Video在线视频

第六部分

伯努利方程

我们现在讨论

流体在流动过程中

功和能的问题

首先我们推导

一个重要的微分方程

叫普遍的伯努利微分方程

是能量的微分方程

由欧拉方程就可以得到

理想流体它的质元

在流动过程中

它的能量微分方程

称之为普遍的

伯努利微分方程

就是它的压强的微分

加上ρgdz
再加上二分之一的ρ

（dv）的平方等于零

就这样一个微分方程

这是个很重要的微分方程

我们下面来推导一下

这是讨论重力场的理想的流体

在重力场中

体积力就是重力

所以体积力就等于

重力加速度g

我们现在注意

我们取的z是向上的方向

那么欧拉方程就是ρ

乘以a

等于ρ乘以体积力f

在咱们这里体积力就是

重力加速度g

再减去压强的梯度

这是欧拉方程

我们在欧拉方程的两边

同时点积质元的位移dr

那么这一点积

就表示我们的讨论

是沿着流体的迹线

点上dr dr等于vdt

那么这是点dr

这是点dr

把dt约掉

那么这就变成了ρ

dv点上v

这个点积可以写成

二分之一ρdv方

就是dv点v

可以写成二分之dv方

那么ρg点上dr

就等于负的ρgdz

下面就是这个

压强的梯度点上dr

我们下面要证明

它正好等于压强的微分

压强的梯度点上dr

压强的梯度就是偏P偏xx

加上偏P偏yy

加上偏P偏zz

点上dr

就是dxx加上dyy加上dzz

点积的结果

就是偏P偏xdx

加上偏P偏ydy

加上偏P偏zdz

它恰好就是P的微分

所以

我们就得到了这个关系式

这就是普遍的

伯努利微分方程

普遍的伯努利方程

是理想流体质元的

沿着迹线的

它的微分方程

那么在一般情况下

流体的迹线是很混乱的

这个微分方的积分很难

因此我们在不可压缩的流体

定常流动情况下进行讨论

得到非常重要的

沿着流线的微分方程

就是因为在这种情况下

流体的质量密度是常数

就是不可压缩

定常流动的时候

流体的质量密度是常数

于是刚才那个普遍的微分方程

就可以写成这个形式

因为它是常数

所以对它取微分就等于ρgdz

它是常数

对它取得微分

就是二分之ρdv方

所以在这种条件下

不可压缩

定常流动情况下ρ

为常数了

就可以把刚才那个微分方程

写成这个形式

写成这个形式

立马就得到了它的积分

于是就得到了

这样一个关系式

P加上ρgz加上二分之ρv方

等于常数

因为它的微分是零

所以这个就是常数

这个就是著名的伯努利方程

我们一般说伯努利方程

都指的是这个形式

伯努利方程本质上

就是沿着流线的

能量积分

因为它非常重要

所以我们再把它描述一下

不可压缩的理想流体

在定常流动时

同一条流线上各点

它的压强 流速 高度

密度有守恒量

就是P加上二分之ρv方

加上ρgz等于常数

所以大家看到

应用伯努利方程

需要四个条件

一个是不可压缩

一个是理想流体

一个是定常流动

一个是沿着同一条流线

有这四个条件

所以

这个公式非常重要

我们同时还要注意

它的应用条件

这是我们刚才用欧拉方程

理想流体的欧拉方程

直接推导出

普遍的伯努利的微分方程

然后得到的伯努利方程

下面我们由机械能定理

直接推导伯努利方程

因为伯努利方程本质上

就是一个功能关系

所以我们用机械能定理

可以直接推导

我们采用拉格朗日法

大家看

这就是一个流体的流管

它现在是定常流动

理想流体无摩擦

这个流管

我们取它的其中一段

AB这一段

作为我们的研究对象

这个讨论方法

类似我们前边讨论

定常流动时候的动量定理

方法是一致的

因为不可压缩

而且定常流动

所以ρ是常数

沿着流管它的这个任何

一个截面上

体积流量是常数

而且没有机械能与内能的转换

这一条我们现在

还不能给大家做严格的证明

以后如果学到热学

可以严格证明

它没有机械能

跟内能的转换

这样的话我们对这一段流体

应用机械能定理

它在dt时间内

它从AB运动到了A′B′

那么在这段时间内

外力做功

非保守内力做功

等于它的机械能增量

因为它没有机械能跟内能转换

所以它的

非保守内力做功是零

只有外力做功

外力做功它只有是

这个面上的压力做功

和这个面上压力做功

这个面上压力做功是正的

它的压力等于P1乘以S1

然后移动距离是AA′

S1乘以AA′就是这样的dV

这个的体积 dV1

所以它做的功

就等于P1乘以dV1

在这段压强是这个方向

所以压力做功是负的

它做的功等于多大呢

等于压强乘以这个面积S2

然后它的运动距离是BB′

S2乘BB′

等于这儿的体积dV2

所以它做的功

等于P2乘以dV2

因为它的体积流量是常数

所以这dV1等于dV2

我们就取为dV

这是它做的功

是P1乘以dV是正的

这是P2乘以dV是负的

我们再看

它的外力做功

等于它机械能的增量

它的机械能增加多少呢

这块是它增加的机械能

这块是它减小的机械能

这块的机械能

因为是定常流动机械能不变

所以它的机械能的增量

就等于这块的机械能减去

这块机械能

所以我们看dt时间内

它移动这段距离

于是刚才说

外力做功就等于压力做功

压力做功等于P1减P2乘以dV

等于机械能增量

是增加了这段机械能

减少了这段机械能

这段机械能

就是它的动能加上它的势能

这段机械能

就是它的动能加势能

于是我们把两边把dV除下去

dm除dV就是它的质量密度ρ

于是我们就得到了

这个关系式

就是P1加上二分之一ρv1的平方

把这个挪过去

加上ρgz1

等于把这个P2挪过来

P2加上二分之一ρv2的平方

加上ρgz2

于是我们看到

既然相等

我的1 2的位置是任选的

所以这些量的和

就等于常数

也就是我们证明了

伯努利方程

由此可知

不可压缩的理想流体

定常流动时

压力做的功

等于流体机械能的增量

刚才我们说了

它没有非保守内力做功

所以它跟

我们前边得到结果是一致的

第一个方程应用条件

再强调一下

不可压缩

理想流体就没有摩擦

定常流动

同一条流管

那么你不同的流管的话

常量不一样

所以在这条流管上

它是等于常数

换了另一个流管

常数就不一样了

所以不同流管常量不同

但是如果流线水平

如果流线是水平的话

平行的话

那么不同流线的常数是相同了

所以我这条流线上的常数

就等于这条流线常数

等于这条流线常数

一般情况是不等的

但是在这种

流线水平情况下就相等

我们看一下

过1点的流线常数

等于1点P1加上二分之ρv方

加上ρgz1

因为它是平行流动

而且是定常流动

所以流速是均匀的

它是一个理想流体的定常流动

它是流线平行流速均匀

所以流速是相同的

过2点流线常数是P2

加上二分之ρv方

加上ρgz2

我们前边讲过

如果流线是平行的话

那么它在这方面的压强差

就等于静水的压强差

所以P2就等于P1

加上ρg（z1减z2）

就是这两个的高度差

乘以ρg

所以P2等于P1加上它的

高度差乘以ρg

于是把这个结果代到这里边来

它就跟这个完全一样

说明什么呢

说明你沿着这一条流线的常数

等于沿着这条流线的常数

第四

液体不可压缩

所以我们认为

一般说不可压缩的流体

都指的液体

但是气体是可以压缩的

所以一般来说气体是

不是不可压缩的流体

但是

当气体流速变化不大的时候

它的压强变化不大

于是它的质量密度

也变化不大

所以在这种情况下

我们还可以近似应用

把这个气体应用作

不可压缩情况

再应用于伯努利方程

所以实际上伯努利方程

既可以应用液体

也可以应用气体

但是应用气体需要

流速变化不大