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下面呢

我们由能量关系

求振动规律

如果某系统

它以ξ为参量

那么它的机械能守恒

并且机械能写成

1/2的m*

乘以ξ一点的平方

加上1/2k*

乘以ξ平方

那么我们说

这个m*就是这个系统

它的等效质量

这个k*

就是系统的等效劲度系数

那么这样一个系统

它就是一个简谐振动

怎么知道呢

我对这个等式两边求导

它机械能守恒就是这是常数

一求导的话这项是零

它一求导的话是2倍的ξ一点

乘以ξ两点

2跟2约掉了

就是m*ξ一点ξ两点

这个一求导的话

是1/2的k*乘以2ξ

再乘以ξ一点

ξ一点消掉了因为是零消掉了

于是剩下结果就是

m*ξ两点

加上k*ξ等于零

这是一个无阻尼自由振动的

微分方程

它的结果就应该简谐振动

所以在这种情况下

它的ξ就是简谐振动

就等于Acos(ωt+ф)

ω就等于

等效的劲度系数k*

除以等效的质量m*开方

这样的话

我能量如果有这样的一个

表达形式

于是我就知道它是简谐振动

这样的话我们就可以

如果知道机械能守恒

并且可以表示成这种形式

就是它以ξ为参量

一项这个机械能一项

可以写成ξ平方的形式

一项可以写成ξ

一点平方的形式

那么这样的这个振动

就不必推导了

不必再去求这个方程了

直接就知道

它是一个简谐振动

就可以把这个结果写出来

而且我们知道

从能量角度判断它是

简谐振动的话

动能总可以表示成一个平方形式

所以关键就是势能

如果势能也可以表达成平方形式

然后再判断机械能守恒

于是这个系统

做的一定是简谐振动

所以关键判断

是简谐振动的标准

一个是机械能守恒

就是没有阻尼

第二个它的势能

可以表达为平方形式

我们就可以判断了

那么

由这个结果

我们可以推导出一个规律来

无阻尼的

稳定平衡位置附近的

自由的小振动

它一般都可以近似为简谐振动

就可以用能量的方法判断

下面做证明

平衡位置就是

势能曲线的极小值地方

我们现在把势能最小值的地方

取作原点O

而且把这地方的最小值取作0

就是势能的最小值取作0

于是因为它是极小值点

所以它的一阶导数

在原点处的一阶导数是0

原点处的二阶导数大于0

这是极小值点的特征

这样的话

我们把这个势能

在x=0处展开

就等于x=0处的势能

加上这处的一阶导数乘以x

加上二阶导数

乘以x平方除以2

这个我们取作0

这个本身这导数是0

所以这两项都没有

于是就剩下二分之

这个Ep的二阶导数

乘以x平方

把高阶项忽略就等于它

这样的话我们看到

这个势能它可以写成一个

平方的形式

动能可以写成

x一点平方的形式

而且因为它是无阻尼的

它是机械能守恒

因此在x<<1

这个小振动情况下

在平衡位置

这个零附近的振动

就可以近似为简谐振动

于是它的这个k*

就是Ep''

那么就可以把它的这个

振动的圆频率

也可以计算出来

我们说

原子在平衡位置附近的振动

都可以近似为简谐振动

于是可以把它称为谐振子

再举一个例子

就是用能量来判断

它的这个振动

大家看一个U型管

U型管横截面积

是S等于常数

液体的密度是ρ

总长度是L

这是总长度L

不计摩擦阻力

就是把它看作理想流体

求液面起伏振荡的频率ν

我们看

把液体、地取作系统

于是它有重力势能

机械能守恒

取静止的时候

就是两个液面相平的时候

作为y=0处

取y是向上的方向

是这个系统势能的零点

它的势能就是重力势能

于是当t时刻

这边的液面到了y处

那么在这个液体

因为它是截面相同

它的运动速率是相同的

它具有共同的速率y一点

就是这个的变化率

就是它这点的运动速度

也就是它整体所有质点的

运动速度

所以它的速度是相同的

然后它的势能等于多少呢

我假设这一点的质量是Δm

那么它的势能

就是从这个的质心到这个质心

升高的距离

升高距离正好是y

于是它的势能

就等于Δmgy

Δm可以写成

S乘以y是它的体积

再乘以ρ就是它的质量

Δm就等于ρSy

再把这y乘进去

最后这势能就可以写成

ρgSy^2

所以大家看

势能是y的平方的形式

动能是y一点的平方的形式

于是这个系统

就可以看作什么呢

看作我们刚才所说的

这个无阻尼的

又是机械能守恒

然后势能写成平方形式

动能写成平方形式

这种情况

所以由能量关系就可以判断

这个振动就是简谐振动

然后它的等效的质量

就等于m

因为它的动能等于是

二分之总质量乘以y一点的平方

所以它的等效的质量就是m

m等于多少呢

是这个ρ乘以总的体积

就是总体积是L乘以S

它的这个等效的劲度系数

就是k*/2

应该等于它

于是k*

等于2ρgS

于是它的圆频率

就是k*/m*开方

结果就等于√(2g/L)

所以这个的圆频率

就可以计算出来了

我们不需要解微分方程

我们只需要讨论

它的机械能守恒

看到它的势能的表达形式

动能表达形式

最后判断出

它就是个简谐振动

于是直接

把简谐振动的圆频率求出来

于是它的振动频率

就等于圆频率除以2π

结果就是这个结果

我们再看单摆

一个质量为m的质点

摆长是l

不计摆杆质量

它来回摆动

那么最低点

选作势能零点

地摆系统

它的机械能守恒

于是它的机械能

等于它的动能加上势能

势能我把这点选作最低点

于是势能就可以写成

mgl(1-cosθ)

这样看我们知道

单摆不是简谐振动

因为它的势能

不可以写成一个

这是θ一点作为参量θ

作为参量

不能写成θ的平方的形式

所以它不是简谐振动

但是

A是平衡点的时候

在小角度摆动θ

小于小于1的情况下

我们可以把cosθ展开

在哪儿展开呢

在零点处展开

零点处展开

它是1-θ^2/2!

加上θ^4/4!

一直加下去

我们把高阶小忽略不计

于是cosθ

在小角度摆动情况下

约等于1-θ^2/2

把这个结果代进来

1约掉了

于是就剩下θ平方的形式

于是E在小角度摆动情况下

机械能

等于1/2 ml^2 θ一点的平方

加上mglθ^2/2

这样的话以θ为参量

它的势能

就是θ平方的形式

动能就是θ一点平方的形式

而机械能又守恒

所以这个摆动

小角度摆动就是简谐振动

于是

我们就可以求出它的什么呢

求出它的圆频率来

振动圆频率

它的等效质量

等于ml^2

它的等效的劲度系数

等于mgl

于是

我们就可以把

它的圆频率求出来

等于k*/m*开方

等于g/l开方

可以把它振动函数写出来θ

作为参量就等于θ0

它的振幅乘以cos(ωt+ф)

所以单摆的小角度摆动

我们从能量角度来分析

它就是个简谐振动

可以把它的振动函数

和它的圆频率求出来