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下面我们讨论

声学多普勒效应

我用R来代表接收器

用S代表波源

如果接收器跟波源

发生相对运动的情况下

我接收器接收到的频率νR

就不等于

波源发射的频率νS

这叫多普勒效应

是波动的

最普遍的效应之一

下面我们讨论一下

这种多普勒效应的情况

首先看一下声波的特点

声波是需要介质的

真空中不能够传播声波

那么讨论介质里面的

质元的运动情况

讨论波在介质里传播

我要选择介质做参考系

这样的话

建立的波动方程

就跟接收器的运动

波源运动无关

所以我们讨论声波的时候

第一需要介质

我们所说的

波速等于波长乘以频率

这都在介质里面的关系

这就是声波的特点

然后一般来说

声速比较慢

所以我们不考虑

相对论效应

这也是讨论声波的特点

那么我们用ν νR νS

分别表示

声波在介质中的频率

这是接收器接收到的频率

这是波源发射的频率

我们来看

这个之间有什么关系

这些关系就体现了

多普勒效应

现在讨论

接收器接收到的频率

和波源发射的频率之间的关系

我们看一下

为什么会出现多普勒效应

t时刻波源在这儿

t时刻接收器在这儿

在t时刻

由波源发射了一个

波动状态

我们知道一个确定的位相

一个确定的实数

代表了一个波动状态

所以t时刻

波源发出了一个确定的

波动状态ψ

过了一段时间

这个接收器接收到了

接收器接收到的时候

它在这个位置

它接收到的时刻是τ

发射的时间是t

它接受到的时间是τ

它运动到这儿

所以这个t跟τ是不相等的

是这个τ要比这个要大

从这儿到这儿

有一个延迟时间

延迟时间等于多少呢

就是波从这儿传播到这儿

走的距离

所需要的时间

所以τ等于t

加上延迟时间

就是走的距离除以波速

所以

t时刻发的状态

它τ时候才收到

它在这个位置

这个过一段时间

t+dt时刻

波源发出一个ψ

加上dψ的一个波动状态

那么它呢

是在τ+dτ时刻接收到了

这个时候两者的距离

已经不是r了

是r+dr

所以τ+dτ

就等于这个时刻t+dt

再加上传播所需要延迟的时间

（r+dr）除以v

这就是这样一个时间关系

于是我们就得到了

dτ等于dt+dr/v

从这里把dr解出来

于是dr等于v（dτ-dt）

这样的话我们看到

同样的一个波动状态的差

在这个里面

经历的时间是dt

这里面经历时间是dτ

而dt跟dτ不相等

导致了它频率不同

我们来看

S波源发送一个dψ

这么一个波动状态

它需要的时间间隔是dt

于是呢

它的频率就等于dψ除以dt

也就是说

dψ应该等于ωs乘以dt

那么接收器接收到的这个

同样的这个波动状态dψ

它时间间隔是dτ

于是它的圆频率

就等于dψ除以dτ

那么也就是说

我这dψ等于ωs乘以dt

等于ωr乘以dτ

于是我的νR

接收器接收到的频率

跟波源发生的频率之比

就等于它圆频率之比

圆频率之比

大家看就等于谁呢

就等于dt除以dτ

因为dt dτ不相等

它有一个时间延迟是不相等

所以导致这两个不等

这就是多普勒效应的本质

因为它运动

使得它传播这个时间

同样的一个

dψ的波动状态的时间

它不相同

所以它导致这个结果

于是我们从这里得到

接收器接收到的频率

等于波源发射的频率

乘以dt除以dτ为

我们把dt除以dτ计算出来

就得到了

接收器接收到的频率

与波源发射频率之间的关系

所以下面主要就讨论

dt dτ的关系

我们讨论最简单的情况

接收器和波源

在一条直线上运动

大家看这就是波源

这是接收器

它的联线

首先讨论这两个

在这条联线上运动情况

首先看我接收器不动

它不动

于是波源向着接收器运动

以什么速度运动呢

以us来运动

于是dt时间内

它运动距离

是us乘以dt

所以它俩之间的距离缩小了

于是dr缩小的负dr

就等于us乘dt

我们前边说了

我们刚才计算出来

dr等于v波速

乘以（dτ-dt）

所以前边加一个负号

于是就负dr等于usdt

我们从这儿讨论的

等于负的v（dτ-dt）

由这个关系

我们可以把

dt dτ的关系解出来

从这里解出来以后

我们看到v乘以dτ

等于v减us乘以dt

dt dτ的关系我们确定了

于是在这种情况下

接收器接收到的频率

和波源发射的频率之间的关系

就得到了

大家看

就得到这个结果ν

R等于v

除以v减us乘以νs

这样的话

我们就得到了

在这种情况下的结果

它俩的频率确实不相同

而且因为波源

向着我来运动

引起的什么呢

接收器接收到的频率增高

比它实际的发射频率要升高

那么它的本质

还可以怎么讨论呢

大家看

这是波源

波源它现在假设静止不动

它在这静止不动

波源静止不动

于是它发射了一个波动状态

发射波动状态以后

这波动状态就传播

经过一个周期

波动状态传播到这儿了

于是这个位置

跟这个位置的距离

就是一个完整的波长

所以它从这儿发射一个状态

经过一个周期以后

这个传播的距离

就是一个完整的波长

这个波长就是

波源不动的时候

它的波长

如果这个波源

在发射波动状态的同时

还在向前运动

大家看

它在这儿发射一个波动状态

但是它还往前走

经过一个周期

波源到这儿了

这个状态到这儿了

于是

我们就认为

这个距离是现在的波长

是什么现在的波长呢

是波源运动时候

你体现出来的波长

所以我们看到

当波源运动的时候

导致了波长缩短

所以

这个的本质

为什么出现多普勒效应呢

因为本质上

相当于波长缩短

于是频率增高，

这是我们看到的这种解释

第二种情况

波源不动

接收器运动

大家看波源不动

接收器运动

它向着波源来运动

dτ时间内

它走了这么一段距离

于是

使得两个之间距离缩短了

于是我们看到

负的dr等于uR乘以dτ

刚才说了dr等于v（dτ-dt）

把这个代进去

又可以把dt dτ的关系求出来

于是vdt等于（v+ur）

乘以dτ

uR是接收器运动的速率

于是这个时候

接收器接到的频率

就等于v加上vR

除以v乘以νS

这就是我们看到

在这种情况下

它的频率的不同

S不动

那么我们看

它这个接收器运动

相当于我往这儿迎着它

来接收我的波

相当于什么呢

相当于波速增加

所以这就是我们说的

第二种情况

那么第三种情况

就是两个一起运动

一起运动

我们不再详细说了

那么在dt时间内

它走了这段距离

在dτ时间内

它走了这段距离

从而使得两个之间距离减小了

减小了就等于这两个之和

然后我们又解出

dt跟dτ的关系

于是最后

就得到了这个结果

就是两个都在动

它的这个最后的频率关系

接收器接收到的频率

等于v加上uR

uR是接收器运动的速率

除以v减去uS

uS是波源的运动速率

然后乘以νs

就是这个关系

这里边大家注意

它有符号关系

什么符号关系呢

我如果我是迎着它运动

就是使得它距离缩短

我这时候的速度

就取为正

我背着它运动

使得距离增加

你这个uR uS就取负

咱们看这个情况

我现在如果接收器迎着它走

我这uR取正

如果接收器向这方向运动

uR就取负

类似

如果波源向着它运动

这个uS取作正

如果它背着它运动

uS取负

所以uSuR是有正负的

这样的话

如果它俩都是正的

它俩都迎着走

所以这个和这个

都使得它频率增加

这就是我们看到的结果

下面看任意运动

就是波源接收器

向任意方向运动，

它的多普勒效应如何计算

那么我们来看

这是波源

这是接收器

它俩之间有一个联线

这个速度

是波源运动的速度

它和这个联线的夹角

定义为θS

这是接收器的运动速度

它和这个联线的夹角

定义作θR

那么这样的话

这个速度

在这联线上的分速度

就是uS乘以cosθS

所以这个速度

在联线上的分速度就是它

同样接收器的速度

在联线上的分速度就是这个

于是

它们之间距离的缩短

就等于分速度

分别乘以时间

所以负dr就等于

波源在联线上的分速度

乘以dt

那么这个就等于

接收器在联线上分速度

乘以它的时间

它等于多少呢

等于负的v乘以（dτ-dt）

从这里就可以把dt dτ解出来

于是我们看到

（v-uScosθS）乘以dt

就等于（v+urcosθR）乘以dτ

有了dt和dτ的关系

就可以把频率之间的关系得到

于是就得到了

νR和νS的关系

那么就是这个的比值

这里要说明

它也有符号

但是这个里面

我的uR和uS都取作模

本身不带正负号

那么如何引起

它的方向不同

而引起它的结果的不一样呢

是由这个余弦函数给出来

所以这个的符号规则

跟我们前边符号规则是不一样的

它和它都取作模

它的体现的效应

由后边这个cos余弦函数给出来

我们看一个例子

一列火车从远处响着汽笛开过来

一个人站在轨道边

就可以体验到

多普勒效应的影响

那么

在这种情况下

是属于接收者不动

而波源在运动

于是接收到的频率就等于

v乘以νS除以（v-uScosθS）

火车远来的时候θ

S约等于零

这个时候它的接收到的频率

等于v乘以νS

v减uS

这个时候这个声调最高

所以它的频率最大

所以你听着来的时候

开始非常尖

声音非常尖

是这种情况

到了垂直情况下

θS等于二分之π

于是νR等于νS

它的频率是相等的

到了远去的时候

θS等于π

于是接收到的频率

等于v乘以νS

v加uS

这时候它的频率最小

相当于越来越低沉

所以来的时候尖叫着

远去的时候越来越变得低沉

体现了多普勒效应的影响

好 这部分就讲到这儿