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Video课程教案、知识点、字幕

第七部分

是重力场中的静流体

流体中最常见的体积力是重力

所以我们讨论

流体中压强随高度的分布

小范围内

重力加速度是常矢量

于是单位质量体积力

就等于重力加速度

现在我选这个方向

作为建立一个坐标轴

是向下方向为y

于是重力加速度等于g乘以y

单位矢量

于是

我们那平衡方程就变成

偏P偏x等于偏P偏z等于零

因为在xz方向上

没有体积力

只有在z方向才有

于是压强就与xz无关

在同一个高度上

在同一个高度上

压强是相等的

然后在y方向上

它是不一样的

偏P偏y等于ρg

如果ρ为常数

液体或者高度差比较小的气体

那么把它当做常数一积分

P y处的压强

就等于P0加上ρgy

P0就是y等于0处的压强

因此把不同密度的液体混在一起

比如鸡尾酒

它的分液面应该都是水平的

因为在分液面处

压强应该相等

再看一个例子

等温理想气体压强

随高度的分布

这个理想气体它是等温的

它的压强随着高度有个分布

现在我以向上为正

还是方才的方程

但是这里边变成负的ρg了

因为我这个以向上为正

所以重力加速度是负的

负的ρg

把ρ这个用刚才理想气体的

压强公式代进来

等于负的μgP除以kT

然后积分

积分从0积到y

这个从P0

P0就是y等于0处的压强积到P

最后得到结果

y处的压强

等于P0e负的μgy除以kT

注意T是常数

所以它是等温情况下

才有这个结果

再看一个例子

这是一个水的例子

刚才是理想气体

现在看一个水的例子

马里亚纳海沟

深度是11022m

就是最深的地方

海水ρ0等于1026每立方米公斤

求海底的压强和密度

这就是我们要计算一下这种情况了

利用刚才的公式

我现在取向下为正方向

近似ρ为常数

我来解这个方程

于是压强就等于P0加上ρgh

这就是近似ρ为常数

我积分得到的结果

那么于是

海底处的压强等于这么大

约等于1000个大气压

这是我们把ρ为常数

来计算的海底的压强

这么计算合理不合理

有没有道理

能不能作为参考

我们做下面的计算

假设

你海底的气压是1000个大气压

由经验公式

刚才那个液体

关于压强和密度的经验公式

来计算出海底处的

海水的密度

除以海平面的海水密度

等于这么多

这里边b就是3000

n是等于7

所以计算这个结果

结果等于多少呢

结果这比值等于1.045

也就是说海底处的密度

是海平面密度的1.045倍

这样的话我们看到

我们在计算这压强的时候

近似把ρ当做常数

还是有一定道理的对吧

你这样的话计算出来的

它才是跟海平面的密度

相差不大

所以这个计算是有道理的

因此我们看到

在这样的深度范围内

压强变化了1000倍

水的密度变化

还可以基本上忽略不计

所以我们把一个液体

一般近似为不可压缩的

在一般情况下都是可以的

下面我们说两个实验定律

第一个是帕斯卡定律

帕斯卡17世纪提出来的

它怎么说的呢

加在密闭液体中的压强

等值地传到液体中各处

以及气壁上

就是说

这里头是一个密闭的一个液体

我上边加上压强了

这个压强

比如说加了10个大气压

这个压强等值的传到了各地

都增加了10个大气压

其实我们用现在的公式很容易证明

或者解释

假如把加压强的地方设为0处

就是y等于0处这个方向

于是在刚才我们计算出重力场

重力场r处的压强

等于P0加上ρgy

那么这是原来的情况

我现在在0处

增加了压强ΔP之后

边界条件改为

P0′等于P0加上ΔP

于是在重力场里面

就变成了P0′加上ρgy

也就是P0加上ΔP加上ρgy

也就是在原来的压强基础上

每个地方都增加了ΔP

这不就是这个帕斯卡定律嘛

所以

它就是我们这个公式的一个

简单的应用

我们再看阿基米德定律

这是阿基米德

在公元前3世纪提出来的

什么定律呢

浸没在流体中的物体所受的浮力

等于物体所排开的流体的重量

这是它的阿基米德定律

我们现在也可以加以说明

我们说

假如这物体它的外表面是S

那么我们流体

对这个物体的作用力

就是通过压强体现出来的

你所谓的作用力

所谓浮力

就是压强对这个物体的作用

那么我们来看一下

压强引起的这力怎么计算

在这个流体的外表面上

取一小块矢量面积元dS

按统一规定

dS的法线方向向外

于是

流体作用在这个面积上的压力

dS上的压力dF

就等于负PdS

因为压力是向里的

我dS方向向外的

所以压力等于负的PdS

那么流体对这个物体的浮力

就是在外表面上

压力的矢量和

就是对于这个进行积分

就是我流体给物体的浮力

它等于谁呢

就等于负PdS

一个闭合曲面上积分

这一个圆圈

表示是在闭合曲面上的积分

这样的话我们看到

浮力就等于

压强对这个物体外表面的合力

那么我们现在

把这个物体的外表面

保持不变

把里边换成液体本身

那么换成液体本身

它一定是平衡的

因为它是个稳定的一个状态

所以换成液体本身之后

液体所受的重力

跟压强提供的浮力

一定是相等的

那么这样的话也就是说

你提供的浮力加上mg

就是它所受的重力

应该等于零

于是浮力就等于

你所排开的流体的

所受的重力

那么浮力的作用点称为浮心

就是该流体的重心

一般来说

不一定是物体的重心

好这部分就结束了

力学课程列表：

微积分简介

-一.导数与微分

-二. 积分

绪论

-绪论

Ch1.质点运动学

-§1 矢量简介

-Ch1.质点运动学--习题

-§2质点运动学

-§3 相对运动-参考系变换

-习题

--习题

Ch2. 质点动力学

-§1牛顿力学.力

-§2万有引力定律

-习题--作业

-§3 牛顿力学应用

-§4.非惯性系.惯性力(上)

-习题

--习题

-§4.非惯性系.惯性力(下)

-习题

--习题

Ch3.动量

-§1动量.质点动量定理

-§2质点系动量定理

-习题

-§3质心和质心运动方程

Ch4.功和能

-§1动能.功.动能定理

-Ch4.功和能--习题

-§2保守内力.势能

-§3机械能定理.机械能守恒

-习题

--习题

-§4自由碰撞

Ch5.角动量

-§1质点角动量.质点角动量定理

-习题--作业

-§2质点系角动量定理

-习题

--习题

-§3万有引力场中质点运动

-§4.刚体 (上)

-习题

--习题

-§4.刚体 (下)

-习题

--习题

Ch6.连续介质力学

-§1应力应变

-§2.固体形变和流体静力学(上)

-§2.固体形变和流体静力学(下)

-Ch6.连续介质力学--习题

-§3理想流体动力学(上)

-习题

--习题

-§3理想流体动力学(下)

-§4粘滞流体动力学(上)

-习题

--习题

-§4粘滞流体动力学(下)

-§5流体阻力(上)

-习题

--习题

-§5流体阻力(下)

Ch7. 振动和波

-§1自由振动.简谐振动

-Ch7. 振动和波--习题

-§2阻尼和受迫振动

-§3简谐振动合成(上)

-习题

--作业

-§3简谐振动合成(下)

-§4简谐波

-习题

--作业

-§5波动方程.波速

-习题

--习题

-§6衍射反射折射多普勒效应

-§7简谐波迭加.非谐波传播

-习题

--习题

-§8驻波

-习题

--习题

Ch8.狭义相对论

-§1 基本原理

-§2 L氏坐标变换.速度变换(上)

-习题--作业

-§2 L氏坐标变换.速度变换(下)

-习题

--习题

-§3 相对论动力学基础

-习题

--习题

-§4 质量.动量.能量.力相对论变换;不变量

-习题

--习题

Ch9.广义相对论

-§1.基本原理

-§2史瓦西场中时间与空间(上)

-§2史瓦西场中时间与空间(下)

-§3大爆炸宇宙学简介

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