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下面我们讨论一下

转动参考系之间的

速度 加速度变换

这个普遍情况比较复杂

所以不是基本要求

这个推导也不要求

但是大家还是

有必要了解一下

这还是很有意思的

所以希望大家

还要认真的听一听

有所了解

这公式有时候也要用到

我们说不作基本的内容

所以你可以不把它记下来

你需要的时候可以去

查一查 看一看

S系是绝对参考系 Oxyz

S'系是个动参考系

注意S'系不在平动了

它可以有平动

还做一个以ω为角速度的转动

相对这个静参考系

所以这是转动参考系的变换

那么r等于r'加R

大写的R 大R

这关系式还对不对呢

你想想这个矢量图

对于转动情况

这个关系式也对 对吧

这个关系式也对

既然这个关系式也对

我刚才的分析也没有问题

所以呢

我在转动参考系情况下

仍然得到了绝对速度

等于相对速度加上vo'的速度

绝对加速度

等于a'加上o'的加速度

这不又对了吗

所以好像看起来

我们用这个同样的矢径关系

用同样的考虑办法

最后竟然得到了

转动参考系之间的

速度加速度变换

也和平动参考系的一样

显然这是一个荒谬的结论

对吧

这是错误的

于是我们就要分析

错在哪儿

首先看

我在S参照系看

我的这个绝对的矢径的导数

等于它的绝对速度

这有错没有呢

不会有错了 对吧

我在看

我在绝对参考系里看

o'点的矢径是R

它的导数等于o'点的速度

这有问题吗

也没有问题

所以问题

就可能出现在最后这一个

就是把r'的导数

当作相对速度

出现在这个问题上

这是最可能出现问题的

也就是说

在两个参考系里面

观察同一个矢径

r'的变化率是不一样的

也就是说

站在S系立场上r'的变化率

和站在S'系立场上

r'变化率不相等

这角标就分别表示

是两个参考系的立场

所以第一个问题

我们先讨论

不同参考系中

观测同一个矢量变化率

之间的关系

那么我们说

两个参考系看同一个矢量

这是相同的

这是确定无疑的

不要怀疑

所以对于同一个矢量

我在任何一个参考系观察

都是相同的

但是

它们的变化率

却是不一样

在不同参考系看

变化率却是不一样

我们来看一看

它的内在原因是什么原因

我们现在讨论

一个任意的自由矢量A

在S和S'系的变化率

看一看

它究竟有什么关系

有什么不同

其中S'系相对S系以ω

这是重体字

它是个矢量

以矢量ω来旋转

如果把矢量A

在O'x'y'z'

坐标系里投影

就是在S'系里边的坐标系投影

投影之后

矢量A就等于Ax'X'

加上Ay'Y'

加上Az'Z'

写出来就是

(Ax',Ay',Az')

在S'系的观点来看

这三个单位矢是不动的

因为这个坐标系

是固定在S'系里边的

所以它是不动的

它是常矢量

既然它是常矢量

在S'系里对它求导

这都是常矢量

于是呢

在S'系看对它的导数

就是三个投影的导数

这是S'系观察到的

这个矢量的变化率

我在S系来看

(x,y,z)是常矢量

因为它固定在参考系里不动

但是(x',y',z')

是以ω为角速度旋转的

所以它不是常矢量

因此

在x'这个单位矢量

在S参照系看

它的变化率不是0了

是什么呢 ω×x'

同样 y'的变化率

等于ω×y'

z'的变化率等于ω×z'

所以它们不再是常矢量了

而是一个有变化的

一个矢量

这样的话

我在S参照系里

同样对它求导

对它求导的时候

对这个求导

然后对这个求导

对这个求导

对这个求导的时候

因为这个是变化的

所以对它有个导数

分别是Ax Ay Az

就是对它们有个导数

那么对于这个求导之后

还对它求导

它不是0了

就是它的导数是ω×x'

它的导数是ω×y'

它的导数是ω×z'

所以合起来

对这个求导的时候

就是Ax'乘以ω叉它

然后对它求导的时候

就是Ay'乘以ω×y'

三个叉积

三个叉积合起来

就合成了ω×A

所以我们在S系来看的话

同样这一个矢量

它的变化率

再就不一样了

就是这个变化率之外

还多了一个ω×A

相当于它的方向变化率

因此我们看到

这两个参考系看

同一个矢量的变化率

是不同的

因此就有这个关系

什么关系呢

如果S'系相对于S系转动

那么在S和S'系

看同一个矢量的变化率

不一样

我这个变化率

等于这个变化率

加上一个ω×A

所以就等于

在S系看它的A的变化率

就等于在S'系看A的变化率

加上ω×A

就是我在这

刚才得这关系

这关系是在S'系看的变化率

还加上ω×A

所以两个参考系

看同一个矢量变化率

是不一样的

S'系相对于S系旋转

所以在S系看

静系看它的变化率

等于动系的变化率

加上一个ω×A

这就是它的关系

也就是说

我们刚才那判断是对的

就是在两个参考系看

同一个r'的变化率

是不一样的

这是我们通过什么呢

通过数学的微分的

运算法则得到的结果

我们还希望看一看

它内在本质是什么样

到底是什么原因

引起的两个参考系看

同一个矢量变化率不一样

所以我们看一下

它内在的本质的分析

我们看一个图

我们以谁呢

以r'为例

就是以动参考系的

相对矢径为例

来说明两个参考系看

它的增量就不一样

或者微分不一样

我们看这图片

我们从这图就可以看得出来

大家看

这个图

我们现在有两个参考系

一个是绝对参考系

一个是相对参考系

相对参考系

它不断运动

而且还有个转动

S'系有个转动

所以我可以把这个黑板

当作一个绝对参考系

在黑板上附着一个参考系

S'系

它随着这么运动而且还转动

以ω转动

我们来看一下

它对这个r'的微分的分析

就不一样

我选择r'

这个是这个动参考系的原点

r'是从动参考系原点出发的

这是r'

t时刻r'在这儿

这是t时刻的r'

所有参考系都承认

t时刻的r'是它

这个没有任何的疑问

然后t+Δt时刻

O'点从t时刻

到t+Δt时刻运动到这儿

然后r'变成这个

这就是t+Δt时刻的r'

这个所有参考系也都承认

t+Δt时刻的r'是它

所以这个没有疑问

有疑问的是什么呢

我为了求

从这个时间到这个时间

这个相对矢径r'的增量

我就要把谁呢

把t时刻的r'

跟它挪到一块去

然后求它的增量 对不对

我在绝对参考系看

我t时刻的r'在这儿

把它挪过来

这就是它的这个

S参照系看

t时刻的r'是这个

于是t+Δt时刻矢径这个

t时刻矢径这个

这就是r'的微分

在t+dt时刻它的微分

微分就这两个的差

这就微分

这就是dr'

在S参照系的观点来看

dr'是这个

大家看没有问题

现在我们来看

在S'系看

它的微分是多少

S'系看

这个矢径r'

始终跟它一块走对不对

而且随它一块转

原来的时候在这儿

它把它标记在S'系里面

这个矢径

随着这个参考系一块走

而且还转

看见了吧

它就跟这个矢径就不一样了

因为它随着它走

而且它转

大家看

就到了这个位置

于是我在S'系看

这r'的微分

就是这个矢量减去这个矢量

是这个矢量

所以这个dr'是S'系观点

S'系立场得到的

这就是它的本质

我们说

对于某一时刻的矢量

所有坐标参考系认为都是相同的

但是对它以前的矢量

看法是不一样的

在S参照系看

我t时刻的这个r'是这个位置

S'系看

我t时刻的矢量是这个位置

所以对以前的这个矢量的位置

发生了不同的观点

为什么

就因为我这个r'矢量

是标记在参考系里边的

在静系里边标记在这儿

它是不动的对不对

而这个标记在动系里边

从静系看

这个矢量是随着这个一块儿转的

一块儿走的

就在这个就产生了不同

于是产生了两个参考系

对这个r'的微分不一样

微分差在哪儿呢

大家看 就差在这儿

就差在这儿

所以S系里边的

这个r'的微分

等于S'系里边的微分

加上一个这个矢量

这个矢量是多大呢

是什么样呢

大家看

我这个矢量

r'的矢量

随着它一块转

转了一个dθ

大小没变 方向有个转动

所以这个矢量

是这个r'这矢量

由于dθ转动

引起的方向增量

还记得我们刚才说的

方向增量吧

一个矢量的微分

单纯由于方向变化引起的微分

等于谁呢

等于转角的这个矢量

差上这个矢量

所以dl

dl等于多少呢

等于无限小的这个角位移矢量

叉上这个矢量

所以我S系参照系里边

r'的微分

等于S'系的微分

加上无限小转角dθ的矢量

叉上r'

这就是微分就不一样

微分不一样

一除以dt

于是变化率就不一样

所以我把这个不一样

除以这个dt的话

那么就变成了

这个S参照系看到的变化率

等于S'系的变化率

这个dθ除以dt

是ω ω×r'

就是这个结果

这个结果引起了这个不同

完全是由于转动引起的

所以如果没有转动

dθ等于0的时候

这两个是相等的

就看它的微分是相等的

这就是平动参考系的结果

平动参考系认为

两个是相等的对吧

就得到这个结果

推广对任意的矢量都有

任意一个矢量

在S参照系看它的微分

等于在S'系看到的微分

然后用S'系的转角的

无效小的角位移矢量叉上A

就是它俩都有不一样

这就是我们得到的结果

于是在S参照系

看到的矢量的变化率

等于S'看到的变化率

加上ω×A

ω是S'系列

相对于S系的转动角速度

所以如果它的转动角速度

是零的话

不转的话 平动的时候

这两个是相同的

所以我们前边

讨论平动的参考系变换的时候

就没有涉及到这个问题

因为它没有转动

所以这就这样的结果

有了这样的结果

我们就可以回头来讨论

转动参考系之间的

速度加速度变换了

利用什么呢

利用咱们刚才得到的

不同参考系里边

变化率的关系

来得到结果

大家看

矢径的关系还是对的

r=r'+R 还是对的

然后我来求导

大家注意

我现在求导

求的是谁呢

求的是绝对速度

绝对速度

是在绝对参考系里面

在绝对参考系立场上

求绝对矢径的导数

绝对矢径等于相对矢径加上R

所以等于

在绝对参考系的立场上

求它的变化率

加上在绝对参考系立场上

求它的变化率

刚才我们得到结论

绝对参考系里边的变化率

等于相对参考系里边的变化率

加上ω×r'

于是我们最后

就得到了这个关系式

什么关系式呢

转动参考系里面的绝对速度

等于相对速度

加上ω×r'

再加上O'的速度

大家看

这里要说明一下

为什么这个是相对速度

为什么这个不是相对速度

大家知道

相对速度

必须是在相对参考系立场上看

这个相对矢径的变化率

你这是在绝对参考系看

相对矢径变化率

所以它不是v'

只有换到了相对参考系里面

看它的变化率

才真正是v'

所以这个才真正是v'

所以它才有这个关系

绝对的速度

等于相对速度加上ω×r'

再加上O'的速度

这两个合起来

就是牵连速度

所以它也等于

相对速度加上牵连速度

但是这个牵连速度

不再是vO'了

是这两项

这就是转动参考系之间的

速度变换

就比平动的情况下多了这一项

那么你怎么知道

这两个合起来是牵连速度呢

还是用那个办法

我在这个公式里面

在这个公式里面

我取v'是零

就是讨论

静止在动参考系上那一点

它的速度 就是牵连速度

把它取做0

于是这就是牵连速度

就等于ω×r'加上vO'

所以牵连速度就等于它

这就是牵连速度等于这一结果

vO'是R的导数

下面讨论加速度

绝对加速度等于绝对速度

在S参照系里面的变化率

那么我们把绝对速度

先对它求导

于是就是相对速度的导数

加上对这求导的时候出来两项

先对它求导

就是ω的导数叉上r'

然后再拿ω叉上r'的导数

所以这出来两项

然后是vO'的导数

大家注意

都是在S参照系的立场上求导的

那么在S参照系立场上求导以后

有的问题要换到S'系里面去

这在S参照系里面v'的导数

换到S'参照系以后出来两项

一项是S'系的v'导数

再加上一个ω×v'

所以这两项

相当于S参照系里它的导数

这个的导数

就在S参照系里边的导数

所以就是角加速度叉上r'

这个是ω叉上r'的导数

但是它是在S参照系立场上

我们要把它换到S'系里面去

于是它出来两项

一项是v'

一项是ω叉上r'

出来两项

再加上一个aO'

它的导数就是aO'

于是大家看

第一项是相对的加速度

相对加速度

然后这个ω×v'

这又有一个ω×v'

两个ω×v'

所以是2ω×v'

然后是角加速度叉上r'

再加上一个ω×ω×r'

就是这个

大家看我们刚才讨论的

三个矢量的叉积

这里就见到了

这就是ω×ω×r'

然后再把这个加速度算进去

最后是2ω×v'

这就是绝对加速度

跟相对加速度的关系

那么中括号里面这个角加速度

又可以写成α叉它

所以这就是关系

那么中括号的这些个

可以看做谁呢

看做牵连加速度

为什么可以看做牵连加速度呢

还用这个办法

我们把v'取作0

把a'取作0

就是说我们得到了

静止在动参考系里面的

跟质点重合那一点

它的加速度

就是这一大堆

所以这些东西

就正好就是牵连加速度

于是绝对加速度

就等于相对加速度

加上牵连加速度

加上这个2ω×v'

这个ω×v'

既不属于相对加速度

也不属于牵连加速度

它有它的名字

叫科里奥利加速度

简称科式加速度

这就是我们的

转动参考系里

加速度的关系

绝对加速度等于相对加速度

加上牵连加速度

加上科氏加速度

这样的话我们就得到了

两个转动参考系之间的

速度加速度变换

那么刚才得到的那个

最复杂的那个加速度变换

不要求你记住

需要的时候你可以查一查

我们现在看

这个真正的比较常用的

基本的算作我们的要求的

是这样一个转动参考系

它比较简单

叫定轴转动参考系的变换

就是一个动参考系

绕一个定轴转动

刚才咱们那动参考系

可以随便的动

那么这个是绕着它

定轴转动的参考系

看一下它的速度加速度变换

这样的话O跟O'重合

于是两个参考系的矢径相同

所以绝对矢径就等于相对矢径

R等于零

那么因为这个O点和O'点

都重合了 且固定不动

所以O'点的速度加速度是0

因此它的变换关系就比较简单

绝对速度等于相对速度

加上ω×r

绝对加速度等于相对加速度

加上角加速度叉上r

加上ω×ω×r

加上2ω×v'

那么这个现在这个叉积

是可以叉出来的

我现在是这么转动

所以角速度是这个方向

角速度叉r是这个方向

角速度再叉它是这个方向

所以正好是-r的方向

所以绝对加速度

等于相对加速度

加上α×r

减去ω²r

加上2ω×v'

ω×v'就是科氏加速度

如果S参照系匀角速转动

就是角加速度是零的话

那么这一项没有

于是我们的绝对加速度

就等于相对加速度

减去ω²r

加上2ω×v'

我们看一个例题

这是一个大的转盘

水平的转盘

它相对地面以ω0转动

所以大盘以ω0转动

然后在大盘的半径的中点上

又有一个轴

在这个以它为轴 小盘

小盘的直径

正好等于大盘的半径

那么小盘绕着这个中心

相对大盘也以ω0转动

所以大家听清楚了

大盘相对于地面

以ω0转动

小盘相对于大盘

ω0同样方向转动

那么就这样的情况

现在让你求什么呢

我现在求小盘边缘上一点

比如说P点

求它在地面参考系

绝对参考系看

它的最大的速度的大小

最大的加速度大小

所以要求这个问题

那么我们现在

大家看在地面上它也好

因为你求绝对运动

是相对于地面的运动

在地面上运动

看这P点的运动

是非常复杂的

对不对 非常复杂

因为大盘也转 小盘也转

所以小盘边上一点的运动

非常复杂

很难讨论

所以我就要选择

一个动参考系

然后使得这个运动

变得简单起来

才可以讨论

所以我们来看

我们就要选择动参考系

地球是绝对参考系

这绝对没问题

现在就看如何选择动参考系

我们回顾我们刚才的讨论

动参考系如果是平动的话

如果是平动的话

那么它的关系式非常简单

所以我们一般都愿意

选择一个平动的参考系

动参考系来讨论问题

于是我就选择一个以O'点

就是我小盘转动的

中心的O'点为轴 为原点

一个平动的参考系

o'x'y'

这样一个平动的参考系

来讨论问题

大家注意

我选这个参考系可不是小盘

你也看不见

因为什么呢

它等于附在小盘上的

一个平动参考系

大盘转 小盘也转

而这个参考系平动

是不转的

所以它的原点在O'上

是一个附在小盘上的一个

随着这个圆心这么平动的参考系

也就是说

它这个参考系的坐标轴S轴

在这个大盘转动过程中

方向是不变的

所以这是平动参考系

那么这样的话

我们来看 在这样一个

动参考系里边

这个小盘相对动参考系的角速度ω'

等于多少呢

我们知道这个动参考系

跟地面参考系

相对来说是平动

所以小盘相对

这个动参考系的转动角速度

就是小盘

相对于地面的转动角速度

大盘相对地面以ω0角转动

小盘相对大盘以ω0转动

所以小盘相对地面

以2ω0转动

因此小盘相对这个平动的

S'系的转动角速度ω'

也是2ω0

这一点大家回去一定要想清楚

在动参考系看

这个小盘以2ω0转动

P点作一个匀角速度转动的

一个圆周运动

所以我的相对速度

就等于多少呢

小盘的相对速度

就等于rω'

等于2rω0

那么这个动参考系的牵连速度

在地面上看

牵连速度就是什么呢

就是它的这个O'点的速度

O'点的速度呢是等于

牵连速度是O'点速度

等于rω0

地面看绝对速度

等于相对速度

加上vO'的速度

这是相对速度

这是牵连速度

那么大家看

它这么转动 这是相对速度

那么这个呢

是O'点的速度

是这个牵连速度

这是相对速度

这是牵连速度

这俩合起来是绝对速度

那么什么情况下

这俩合起来最大呢

当我的P点在这儿的时候

P点在这儿的时候

它的相对速度也这方向

牵连速度也这方向

两个就可以加起来了

所以当Φ等于0的时候

这个绝对速度的数值最大

那么这个时候

它就等于牵连速度的大小

加上相对速度大小

就是rω0+2rω0

是3rω0

这是我们说的

这个速度的最大值

再看绝对速度

等于相对速度加上牵连速度

在动参考系看

它是作为一个圆周运动

所以它的相对速度

就是一个圆周运动

是rω'²

于是是4rω0²

这是它的相对加速度

大家看

它在以它为这个圆心

它做个圆周运动

所以它的相对速度是法向的

这是a'

再看牵连加速度

是O'的加速度

O'是绕着这个O

做一个圆周运动

所以它的加速度也是法向的

这就是牵连加速度

牵连加速度是rω0²

同样 当P'点在这儿的时候

相对加速度是这个方向

牵连加速度也是这个方向

这两加速度

直接加起来是最大

所以最大的加速度

就是在Φ等于0的时候

这俩之和 5rω0²

这就是

我们选择一个平动参考系

来讨论这个问题的解

结果就是这个结果

当然我们不一定

非得选择平动参考系

也可以选择转动的动参考系

我们来看

我们选择地球

作为绝对参考系

S'作小圆盘是转动参考系

那么小圆盘

相对地面的转动角速度

是刚才说了

是2ω0

那么我们来看这样的话

在小圆盘来看

P点是不动的

对吧 P点不动

所以它的相对速度是0

相对加速度是0

而且这是匀角速转动

所以角加速度是0

这样的话绝对速度

等于相对速度

加上ω×r'

加上vo'

这一项是零

所以就等于ω×r'

加上vo'

ω×r'

这是r'

ω一叉它是这一项

然后这个vo'是这一项

于是呢

仍然是这两个矢量相加

仍然是Φ等于0的时候最大

结果是相同的

我们再看加速度

加速度呢

这个绝对加速度

等于相对加速度

加上角加速度叉上r'

加上ω×ω×r'

加上ao'

这一项是0

这一项是0

然后把ω×ω×r'

跟ao'

再加上科氏加速度合起来

最后这个叉起来

是-ω²r'

然后这个是ao'

这项科氏加速度是0

大家看为什么是0呢

因为你相对速度是0

所以这一项是0

结果仍然是这两项

-ω²r'是这个

然后ao'是这个

所以仍然是这两个矢量相加

所以跟刚才的结论一样

因此我选择小圆盘

作为一个转动参考系来讨论

仍然是可以的

只是这里边就复杂了一些

讨论起来就复杂了一些