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Video课程教案、知识点、字幕

四

受迫振动振幅与频率的关系

位移共振ω

0是常数

是取决于系统的

现在我们再把h跟δ取为常数

h就是与这个策动力的振幅有关

我们把策动力振幅保持不变

于是h就是常数了

那么δ是阻尼系数

一般也是常数

这样的话

我们看到

这时候的稳态解

它的振幅就是谁呢

就是策动力圆频率的

单值函数

它就完全由

策动力频率来决定

这函数关系

是这样一个函数关系

这样的话

它是常数

它是常数

它是常数

于是振幅就完全由ω决定

我们来看一下它的曲线

曲线呢

横轴是策动力的频率

纵轴是它所引起的

稳态解的振幅

这叫什么呢

这叫频率响应曲线

我们看到

当ω小于小于ω0的时候

那么也就是说

这个频率非常小的时候

那么A就趋近于一个常数

就是频率是零的时候的一个常数

频率是零的时候

这A就等于h除以ω0平方

就相当于我一个

静态的拉一个弹簧

于是它的伸长就是F除以k

这是在这种情况下

是一个常数

然后随着ω增加

它到达一个最大值

就是这个振幅的最大值

振幅的最大值

然后就减小

也就是说

当ω非常大的时候ω

远远超过它的时候

那么A就取近于h除以ω平方

也就是F除以mω平方

最后因为ω非常大了

趋于零

这样的话就是一个频响曲线

到了最大值然后呢减小

最后趋于零

那么它的对应峰值的情况

我们称为共振

这个圆频率叫共振圆频率

共振圆频率想求出来的话

如何求呢

就是把这个频响曲线函数

对谁呢

对ω求导

就可以求出它的极大值来

这就是频率响应曲线

我们把它求导以后

求出它的最大值

那么共振的圆频率的平方

等于ω0平方减去2δ平方

所以共振的圆频率

是小于ω0的

这样的话就是一个

开始是一个常数

然后不断增加

最后到达了峰值

这时候我们称为共振

因为它位移最大

所以我们称为位移共振

然后减小最后趋于零

那么

当δ小于小于ω0的时候ω

共振频率趋于ω0

那么最大的峰值

就是共振频率代进去

等于h除以

2δ根号下ω0平方减去δ平方

也就是h除以2倍的δω′

在共振点附近大家看

这个阻尼系数起了决定作用

大家看这是那条ω横轴

这点是ω0

当你δ比较大的时候

它的峰值比较小

它离它距离比较远

共振频率离它比较远δ

越小

这个点越靠近ω0

然后峰值越来越大

这就是位移共振

我们看到的一个

受迫振动的情况

它的共振

一般都指的是位移共振

因为你看到振动最大

比如说咱们家里应用的甩干机

甩干机就可以完全

看到一个完全的频率响应曲线

甩干机里边放上东西

让它转起来的时候

因为它的这个放的东西

不是一个非常均匀

所以甩干机转起来是有一个振动的

那么开始的振动速度是比较慢的

所以它的振幅比较小

然后随着转速增加

你会发现它的振幅越来越大

就是可以听到它

如果你放的不好

听到它碰大器壁的声音

咣咣咣咣咣

随着转速增加

它的偏离

就是它的振幅越来越小

当你转速最大的时候

它的振幅很小了

所以你开甩干机的时候

开始振幅不大

然后到振幅最大

就是共振

然后继续变小变小最后呢

趋于零

所以它是一个

完全的一个频率响应过程

我们一般的音响系统也是这样

音响系统

都有一个频率响应曲线

它不是一个水平线

所以对于不同频率

它的放大倍数是不一样的

我们前边讨论了

受迫振动的共振现象

在位移共振的情况下

策动力频率等于共振频率

它就是位移共振

在小阻尼情况下

位移共振也就是

策动力频率约等于

它的本征频率ω0的时候

就会发生共振现象

既是速度共振

也是位移共振

现在我们就做实验

来看一下共振现象

这属于小阻尼情况

所以ω约等于ω0

它就实现了位移共振

那么位移共振

我们可以直观的看出来

下面我们看一下

耦合摆实验

这个摆是策动力

它带动了这三个小球的摆动

这种摆动的频率

取决于它的摆长

大家注意看一下

三个球的摆长

只有中间球的摆长

跟策动力的摆长是相同的

因此呢

中间的摆

是共振情况下的摆动

所以它的振幅最大

其他两个球的摆动就很小了

所以这就是我们看到的

共振现象

同时大家还可以注意一下

它的位相关系

我们知道

在ω等于ω0的情况下

策动力的位相超前

受迫振动的位相二分之π

大家注意

这两个振动确实是二分之π

也就是说

当策动力的摆

摆到峰值的时候

这个小球正好摆到它的原点

大家可以注意看

这就说明

它们两个正好差二分之π

我们现在做一次共振实验

是音叉共振情况

那么这两个音叉的频率是相同的

这样的话我敲击这个音叉

使得这个共振

那么我怎么知道它共振了呢

我抓住这个音叉

于是这个音叉的声音消失

如果声音还继续存在

那就是这个音叉发出的声音

说明它产生了共振

现在给大家做一下实验

那么现在的声音

就是这个音叉产生的

这就是实现了共振现象

咱们现在继续做实验

我现在改变一下它的频率

使得它不再是共振了

那么这样的话

它在受迫振动情况下

它的振动就要小的多

如何改变它的频率呢

我上边加一块磁铁

贴一个很小的磁铁

这样的话

使得它的本征频率下降

它的频率不再跟它严格相等

这样在这个受迫振动情况下

它的振动

就不再是共振的振动了

就要明显的小的多

大家可以从声音的强度上

判断出来

跟我刚才共振的情况明显不同

这就是非共振现象

我们现在继续做共振实验

这个共振实验

是用一个喇叭

发出强烈的声波

当这声波

与这个玻璃杯的共振频率

相同的时候

引起玻璃杯的强烈的振荡

会使玻璃杯破碎

就是这样一个实验

我们测出玻璃杯的共振频率

调整我们的信号发生器

使得它的频率相等

然后输出强大的声波

产生共振

下面我们就做这个具体的实验

好玻璃杯破碎了

实验完成

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-一.导数与微分

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绪论

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-Ch1.质点运动学--习题

-§2质点运动学

-§3 相对运动-参考系变换

-习题

--习题

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-§1牛顿力学.力

-§2万有引力定律

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-§3 牛顿力学应用

-§4.非惯性系.惯性力(上)

-习题

--习题

-§4.非惯性系.惯性力(下)

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-§2质点系动量定理

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-§3质心和质心运动方程

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-§1动能.功.动能定理

-Ch4.功和能--习题

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-§3机械能定理.机械能守恒

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-Ch6.连续介质力学--习题

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-§1自由振动.简谐振动

-Ch7. 振动和波--习题

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-§3简谐振动合成(上)

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-§7简谐波迭加.非谐波传播

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-§1 基本原理

-§2 L氏坐标变换.速度变换(上)

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-§3 相对论动力学基础

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-§1.基本原理

-§2史瓦西场中时间与空间(上)

-§2史瓦西场中时间与空间(下)

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