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Video课程教案、知识点、字幕

下面讨论同频

同振动方向的

简谐波的迭加

首先看同频同振动方向的

简谐波迭加怎么来分析

两列简谐波在任意点处

产生两个同频同振动方向的

简谐振动ξ1 ξ2

ξ1 ξ2的和振动

就是两个简谐波的迭加

它仍然是简谐振动

我们看

一个简谐振动ξ1这个波

引起的简谐振动

是A1cos（ωt+ф1′）

第二个简谐波引起

这个点的振动

也是简谐振动

是A2cos（ωt+ф2′）

于是我们由简谐振动的合成

我们就可以得到

它的和振动

它的振幅

从振幅矢量图可以看出来

这个是Δф′

那么由这个三角形

我们求这个的边长

等于它的平方加上它的平方

加上2倍的它乘它

再乘以夹角的余弦

于是这个A

就等于A1平方加A2平方

加上2倍的A1A2cosΔф′开方

这就是简谐振动的和振动

它的振幅

我们一般比较着重于

振幅的情况

那么Δф′

就是这个ф2′减ф1′

我们考虑一个特例

同频

同振动方向

同传播方向的

两个平面简谐波的合成

这是第一个简谐波

第二个简谐波

这个简谐波

它俩的传播方向相同

振动频率相同

那么它传到了某一点

写成刚才那种简谐振动

于是我们就得到了

两个波的位相差

位相差就等于ф2′减ф1′

就等于因为它的k是相同的

地点相同

所以减了以后

这一项没有了

所以就是ф2-ф1

于是我们看到

它的位相差

是一个常数

跟地点无关

这样的话我们得到的

和振动的振幅

也是一个常数

跟地点无关

那么这样的话

它的和振动的位相就是ф

也可以计算出来

我们以前讨论过

两个简谐振动

同频同振动方向简谐振动

它的位相等于

位相的ф的正切tanф

就等于A1sinф1+A2sinф2

除以A1cosф1+A2cosф2

也是常数

因此和振动是谐振动

所以我们分析出来

它仍然是向正z方向

传播的平面波

所以它可以写成平面波的形式

这是它的ф

这样的话

我们就由振动的合成

得到了什么呢

得到了两个简谐波的

振动的合成

这是通过振动的合成

来讨论的

我们还可以用复数的形式

就由两个简谐波

它直接的合成

得到它的合成波的振动

我们来看

这是第一个简谐波

它的复数形式

这是第二个简谐波

它的复数形式

两个波的相同的部分

都写成这个形式

于是呢

我这个两个简谐波合起来

的和振动就是这样的形式

那么它把这个相同部分提出来

就变成了是

A1e负iф1+A2e负iф2

是这个

然后乘以它的共同的部分

共同部分表示是一个

向正z方向传播的

简谐波的组成部分

而这个又是一个确定的复数

所以我们就判定

和起来的这个振动

实际上也是一个平面简谐波

仍然是向正z方向传播的

平面简谐波

于是

我们就可以把这个

和起来的振动所表示的

平面简谐波写成这个形式

这就是像正z方向传播的

一个平面简谐波

它是那两个简谐波的合成

这样一对比

我们就看到

就是共同部分前边那个

乘积那个系数

它就应该等于是

A1e负iф1加上A2e负iф2

就刚才我们得到那个结果

它应该等于这个简谐波的

前面这一部分

我们也把它

写成普通的复数形式

于是这两个复数应该相等

相等的话

它的实部应该相同

虚部应该相同

于是得到两个等式

一个是实部的等式

一个是虚部的等式，

这样的话

由这两个等式

我们就可以把

它的振幅求出来

可以把它ф求出来

跟我们前边得到的结果是一样的

这样我们看到两个同频

同振动方向

同传播方向的

两个简谐波合起来

仍然是一个

向同样方向传播的一个

平面简谐波

这是我们看到这个结果

下面讨论一般情况

一般情况

得到的两个波的合成

就得到的不再是一个简谐波了

它是一个波动场

就是同频

同振动方向的两个或多个

简谐波叠加起来以后

一般不再是平面简谐波了

就是刚才我们说那个

是特殊情况

而是什么呢

而是一个波动场

波动场就出现了干涉现象

那么这波动场里

每个质元都以相同的频率

各自的振幅

在那里做着一个简谐振动

而这个简谐振动

彼此是相关联的

这样的话

就形成一个波动场

我们对这波动场最关心的

就是它振幅的分布情况

那么我们看线性介质中

两列同频同振动方向

不同传播方向的

平面简谐横波

波矢分别为k1 k2

把这两个波合起来

就形成了一个波动场

它都是平面横波

所以它振动方向是相同的

然后传播方向不一致

所以合成起来

不再是一个平面简谐波了

它有它各自的传播方向

一个是k1

一个是k2

这是第一个平面简谐波

它是向着k1方向传播

这是第二个平面简谐波

它向着k2方向传播

这样两个平面简谐波

把它合起来

就变成了一个波动场

那么把这个

现在这两个波

传到了同样一个地点r处

于是在r处

它就形成了两个简谐振动

这两个简谐振动

它的初位相

分别是这个和这个

那么这两个简谐振动合起来

因为它振动方向相同

又频率相同

也得到了一个简谐振动

同频的简谐振动

那么就是这样一个简谐振动

由这个式子就可以得到

波动场里任意一个地点

它任意时刻的位移

所以我们表示

波动场的表达式

也用的是这样一个函数

那么既然它是这个位移

它是这两个简谐振动的合成

于是我们用前边的公式

就可以把这个波动场里

这点它的位移的关系式

也就是它的简谐振动的振幅

可以求出来

我们看到

这个时候的位相差

就不再是这两个的位相差了

还包含着这一项

这一项是以谁呢

与地点有关

因此这个虽然是常数

但是不同地点

这一项的贡献不是常数

所以这个位相差

这里边的位相差

它不再是一个常数了

它是一个地点的函数

说明什么呢

说明合成起来的和振动

它的振幅不再是常数

而是一个位置的函数

这就是一个波动场的特点

就是说每个点都在做着

同频率的简谐振动

但是它的振幅是各自不同的

不同在哪儿呢

是由它的地点决定的

位置决定的

这样的话

各处都有一个确定的振幅

那么

我们这里边这个

刚才说了

这振幅不是常数了

那么各地点的初位相

振动的初位相

也不再是常数了

所以这个振动

是有各自的振动特点

而不再形成一个波动的形式

那么我们知道

波的强度

是跟振幅平方成正比的

于是我们看

这点处的波的强度

就等于这两个波的强度

加起来

再加上2倍的根号下I1

乘以I2再乘以cosΔф′

这就是两个振动的位相差

所以

它的振幅有这个关系

那么波的强度

就是这个关系

这一项就引起了不同地点

它的波的强度

或者是振动的强度

它的不同

于是

在简谐波的波动场里面

振幅和强度

都是位置的函数

因此

我们就会看到

在一个区域里面

明显的振动剧烈

或者波的强度明显的强大

而在另一个相邻的地点

它的振动明显的弱

它的强度明显的小

也就是说

在相邻的地点出现

波的强度的强弱的明显的分布

这种现象

我们就称之为干涉现象

这两类波就产生了干涉

这就是干涉现象

也就是说

在波动场里面

在相邻地点的波的强度

明显的不同

就是干涉现象

而这一项

就引起了不同的这一项

我们称之为干涉项

那么强度为极大的场点

我们用r+来表示

就在r+处振幅极大

它的波动强度极大

根据刚才那公式我们就看到

那么也就是说

使得这一项是正1

那么它就大

所以r+处的这个位相差

应该是rnπ

n是整数

在这种情况下

这就等于正1

于是在这个地方它的振幅

就等于是极大的振幅

也就是

两个波的振幅相加，

那么这儿的强度

也是极大的

等于两个波的强度之加

再加上2倍的根号下I1 I2

那么这是相长干涉

也就是说波最强的地方

强度为极小的场点

我们记作r-

满足谁呢

就是这点处的位相差

是2n+1π

n也是整数

那么在这个地方引起了

两个简谐波的波动是反向的

于是两个是相消干涉

也就是在这地点的

合成的振幅

等于两个波的

在这引起的振动的

振幅之差

这地方的波的强度

等于两个波的波的强度

在这里面相加

再减去2倍的

根号下I1 I2

我们看一个例子

这是一个水面

水面上有两个波源S1 S2

它们以相同的频率来振动

那么于是这就是两个

不同的波源

这个波源在水面上

产生一个水面波

这个波源同样产生一个

同频的水面波

那么现在在空间中随便找一点P

它的位置用它到

第一个波源的距离r1

和到第二个波源的距离r2

里描述这点的位置

那么取ф1等于ф2等于零

于是这个引起的波

它是一个水面波

那么就是写成它的振幅

我们不知道它振幅

跟r1是具体什么关系

但是我们知道

这个振幅肯定是跟

它的距离有关

所以这个波源

在这儿产生的振幅

就是A1 r1

然后再乘以一个简谐振动因子

cos（ωt-kr1）

它是一个沿着这个方向

向外传播的一个水面波

它的振动是上下振动

这个振动也是上下振动

所以两个的振动方向相同

所以就可以用刚才的办法合成

同样

这个波源在P点产生振动

也是这样

只是振幅是r2的函数

这个是ωt-kr2

那么这两个振动合起来

就是一个波动场了

这个振幅跟r1 r2有关

然后是一个简谐振动

不再是一个传播的波了

是一个整个形成一个

水面的波动场

所以它每个点

都在做着简谐振动

有着各自的位相

有着各自的振幅

我们由刚才的振动的合成

我们就可以求出

那么在P点处

它的振幅就等于

它这个波在这儿的振幅

这个波在这儿的振幅

A1 A2这个关系

就我们看到多少次的这个关系

那么它的强度

就取决于位相差Δф′Δф′

等于多少呢

就等于k（r1-r2）等于Δф′

它是一个位置的函数

所以不同的位置

它这个Δф′不一样

于是合成起来振幅不一样

就出现了干涉现象

那么咱们看

这个就是某一时刻的波形图

那么这个虚线

表示的是波谷

这个实线表示是波峰

S1产生的波

是一个向外方向传播的

这个波面

是一个一个的同心圆

所以这个虚线

表示的是这一时刻是个波谷

实线表示的是这一时刻的波峰

同样我以S2为中心

它也向外传播一个水面波

它传播水面波的波面

也是一条圆形的同心圆的圆周

那么它的虚线也是波谷

它这个实线也是波峰

我们来看这个波的波谷

和这个波的波峰相遇

那么这点处

这两个波的位相

一定是反向

所以在这个地方是相消干涉

同样这是波峰与波谷相遇

波峰与波谷相遇

所以在这条线上

它的干涉

都是相消干涉

所以这个地方的波动非常弱

几乎不动

我们再看这个

这个是波谷跟波谷相遇

波峰跟波峰相遇

我们知道

这样两个相遇的波

它是同位相的于是在

这个地方是相长干涉

就是这个地方的波动加强

于是这个地方的振动

极度的强大

比起它周围区域来

所以这就是强的弱的

强的弱的

这就是我们前边讲的干涉现象

用图形来表示

就是这样的一个结果

干涉条件

首先

必须是振动方向相同的矢量波

或者干脆是标量波

跟方向无关

如果是振动方向

互相垂直的两个波相遇

是不会产生干涉的

就没有明显的强弱之区别

第二个频率必须相同

频率不同的话

那么相遇的时候

它振幅是随着时间变化的

于是取了平均值之后

它就没有这个干涉项

所以它频率不同的话

不会产生干涉

所以一个是振动方向相同

一个是频率相同

相干波

就满足相干条件的两列波

我们称之为相干波

产生相干波的波源

就叫相干波源

那么相干迭加

就是它波的强度

是跟位置有关的

它不等于I1+I2

这叫相干迭加

非相干迭加

强度等于I1+I2

这是相干项平均之后

变成零了

干涉的实现

机械波比较容易实现

只要是由两个频率相同的波源

产生的振动方向相同的波

它就会可以实现干涉

因为这个机械波的波源

可以长时间的

保持这种稳定的振动

而它们之间的位相差

波源之间位相差

又是恒定的

所以产生的是相干波

而光波就不行了

光波一般来说

普通光源

两个光源产生的波

是不能产生干涉的

我们可以用两个手电筒发的

发的光来看

两个手电筒发的光

打到屏上去

它亮度是直接相加

不会出现强弱不同的干涉条纹

所以普通光源是很难的

那么为什么普通光源

不能够实现干涉现象呢

因为光源的发光

实际上是

光源里面的分子或者原子

个体的独立的行为

就是它自己被激发了

于是它就发出光来

耀迁下去

发出光来

就是个体的独立的行为

因此它发的光的频率不稳定

两个波之间的

产生两个波的

波源的位相差

也是随机的

所以一般来说

这两个波

它的波也不是无限长的

因为它发光时间是有限的

所以它发出光是一段一段的

我们称之为波列

所以两个波列相遇

是不会干涉的

所以要想实行光学的干涉

就要做巧妙的设计

就把一个波列分成两只

这两只再相遇

才能够产生干涉

也就是说光学

必须是同一波列的光

才能产生干涉

这就是我们说的

干涉的情况

力学课程列表：

微积分简介

-一.导数与微分

-二. 积分

绪论

-绪论

Ch1.质点运动学

-§1 矢量简介

-Ch1.质点运动学--习题

-§2质点运动学

-§3 相对运动-参考系变换

-习题

--习题

Ch2. 质点动力学

-§1牛顿力学.力

-§2万有引力定律

-习题--作业

-§3 牛顿力学应用

-§4.非惯性系.惯性力(上)

-习题

--习题

-§4.非惯性系.惯性力(下)

-习题

--习题

Ch3.动量

-§1动量.质点动量定理

-§2质点系动量定理

-习题

-§3质心和质心运动方程

Ch4.功和能

-§1动能.功.动能定理

-Ch4.功和能--习题

-§2保守内力.势能

-§3机械能定理.机械能守恒

-习题

--习题

-§4自由碰撞

Ch5.角动量

-§1质点角动量.质点角动量定理

-习题--作业

-§2质点系角动量定理

-习题

--习题

-§3万有引力场中质点运动

-§4.刚体 (上)

-习题

--习题

-§4.刚体 (下)

-习题

--习题

Ch6.连续介质力学

-§1应力应变

-§2.固体形变和流体静力学(上)

-§2.固体形变和流体静力学(下)

-Ch6.连续介质力学--习题

-§3理想流体动力学(上)

-习题

--习题

-§3理想流体动力学(下)

-§4粘滞流体动力学(上)

-习题

--习题

-§4粘滞流体动力学(下)

-§5流体阻力(上)

-习题

--习题

-§5流体阻力(下)

Ch7. 振动和波

-§1自由振动.简谐振动

-Ch7. 振动和波--习题

-§2阻尼和受迫振动

-§3简谐振动合成(上)

-习题

--作业

-§3简谐振动合成(下)

-§4简谐波

-习题

--作业

-§5波动方程.波速

-习题

--习题

-§6衍射反射折射多普勒效应

-§7简谐波迭加.非谐波传播

-习题

--习题

-§8驻波

-习题

--习题

Ch8.狭义相对论

-§1 基本原理

-§2 L氏坐标变换.速度变换(上)

-习题--作业

-§2 L氏坐标变换.速度变换(下)

-习题

--习题

-§3 相对论动力学基础

-习题

--习题

-§4 质量.动量.能量.力相对论变换;不变量

-习题

--习题

Ch9.广义相对论

-§1.基本原理

-§2史瓦西场中时间与空间(上)

-§2史瓦西场中时间与空间(下)

-§3大爆炸宇宙学简介

Video笔记与讨论

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