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我们第二

来建立一个一维的

平面简谐波的波函数

就是建立一维的

简谐波的波函数

我们现在说了这么多

还不知道

简谐波的波函数是什么样

所以下面我们来建立一个

一维的简谐波的波函数

什么是简谐波呢

波上各点都做着同频的

简谐振动的波就叫简谐波

我们来看一下

简谐波的周期性

时间周期性

因为每个点

都做着同一频率的简谐振动

所以它有共同的周期T

共同的频率ν

这样的话

我这个在同一个点t时刻

和过了一个周期以后

t+T时刻

它的振动应该相同

因为它周期是T

所以这一点上

过了一个周期以后

它的振动完全相同

空间周期性

我上游带动下游

那么振动起来

经历一个周期之后

各点都恢复原状

大家想象一下我拉一根长绳

开始是静止的

我这个地方作为波源

我向上运动

于是带动了后边的绳子

都向上运动

到了最高点

然后回来

然后这个

我这振动继续往后传

回来

等到到了最低点再回来

那么就完成了一个周期

完成一个周期

我这个振动状态

也向这边传播了一个距离

我传播到最远那个距离

它正好也在原点上

那么这样的话

我这个波源振动的一个周期

我这个波向前传递了一个距离

这个距离

我称之为波长

我这个振动回到原点

那么到了一个波长那地方那个点

正好跟我现在的状态完全一样

它也要开始向上运动

所以一个波长

又在波形图上

波动状态或者振动状态

完全相同的两个相邻点的距离

也是波长

所以一个波长

就是一个周期内

波动传播的距离

或者在波形图上

振动状态相邻的

两个点之间的距离

都叫波长

于是

波长等于波速乘以周期

就是一个周期内

传播的距离称为波长

周期等于频率分之一

所以波速又等于

波长乘以频率

上游带动下游

所以上游的位相

一定超前下游

那么简谐波的传播

就相当于位相的传播

如果上游跟下游

距离是λ的话

正好是一个波长的话

那么上下游的位相差

就应该是2π

它正好是相同嘛

振动情况相同

如果上游与下游的距离是l

不是这个λ

那它位相差是多少呢

那么我就看l是λ的多少倍

再乘以2π就对了

所以上游减下游的位相

就等于l/λ再乘2π

这里边有个2π/λ

2π/λ我们有个定义

圆波数k

圆波数k=2π/λ

为什么称作圆波数呢

大家看

这个λ分之一

是单位长度上

有多少个波长

一个波长我算一个波数

于是就等于单位长度上的波数

所以

再乘个2π

就是叫圆波数

以后我们看到

简谐波跟圆波数

是密切相关的

换句话说

圆波数

是简谐波的一个重要参量

这大家一定要注意

那么就是k

于是我上游跟下游的位相差

就等于k乘l

注意在这个简谐波里面

这位相差没有什么限制

可以是很大很大

没有什么-π到π的限制

它是按实际来计算

那么现在我们用一维简谐波为例

来讨论由已知点的振动

或者已知时刻的波形

来写出它的波函数来

下面我们要去做具体的工作

来找出真正的

简谐波的波函数

首先我由位相的传播

建立波函数

一个参考点z0点

它的振动是已知的

写成什么呢

写成z0点的振动

是Acos(ωt+ф0)

或者把这个当做位相

就是Acosψ(z0)处的位相

那么

这样的话

我来求波函数

来求波函数的话

就是求任意点z处的振动

求任意点z处的振动

它的振幅是不变的

所以关键是求出z处的位相

所以实际上

是由参考点z0的位相

来求出任意点的位相

那么我们来画一下图

大家看

这我选择z方向

我选择z0点在这儿

z点在这儿

那么这个波

是沿着z方向传播

那么沿着z方向传播的话

向正z方向传播的话

这个就是上游

这就是下游

所以这个ψ(z0)-ψ(z)

上游减下游

就等于k乘以这俩之间的距离

就是z减z0

于是ψ(z)

就等于ψ(z0)减去

k乘以(z-z0)

把ψ(z0)代进去

整理一下就写成

ωt-kz+ф0+kz0

我们把这一项写作ф

于是就写成ωt-kz+ф

于是

我们的简谐振动的

波函数就出现了

是谁呢

是Acos(ωt-kz+ф)

这个ф是已知的ф

是已知的ф0+kz0

所以就是这样的话

我就把这个

简谐波的波函数写出来了

于是我们看到

一个一维的

向着正z方向传播的简谐波

它的波函数

就是Acos(ωt-kz+ф)的形式

下面我们讨论向负z方向传播

向负z方向传播的话

那么z就是上游

z0就是下游

所以应该是ψ(z)-ψ(z0)

等于k(z-z0)

于是同样处理

就可以把ψ(z)求出来ψ(z)就是ωt+kz+ф0-kz0

把这一项写作ф

于是向负z方向传播的

简谐波的波函数

就是Acos(ωt+kz+ф)

其中的ф等于ф0-kz0

那么

这样的话我们就知道了

我们原来呢

只是说的这个简谐波的波函数

现在知道它具体形式

就是这种形式

于是呢

由波函数我就知道简谐波的

波形的函数了

就是我取一个确定的时间t0

于是Acos(ωt0)

大家看这是变成常数了

然后这加上ф

于是这个时候这个波函数

就变成了z的函数

变成了z的函数

就是波形图

波形图原来是一个余弦函数

所以我现在求出了

简谐波的波函数

我就知道了

某一时刻它的波形图

应该是个余弦函数

这里我们这种推导

是由位相传播

来推导出波函数的

还有一种方法

如果你知道了简谐波的表达式

也就是波函数

你可以直接的

由参考点的已知的振动

来求出波函数来

我们来看怎么做

其实就是把ф求出来就可以了

我们看一个例子

已知z0点处的振动

是Acos(ωt+ф0)

就是我们前边例子的情况

一

向正z方向传播的简谐波

我们知道它的形式了

它的波函数

应该是这个形式

Acos(ωt-kz+ф)

现在就是把它确定就可以了

把这里边位置取作z0

于是把z0代进去

就是Acos(ωt-kz0+ф)

它应该等于我的已知条件

等于Acos(ωt+ф0)

于是

我们就看到

这两项加起来要等于ф0

于是ф就等于ф0+kz

我就把它求出来了

于是这个简谐波的波函数

就有了

第二个向负z方向传播的简谐波

还是这已知条件

我知道向负z方向传播的简谐波

波函数是Acos(ωt+kz+ф)

然后仍然把z取作z0

那么它是这个结果

它跟已知条件应该相等

于是这两个加起来

应该等于ф0

于是就得到了ф

等于ф0-kz0

所以直接可以计算出来

我们现在再来看一个例子

这个例子用位相传播

来解决是最方便的

已知条件还是z0处的振动

是已知的

现在是什么样呢

在z1处有一个反射的界面

一个入射波ξ

在这个地方反射

成为反射波ξ′

让你求谁呢

求反射波的波函数

已知在这个反射过程中

没有位相的变化

而且反射波的振幅是A′

这都是已知的

让你写出反射波的波函数来

那么还用位相传播的情况

我们看这图

现在是这样一个入射波

然后反射以后变成反射波

所以对这种情况z0是上游

z是下游

那么于是这个z0处的位相

减去它的位相

这个因为是反射波位相

我加一撇

就是ψ′(z)

先是从这儿到反射面

这时候位相的差

是k(z1-z0)

然后再从这儿到达下游这一点

这时候位相差是k(z1-z)

然后整理出来就是k(2z1-z-z0)

于是就把ψ′(z)求出来

就是反射波的位相求出来

于是结果就是

A′乘以cos反射波的位相

把这个都代进去

写成ωt+kz+ф的情况

于是ф就等于这些

那么

我们再看波形的传播

就是由已知的

某一时刻的波形

来求出这个波函数来

我们看到

波形是保持不变的

以波速v来传播

所以我们可以用这点来

由已知t0时刻的波形

就是ξ(z,t0)

把t0代到波函数里面去

写成是一个z(t0)的一个函数

这个z(t0)表示是

t0时刻的空间坐标z

我求波函数ξ(z t)

就是要求出

t时刻的空间位置的函数

也就是找到

它和它的关系

实际上是由t0时刻的空间参量

来求任意时刻的空间参量

我们来看

这是一个波形图

t0时刻波形图

这个不是简谐波

我们随便找一个都可以

这种方法不但适合简谐波

也适合任意的波形不变的波

都可以

所以我们看一个

t0时刻它的波形图

t0时刻波形图呢

它的空间坐标参量是z(t0)

这个波形

刚性不变的向前传播

经过了一段时间之后

到达t时刻

那么它波形传到这儿来

那么这个时候所对应的

这一时刻的波形图

它的空间参量还是z

但是是t时刻的z

我们就把t时刻的z

跟它这个z

t0时刻的z建立起关系来

同样这个是它的函数

大家看

它的这个函数值是相同的

只是平移过来

所以这个时候的函数值

等于这个时候的函数值

所以只需要

把这俩的关系找到就行了

波形这么移动

移动速度是v

所以这个走的距离

就是v乘以(t-t0)

于是呢

这个时候的空间参量z(t)

减去t0时刻的空间参量z0

等于v(t-t0)

这样的话就求出来

t0时刻的空间参量

等于t时刻的空间参量

减去v(t-t0)

我现在这是已知的

这是我已知的一个函数

我把这个函数

换成这个函数

就得到了t时刻的参量

也就是它的波函数

所以

t时刻的参量

t时刻的波函数

就等于把这里边的z(t0)

换成谁呢

换成z(t)减去v(t-t0)

咱们举个例子来看

假如t0时刻的简谐波的曲线

是这个形式

就等于Acos kz(t0)

这个z指t0时刻的z

加上ф0

我们这个波函数

就是把这个t0时刻的空间参量

换成t时刻的空间参量

z减去v(t-t0)代进去

就得到结果了

那么代进去以后

这个计算是这样的

这个k乘z

就是k乘z

k乘v应该是谁呢

应该是ω

所以这就是减去ω(t-t0)

然后再加上ф0

于是整理一下

就是这个形式

我们都习惯把ωt放在前边

把kz放在后边

所以把负号提出来

就是这个结果

那么把这个项写作ф

就是这个结果

于是ф=-ф0-ωt0

这样的话

我们这个波函数就有了

就是这样的ωt-kz+ф

这个ф也就有了

所以

把ξ(z,t0)里边的z

换成z减去v(t-t0)

就是t时刻的函数值

也就是波函数

所以

非常的简单

通常取t0等于0

我们把t0取作零时刻

于是把ξ(z,0)

就是这个里边的这个z

换成谁呢

换成(z-vt)

就得到了波函数

这就是我们由已知的波形图

来求出波函数的方法

就是做空间位置z的变换

如果知道了简谐波的波函数

我们可以从

波形图直接来求波函数

看个例子

已知某一时刻的波形图

是Acos(kz+ф0)

向正z方向传播

我们设波函数

是Acos(ωt-kz+ф)

现在就把ф求出来就可以了

那么t0时刻的波形图

由这个得到

就把t0代进去

把它整理一下

把kz写在前面

就是Acos而(kz-ωt0-ф)

它应该跟我们已知的波形图相同

于是呢

这ф0就等于这两项

于是就把这ф求出来了

ф=-(ф0+ωt0)

这个办法可以推广到任意的

没色散的平面波

我们色散平面波概念

我们以后再说

但是我们知道

有这么一个例子就可以

波速为v的平面脉冲波

t=0时刻的波形

是这样一个函数

就是Aexp(-z^2)

大家看这形状就是这样的

这样的一个曲线

那么我们现在知道

它的传播的波速是v

这是t=0时刻

于是把这里边z

换成z-vt就可以了

于是这个t时刻的波形

也就是它的波函数

就应该是Aexp[-(z-vt)^2]

所以把这个z换成(z-vt)

就是它的波函数

原点处质点的运动

就是把z取作零

看它的运动

虽时间变化

就是Aexp(-v^2 t^2)

就是这个质点

在原点处的运动

就可以由这个波函数给出来

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绪论

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