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第六

史瓦西场中运动时钟

我们刚才讨论的引力场

都是静止的点上的测量讨论

那么现在我们讨论

在史瓦西场里运动的时钟

它的情况

就是讨论是史瓦西场中

运动时钟的固有时

跟坐标时的关系

时钟在史瓦西场运动

它既受到引力

有引力效应

又有运动效应

所以是两个双重的效应

于是我们要讨论

固有时和坐标时的关系

下面以地球为史瓦西场

选地心坐标系

我选的是地心坐标系

那么S（ct r θ ф）

物体以v经过S参照系里面

一个固定点P处

我们来讨论

它这个物体上的时钟

和这个地心坐标系

引力场里边时钟的关系

注意在地心参照系里面

地球是转动的

所以它不是一个严格的史瓦西场

真正的史瓦西场

物质球是不应该动的

但是因为地球转动速度不大

所以我们可以近似把它当做

史瓦西场

观测物体运动的元过程

在引力场里面测量的时候

为dτ

就是在引力场里面

在这个定点P点来测量

它是固有时dτ

那么这个物体

当时正在经过这个r处

在物体上测量为dτ′

那么B处测量的固有时

跟坐标时什么关系呢

我们以前得到这个关系

这是引力场里面

固有时和坐标时的关系

下面要看什么呢

要看地面参考系测量的时间

和物体测量的时间关系

我们先不直接讨论

我们用什么呢

用局静惯系

在局静惯系里讨论

局静惯系在这一时刻

相对于地面是不动的

它看到一个物体

以v在这儿运动

于是物体经历的事件是原时

那么局静惯系里边的dτ

应该是非原时

于是就有这个关系

那么这个固有时

也就是我们地面上

测量的时间间隔

和坐标时是这个关系

于是把这个代进来

先近似计算

先把这二分之一去掉

近似到这里面去

于是两个乘积

两个乘积之后再近似

最后就得到这个结果

1减去v方/2c方

这是运动引起的

减去GM/c方r

这是引力引起的

于是这是物体上的时间间隔

跟引力场里边的

坐标时的时间间隔

就是这样的个关系

那么利用了弱场

和低速的近似

就是在这个计算里面

有了这个近似

下面我们把这个关系式

应约到GPS系统的时钟校正

全球定位系统GPS

是由24颗带有时钟的

地球同步卫星组成

利用接收到的

电磁波信号的时间差

同时有几个卫星

接收到地球上一个点

发射的信号

于是由这些卫星

它接收的时间的差

来确定这个点的位置

所以这是可以计算出来的

因此

要求时钟准确

就需要做校正

什么校正呢

一个引力的校正

一个运动效应的校正

我们简单计算一下

假设在赤道上空

相对地球静止的同步卫星

距地心的距离是r0

那么r0等于GM

这是地球质量

除以地球自转角速度的平方

然后开三次方

就得到了这个距离

那么这个距离计算出来

是等于6.6倍的地球的半径

这个式子怎么来的呢

就利用这地球的同步卫星

它的向心加速度乘以质量

等于它所受的地球的引力

从这儿可以得出来

那么赤道地面上静止钟

它的速度v等于ωR

地面上静止钟

但是在地心去看它是运动的

所以要考虑它的运动

它的位置是等于地球的半径

它的固有时

就是dτ′在地球上

赤道地面上静止钟

它的固有时等于多少呢

（1-v方/2c方-GM/c方r）

这个r就是地球的半径

这个v就是ωR

就是地球上的

静止钟跟坐标时的关系

就是这个关系

然后这个整理一下

得这结果

为什么得这个结果呢

把这个R提出去

这就是GM/R方

GM/R方就是重力加速度

所以

结果等于这个结果

卫星上的时钟

它的速度等于多少呢

速度等于ω乘以ro

因为它的转动角速度

跟地球一样

但它距离地面的距离远

ω乘以r0

它的位置是r0

它的固有时

也把这个代进去

结果是这一项跟这一项

就是不看它二分之一

是相等的

因为什么呢

刚才我说了

这个卫星的质量

乘以它的向心加速度

等于它所受的重力

于是我们看到

r0的立方

等于GM/ω平方

所以r0就从这个式子来的

然后因为ω平方r0

等于GM/r0平方

所以这两项

不算这2的话

这两项是相等的

所以这两项合起来

就是2c方r0分之3GM

就是这个结果

那么这是卫星上的固有时

和地球表面的时间间隔

它的表达式

我们现在看一下

这两个的时间差

就是卫星时钟

跟地面钟的时间差

我用dτ′来表示

等于卫星上的时钟

减去地面上时钟

它的时间间隔

把刚才结果代进去

最后等于多少呢

等于5.4乘以10的负10次方Δt

所以卫星跟地球表面

它的时钟是有时间差的

其中有运动的影响

有引力的影响

两项都不可以忽略

引力和运动效应

对固有时的影响

我们来看一下

地面静止的物体

引力效应

是用重力加速度来表示

运动效应

是ω平方R来表示

所以它远远超过它

ω平方R

是远远小于动力加速度

所以地面静止物体

引力效应

大于大于运动效应

在庞德实验里边

我们就说

在塔顶发射塔底接收

这里边没有考虑到

地球运动引起的运动效应

它是非常有道理的

因为什么呢

因为引力效应

大于大于运动效应

所以运动效应可以忽略不计

因此庞德实验里边

忽略地球的运动

是完全可以的

我们再看同步卫星上就不一样了

同步卫星上引力效应

等于2倍的运动效应

从刚才那个公式里可以看到

引力效应等于2倍的运动效应

所以高度不一样

它的引力效应

和运动效应的相互关系

就不一样

取Δt等于一天

就是我这个坐标时取一天的时间

那么这个卫星和地球上的

时钟的时间差

就等于4.7乘以10的4次方纳秒

这样的话

由于这个时间误差

引起光线传播的距离

会达到10的4次方米

也就是说

距离误差会达到这么多

因此

把卫星上的时钟进行修正

一个是运动修正

一个是引力修正

是非常必要的

如果你不修正

一天的时间

就会引起这么大的误差

所以一定要进行修正

第三

Cs原子钟的环球飞行

1971年

将Cs原子中放在飞机上

环地球一周之后

又和地面上的时钟进行比较

于是测出它的时间差

那么这个时间差

也是综合了时钟的引力效应

跟运动效应

也就是说

我们的引力效应运动效应

和实际的计算来进行比较

那么看一看

你这个计算结果理论结果

跟实验结果是不是相同

我们现在做个简化的计算

在赤道上飞机高度是h

沿着赤道相对地球

以u来运动飞行一周

在地球的赤道上

高度距地面高度为h的地方

绕着地球运动一周

以多大速度呢

相对地面以u来运动

绕地球飞一圈

自西向东飞行的时候

取u为正

自东向西飞行的时候

取u为负

因为在质心系里边

地球本身还在转

所以它应该有正有负

降落后

与原来的地面钟对表

注意把飞机的起飞降落的时间

忽略不计

来对表看一看

因为你在上空飞行

你的时钟和地面时钟

引起的差别是多少

飞机飞行一周

所需要的坐标时是2πR

R是地球半径

绕地球一圈

除以它的运动速度

这是它的坐标时

地球上静止时钟

以ωR运动

r等于R

所以地球上的这个固有时

和坐标时是这个关系

跟刚才那公式是一样的

把v取作ωR

这个R取作地球的半径

这是地球上的

再看飞机的时钟

是以这个来运动

它的高度是R+h

地球半径+h

于是飞机上的时间

跟坐标时是这个关系

跟刚才那公式完全一样

于是

两个时钟的时间差多少呢

就是它减它

然后把这个结果代进来

结果是这个结果

然后把h忽略不计

于是这GM除以R方就是g

就变成gh

这个整理一下

是这个结果

于是得到这个结果

这就是在飞机绕着地球飞行一圈

这个时间里面

这个飞机上的时间

和地球上的时间的时间差

第一项是引力效应

第二项是运动效应

我取u等于500米每秒

取h等于2乘以10的4次方

2万米

重力加速度取作9.80

我们来算一下

引力效应为175纳秒

它跟你往东走往西走没关系

然后向东的飞行运动效应

为负的318纳秒

总的时差为负的143纳秒

向西飞行运动效应

为96纳秒

总的时差为271纳秒

这就是我们算出来的结果

那么这样看

我就可以算出来

运动效应和引力效应

从这个计算可以看到

运动效应跟引力效应

是同一个量级的

忽略哪个都不对

那么1971年

美国华盛顿大学的两个实验者

把四个Cs原子钟放在客机上

然后分别向东和向西飞行一周

实验取4只钟的平均值

计算原理是跟上面一样

大家它是放在客机上

不是真正的兜一圈

也不是在赤道上兜一圈

所以它必须考虑方向

高度等等各个因素

因此

它在飞行一圈的过程中

把这个整个的过程

分成多少段来计算

向东飞行分成了125段

向西飞行分成了108段

在这一段里面基本上是

方向 速度 高度

基本上是均匀的

然后再换下一段

再换下一段

就分成100多段

来进行计算

这样的计算结果

我们来看

这个理论计算

它就按分段

一段一段的

按高度 速度等等计算

方向也有影响

计算向东引力效应是

144加减14

然后运动效应是

负的188加减18

总的效应

应该是负的40加减23

实验结果

负的59加减10

向西的时候

总的效应是275

实际的测量是273

总体来看

确实还是相符的

这个实验就表明了

我的在地球上飞行的时候

运动时钟它的引力效应

和运动效应

两个都不能忽略

严格的计算

都应该是考虑进去

可见理论计算

跟实验结果是相符的