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第二节

固体形变和流体静力学

我们本节讨论

固体的最简单的三种

基本的变形

然后讨论这种变形情况下

它的应力和应变的关系

讨论静止流体里面的

应力分布

这是我们本节要讨论的

第一个

固体的基本变形

是等截面直杆的拉伸和压缩

圆形的等截面的直杆

两边加上相等的压强

如果大于零

指的这压强是拉压强

如果是小于零

指的是压压强

这是这样的一个情况

我们来讨论它的拉伸和压缩

首先要讨论它的应力状态

就是这里边应力是如何分布的

这样的话才能进行

应力跟应变的关系讨论

在横截面上剪应力是零

这是第一个结果

第二个结果

因为你这一切开

于是把这个一挪过去

为了保持平衡

所以我这上边的

就应该有一个正应力

正应力应该跟这压强相等

保持平衡

所以在横截面上剪应力为零

正应力正好等于压强

然后可以证明

在其他的两个主面上

跟这个横截面垂直的

其他两个主面上

正应力都是零

所以这种应力状态

我们叫单向应力状态

这就是单向应力状态

就是只有σz不等于零

σx σy都是零

这样的话由胡克定律就知道

这个应力跟应变成正比

也就是σz

等于杨氏模量乘以εz

这是最简单的关系

因此

我们做材料实验的时候

都用这种模型来做

就是等截面的直杆

来做压或者拉的实验

材料实验

像我们做低碳钢的实验

低碳钢实验的时候

我们看到这是一条实验曲线

这个是应变

这是应力

这是实验曲线

实验曲线我们发现有几个点

一个是这个点

这个点叫什么呢

叫比例极限

就是从这儿到这儿

这个过程它是成比例的

也就是满足这个成正比的条件

从这儿到这儿

它稍微偏离点比例

但是还是弹性变形

所以2是弹性极限

3到这儿开始

就开始出现了塑性变形

所以它叫屈服极限

大家看这个应变比较大

但是应力变化并不太大

这就是塑性变形

到这儿以后由于材料硬化

它继续升高

到了这儿最大值的地方

叫强度极限

所以一个低碳钢典型的

有这样一个实验曲线

有比例极限

弹性极限

屈服极限

和强度极限这种情况

我们一般不去区分

这个比例极限和弹性极限

一般我们认为这个

都近似成为正比的

然后如果材料已经到达了

屈服极限之后

现在如果减小应力

那么它并不沿着原来那条曲线回去

它沿着一条新的曲线回来

那么到了这地方

应力为零的时候

它的应变并不是零

有了剩余的变形

体现了塑性变形的特点

有了剩余的形变

这就是一个典型的

材料的实验曲线

它是用我们的在单向应力情况下

一个等截面的直杆做实验

做拉伸和压缩实验

下面我们讨论

弹性的形变的势能

在这个弹性的形变的情况下

外力做功

使得它有个弹性形变

它的弹性形变

有了弹性形变的势能

它就储存在固体里面

所以我们现在来计算一下

弹性形变的势能

为了计算这个

我们把杆

还是一个等截面的直杆

杆的左端固定

右端施加外力

外力由零缓慢增加

将杆逐渐拉伸

最后拉伸的长度是Δl

我们计算一下

在这个过程中

外力做的功

由机械能定理

就等于在这个时候

杆所具有的弹性势能

那么外力等于多少呢

我们说它随时跟内力保持平衡

内力就是端点处的内力

端点处的内力等于

端点处的应力乘以截面积

端点处的应力

等于杨氏模量

乘以端点处的应变

端点处的应变

等于多少呢

我们注意到

杆是均匀的伸长

所以它的应变也是均匀的

因此杆端的应变

就等于它的杆端的伸长

或者是位移ξ(l)

除以l就是它的应变

那么乘以杨氏模量就是应力

应力再乘以面积

就是杆端处的内力

杆端处内力

总是跟外力平衡的

所以就是外力等于它

于是

杆从原长拉伸了Δl距离中

外力做的功

就等于外力乘以它的位移

这个位移就是杆端处的位移

所以就是dξ(l)

我们把外力的表达式写进来

从哪儿积分呢

从零积到Δl

就是外力将杆拉伸了Δl

这个过程中外力做的功

也就是

在拉伸Δl的时候

杆所具有的弹性势能

就是这个积分

结果是2l分之YSΔl平方

我们刚才已经说道

这个等截面直杆的变形

是均匀的

因此这个势能

就均匀的储藏在整个直杆里面

于是我们就可以求出

弹性势能的体密度

就是把这个总的势能

除以它的体积

就得到了弹性变形势能的体密度

体密度我们用小写的e来代表

这是弹性势能的体密度

就等于总的势能

除以它的体积

这个圆截面直杆的体积

等于S乘以l

所以除以S乘以l

S约掉了

下面是l平方

Δl平方除以l平方

就是εz的平方

就是应变的平方

所以结果等于

二分之一的杨氏模量

乘以应变的平方

杨氏模量乘以应变是应力

所以它又是二分之一的

应力乘以应变

这个关系式

是我们常要用到的

就是弹性势能体密度

等于它的二分之一的

应力乘以应变

虽然我们是在等截面直杆的

拉伸过程中

计算出来的

它的应变是均匀的

但是这个结果

也适合于一切的

弹性势能的体密度的情况

在不均匀情况下也是适用的

我们只不过是利用

均匀情况下推导而已

咱们看一个例子

圆形截面直杆

在轴向拉力下变形

已知轴向拉应力是这么大

材料的杨氏模量是这么大

泊松比是0.3

求此时杆的体应变εV

此时为单向应力状态

由胡克定律

我们由应力可以求出应变来

所以它轴向的应变

就等于轴向应力

除以它的杨氏模量

是1.02乘以10的负6

大家注意应变是无量纲的

所以这是无量纲量

于是就可以得到

xy方向的应变

它等于负的泊松比

乘以z方向的应变

最后我们看到

体应变等于三个应变之和

就是这三个相加

最后是(1-2μ)εz

结果是4.08乘以10的负7次方

得到了体应变

还有一种方法

我们用什么办法呢

用体应变等于

平均应力除以体弹性模量来计算

那么平均应力

是三个应力的平均值

现在它跟它都是零

于是等于三分之一σz

那么这个体弹性模量

有公式可以计算

在这种情况下是1.2分之杨氏模量

代进去结果也相同

所以可以由两种方法来计算

由于K大于零

所以体应变

与这个z方向的线应变

是同号的

当拉直杆的时候εz大于零

它的体积也增加

当压这个的时候

εz小于零

它的体积也减小