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第二个

有界弦的自由振动

简正模式

我们前边普遍的讨论了驻波

用特殊的干涉情况

得到了驻波

下面我们说一下

实际的驻波

两端固定的

均匀弦上的基础波

大家看

这是一个两端固定的

一个均匀的弦

那么它上边有张力T

它长度是L

这两端固定

我建立一个坐标

这边取作零

这边取作L

坐标是z

这是一个两端固定的弦

我们来看一下

它上面出现的

基础的波动是什么样

首先我们知道

弦的线密度是η

弦上张力是T

这都是已知的

我来看一下单频驻波解

就是我这样一个弦

我要在这上头做一个横向的

小的波动

那么它需要满足什么条件呢

满足边界条件

它在这儿固定了

所以在这个地方

它的振动应该是零

它在这儿固定了

所以在这地方振动是零

所以你这个横向的小波动

它必须满足这两个条件

在这个地方它是零

在这个地方它是零

它既是个波动

在这个地方

又有确定的振幅

不随时间改变的振幅

所以这个波动

绝对不是行波

行波它各处的

波动振幅是相同的

所以它只能是驻波

所以我们假设

它是一个驻波

驻波的话

那么是要保证这点的

振动是零

于是它一定是sinkz

因为把z等于零代进去

这一项是零

所以一定是Asinkzcos(ωt+ф)

保证了第一个边界条件

同时它还要求

在z等于L的地方

它也必须是零

于是怎么样呢

就要求knL等于nπ

也就是说

不是一个k可以满足这条件

有无数的k可以满足这条件

我们给它编上号叫kn

它们knL等于多少呢

如果等于nπ

n等于1 2 3 4 5

这个正整数

当它等于正整数的时候

它等于nπ

代进来

这一项就是零

所以

对应这个n的圆波数

我们叫做kn

所以kn乘以L等于nπ

满足这条件

于是它就可以使得它的

第二个边界条件满足

这样的话我们就发现

它的这个波动的频率

不再连续了

因为什么呢

因为它要一个一个

分立的圆波数

于是波长不连续

于是频率就不连续

这就是分立了

由于边界条件

在有限区间里边

它实行的基础的波动

就是分立的频率

于是

它的波长就是2L除以n

等于λ1除以n

λ1等于2L

它的圆频率

等于波速乘以kn

波速我们知道

已经知道了它的张力T

知道了它线密度η

它的波速等于根号下

T除以η

所以这v是已知的

于是v乘以kn

就是它的圆波数

它等于ω1的n倍

ω1等于πv除以L

这样它频率等于

波速除以波长

也是第一个频率ν1的n倍

ν1等于v除以2L

于是我们看到

这样的话

它的频率就是分立的

波长频率分立

那么基频

我们称之为ν1或者ω1

把它称之为基频

这是能够满足

两端固定的弦上的

基础的解

就是一个一个的

单频的驻波

但是它的波长频率

是分立的

是可以有许许多多无穷多的

那么实际的

两端固定弦上的真正的波动

它必须满足边界条件

所以真正的

实际的振动的波

一定就是这些个

单频驻波的叠加

所以弦上的单频驻波

刚才已经写出来了

那么满足边界条件的

实际的波

就是这些单频驻波的叠加

于是我们就得到了

实际的波

这样的话我们就知道

我要想知道实际的波

我先要把它单频驻波找出来

找出单频驻波

把它叠加起来

就可以得到实际的波

那么实际的波

需要满足什么条件呢

要满足初始条件

因为你叠加起来

要知道叠加大家看

是An和фn

这两个是待定的

你只有把An фn求出来

你这个实际的波动

才最后确定

那么怎么确定这两个呢

或者说你怎么知道

它这样一个确定的波动呢

是由初始条件

就是t等于零的时候

它的位移

这是一个已知函数

和t等于零的时候

它的速度

这也是一个已知函数

这两个已知函数

就可以把An фn求出来

An фn求出来

这个波动就确定了

它就是单频驻波的叠加

我们看个例子

就是把一个弦

支撑为正弦的形式

就是你两端固定的弦

本来拉直了

我用一个模板把它撑起来

成为一个正弦函数

大家看

是振幅为h的一个正弦函数

然后我把模板一扽

于是那弦就开始振动起来

这就是初始条件

这时初始条件的时候

是什么情况呢

就是刚开始的时候

t等于零的时候

它的波形是这个波形

它的速度是零

就是这两个初始条件

我看看我得到的波动

应该是什么样

我刚才说了

这个波动应该是

单频驻波的叠加

那么n可以从1到无穷大

由初始条件

是这个初始条件

那么这个初始条件的话

我把它代进去

代进去的话

那么它应该是这个形式

在t等于零的时候

它这个波的形式

应该是这个形式

在t等于零的时候大家看

我这个是零

于是就是∑Ansin（nπz/L）

再乘以cosфn

应该等于这个函数

这是第一个初始条件

我得到第一个方程

再看第二个初始条件

我要求速度了

求速度的话

我把这个函数

对t求导

求出它速度来

对t求导就是对这个求导

于是就变成

负的ωn乘以An

就是负的ωn乘以An

然后这个变成了

sin(ωnt+фn)

然后再取t等于零

于是这就变成了sinфn

那么这个求和

应该等于初始条件

t等于零的时候

它的速度应该是零

大家看

这个是任意的情况

我要求它等于零

于是要求每一项这фn

都是零 对吧

这是可以保证它等于零

所以由这个式子

得到фn等于零

фn等于零这项都是1

于是就得到了A1等于h

因为A1的时候

它就是跟它完全相同

然后An不是n等于1的时候

都是零

所以最后我们看到

这是什么样一个驻波呢

这是一个基频的驻波

就是满足这个初始条件的

是一个基频的驻波

就是我们的解

第二

两端固定弦上的简正模式

我们刚才得到了

两端固定弦的单频驻波

那么单频驻波

我们又称之为简正模式

也就是最简单

最基本的基础解

在数学上

叫做解这种边界条件的

基础解系

都指的是这同一种情况

我们物理上叫简正模式

数学上叫基础解系

我们的单频驻波

就是这个基础解系

也就是简正模式

所以

这个是两端固定弦的

波动的基础

我们称之为

该边界条件下的简正模式

所以

我们前边讨论的

两端固定弦的单频驻波

就是它的简正模式

一个简正模式

对应一个单频驻波

简正模式的关键参数

是什么参数呢

一个是它的频率 νn

一个是它的波长λn

这个νn称为固有的

或者特征频率

那么这两个相乘等于波速

波速是已知的

所以这两个相乘

乘起来等于它

所以这两个之间

有一个已知

就可以把另一个求出来

对两端固定弦

λn等于2L/n

νn等于nv除以2L

这就是它的波长和频率

我们怎么得到这波长跟频率呢

我们是由它的边界条件

一点一点的计算出来的

n等于1为基频

n等于2 3等等

为二次 三次的谐波

这是我们对它的称呼

简正模式取决于什么呢

边界条件

由边界条件

我们可以确定它的波长

就是我们前边推导过程

得到它的波长λn

那么第二个是介质

我有了介质的参数

它的η线密度

和它的张力T

就可以推导出它的波速v来

有了v就可以求出它的频率来

所以我们整个的思路

就由边界条件得到波长

然后已知波速v

就可以求出频率

下面我们说空间模式

我们前边说的那个模式

指的是既有空间项

也有时间项 对吧

但是我们发现

最重要的是空间项

所以我们把空间项

称为空间模式

简称模式

所以所谓的一个

单频驻波的模式

就是它的空间模式

这个空间模式

是简正模式的空间部分

也是它的最主要的部分

我们刚才说了

我们得到这个空间模式的λn

是通过一步一步的计算

得到的

实际上我们以后

再去讨论的时候

我们不必去那么进行解析计算

我们通过边界条件

画空间模式图

直接就可以把λn求出来

所以我们来看

现在一个新的方法

更简单的方法

用画空间模式图

大家看

这是那个弦的长度L

我现在要求什么呢

要求这个波在两端

驻波两端是固定不动的

也就是它是波节

既然是波节大家看

波长最长的

一定是这种形式

两端都是固定的

所以是一个

两个波节之间一个情况

那么这是波长最长的情况

因此也就是n等于1

n等于1的时候

我们知道

这个两个波节之间距离

是波长的1/2

所以二分之一的λ1等于L

因此就得到了λ1

对应第一种情况

波长最长的情况

λ1等于2L

λ1有了

所以ν1就等于v除以2L

这就是ν1

我们通过画空间模式图

找到了λ1

其次一种

大家看

我还要保证两端是波节

那么波长比它短的情况

是什么样呢

就是当中再加个波节

于是就是这样的波形

这样的波形

我这个L长度

等于两倍的

波节跟波节之间的距离

所以它2倍的二分之λ2

就是在这种情况下的波长

称为λ2

这个长度

是波长的二分之一

它有两个

所以2倍的二分之λ2

要等于这个长度

于是λ2等于L

ν2等于2倍的ν1

这是第二种情况

我们再画一种

就可以把它完全确定下来了

这种

这种的话

当中出现两个波节

两边必须是波节

于是就有三个半波长

于是3乘以二分之λ3

应该等于L

λ3就是三分之2L

ν3等于3倍的ν1

我们通过画三个图

就找出规律来了

于是λn就等于2L/n

kn就等于nπ/L

所以画了三个空间模式图

就找出规律来了

就把λn求出来了

就把kn求出来了

于是呢

边界条件推出了空间模式图

推出了λn νn

就得到了它对应的

它的简正模式

空间简正模式

大家看就是这个

空间简正模式是Anknz

把kn代进来

它的空间简正模式得到了

这就是两端固定弦的

简正模式

通过画图直接得到