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Video课程教案、知识点、字幕

第七章

振动和波

振动和波动

是物质运动的基本形式

振动是波动的基础

所以我们现在就讨论

这个振动与波

波是振动的

最基本的表现形式

所以它是非常的重要

也是和我们日常生活

联系非常紧密

我们主要讨论机械振动

机械振动

就是质点在它平衡位置附近

来回运动

就称为机械振动

把机械振动推广

那么一切物理量

在某一个值附近

来回变动

我们都称为这个物理量

做一个振动

所以

我们是以机械振动

为主要的研究对象

但是可以推广到

所有的物理量

我们把机械振动分类

一类是按策动力来分类

有策动力叫受迫振动

没策动力叫自由振动

还有一类是按阻尼

有阻尼的振动是有阻尼振动

没有阻尼振动是无阻尼振动

第一节

线性系统无阻尼自由振动

简谐振动

这是最简单的振动形式

首先讨论动力学方程

以及动力学方程的通解

首先看微分方程

我们线性系统

无阻尼振动的情况

它的模型

就是弹簧振子模型

这一个水平面上

光滑的水平面上

没有摩擦力

那么由一根弹簧

拉着一个滑块

在这上来回运动

这就是线性系统

无阻尼自由振动的

弹簧振子模型

那么在这种模型下

这个弹簧也非常轻

不考虑弹簧质量

它的劲度系数k

那么质点的

或者说滑块的质量是m

于是我选弹簧原长处

作为坐标零点

弹簧在x处它的弹性力

就是F=-kxx

就是力是向着这个方向

然后是跟它的

相对原点的位移成正比

比例系数就是劲度系数k

这就是弹性恢复力

在弹性恢复力下

那么它做的振动

就是线性系统的自由振动

那么所谓线性系统

指的是微分方程是线性的

大家看

在x方向mx两点等于-kx

这个微分方程就是线性的

所以这个系统叫线性系统

这个力称为弹性恢复力

这就是我们的微分方程

微分方程整理一下

把这m除过去

把它移过来

就是x两点

加上ω^2 x等于零

其中ω^2=k/m

叫做这个振动的圆频率

圆频率又等于2πν

ν是振动的频率

下面我们求一下

这个线性系统

无阻尼自由振动的

微分方程的通解

那么从数学上看

这是一个二阶的

微分方程

所谓通解

就是它的解里面有

两个互相独立的常数

从物理上看

通解就是弹簧振子的所有振动

数学上看

二阶微分方程包含两个

互相独立的常数

我们来解

x两点等于dv/dt

dv/dt换元

换成dv/dx

然后dx/dt

dx/dt

就是速率v

就是vdv/dx

于是它等于-ω^2 x

然后把它乘过去

就是vdv积分等于

-ω^2 xdx来积分

积分结果

就是v^2/2等于

c1-ω^2 x^2/2

所以这是第一次积分

得这个结果

得这个结果

于是v等于x一点

x一点的话

把它这个开方

开方以后我取a^2=c1

就变成了

a^2-ω^2 x^2再开方

令x=asinθ/ω

就是x=asinθ/ω

把这个代进去

这就变成了

a^2(sinθ)^2

把a^2提出来

就是变成了

a里边1-(sinθ)^2

变成了(cosθ)^2

开出来就是acosθ

于是就得到这个结果

就是v等于s一点

最后等于acosθ

把这个式子两边求导

对t求导

这边对t求导

就是acosθ

然后θ一点

然后除以ω

这个求导就是x一点

x一点等于acosθ

于是就是acosθθ一点

除以ω等于acosθ

把这个约掉

我们就发现

原来θ一点等于ω

ω是一个常数

于是一积分就得到了θ

等于ωt+c2

就是θ这个常数

等于ωt+c2

于是我们就得到了x

它的位移

位移就等于x

x=Acos(ωt+ф)

其中A就等于刚才的小a

常数除以ω

c2就等于ф+π/2

于是我们就得到了解

这就是通解

x就是它t时刻

这个滑块或者质点的位置

是多大呢

就是它和前边这个A

乘以cos(ωt+ф)

ω是已知的常数

那么这两个

就是我们互相独立的

待定的常数

那么也就是说

这就是我的原来的

微分方程的通解

这个x就是振动函数

这样的振动

我们称为简谐振动

我们下面会对简谐振动

做更充分的讨论

那么互相独立的常数

一个是A

我们定义让它大于等于零

于是A叫振幅

然后呢

这个ф取作-π到π之间

把它称为初位相

于是我们这就是两个

独立的待定常数

这就是一个通解

这样的话我们看到

线性系统无阻尼自由振动

它实质上

就是一个简谐振动

这是它的位置函数

或者叫振动函数

那么把它对时间求导

就得到了速度函数

速度函数等于

-ωAsin(ωt+ф)

然后加速度是速度的导数

就是x的两点

等于这个结果

把这个x代进去

等于-ω^2 x

所以看到它的加速度等于它

正好就是满足了

我们的微分方程

所以这个解无疑是正确的

说明

我们前边是从微分方程

然后一步一步的推导出结果

x=Acos(ωt+ф)

以后如果再碰到这种情况

就不需要加以推导

直接把结果写出来就可以了

因为我们的推导已经有了

力学课程列表：

微积分简介

-一.导数与微分

-二. 积分

绪论

-绪论

Ch1.质点运动学

-§1 矢量简介

-Ch1.质点运动学--习题

-§2质点运动学

-§3 相对运动-参考系变换

-习题

--习题

Ch2. 质点动力学

-§1牛顿力学.力

-§2万有引力定律

-习题--作业

-§3 牛顿力学应用

-§4.非惯性系.惯性力(上)

-习题

--习题

-§4.非惯性系.惯性力(下)

-习题

--习题

Ch3.动量

-§1动量.质点动量定理

-§2质点系动量定理

-习题

-§3质心和质心运动方程

Ch4.功和能

-§1动能.功.动能定理

-Ch4.功和能--习题

-§2保守内力.势能

-§3机械能定理.机械能守恒

-习题

--习题

-§4自由碰撞

Ch5.角动量

-§1质点角动量.质点角动量定理

-习题--作业

-§2质点系角动量定理

-习题

--习题

-§3万有引力场中质点运动

-§4.刚体 (上)

-习题

--习题

-§4.刚体 (下)

-习题

--习题

Ch6.连续介质力学

-§1应力应变

-§2.固体形变和流体静力学(上)

-§2.固体形变和流体静力学(下)

-Ch6.连续介质力学--习题

-§3理想流体动力学(上)

-习题

--习题

-§3理想流体动力学(下)

-§4粘滞流体动力学(上)

-习题

--习题

-§4粘滞流体动力学(下)

-§5流体阻力(上)

-习题

--习题

-§5流体阻力(下)

Ch7. 振动和波

-§1自由振动.简谐振动

-Ch7. 振动和波--习题

-§2阻尼和受迫振动

-§3简谐振动合成(上)

-习题

--作业

-§3简谐振动合成(下)

-§4简谐波

-习题

--作业

-§5波动方程.波速

-习题

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-§6衍射反射折射多普勒效应

-§7简谐波迭加.非谐波传播

-习题

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-§8驻波

-习题

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Ch8.狭义相对论

-§1 基本原理

-§2 L氏坐标变换.速度变换(上)

-习题--作业

-§2 L氏坐标变换.速度变换(下)

-习题

--习题

-§3 相对论动力学基础

-习题

--习题

-§4 质量.动量.能量.力相对论变换;不变量

-习题

--习题

Ch9.广义相对论

-§1.基本原理

-§2史瓦西场中时间与空间(上)

-§2史瓦西场中时间与空间(下)

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