理想流体中

匀速直线运动的物体

它就没有流体阻力

这就是这种情况

如果从能量角度来分析的话

它匀速直线运动的物体

以它为参考系

流体从远处流动来

再流到远处去

它的动能根本没有变化

动能没变化

那么它也就不需要

对这个物体对它做功

或者它对物体做功

没有功的交换

所以就没有阻力

如果物体加速运动的时候

它就要受到一个惯性阻力

因为你加速运动的时候

相当于使得流体加速

所以就相当于

使得流体动能增加

所以你就需要

对这个流体做功

反过来流体就对它有阻力

物体加速运动

使得流体动能增加

就相当于对流体做功

反过来流体

就是要对它也要做功

使得它受到阻力

那么这样的话

就相当于增加了它的质量

比如对球

如果加速运动的话

相当于增加了一个附加质量

这附加质量

等于排开流体质量的一半

这就是我们说的加速运动

实际流体都有粘滞性

很多问题

我们可以忽略粘滞性

把它看作理想流体

但是在有些问题里面

一定要严重的

注意它的粘滞性

因为在这些问题里面

粘滞性

往往起着重要的作用