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我们再讨论质心参考系里面

它的机械能定理

我们曾经在第一节讨论了

一个重要的结论

什么呢

质心系里头

惯性力做的合功是零

所以我用质心系

来讨论机械能定理的时候

就完全可以不考虑

它的惯性力的问题

如果质心系是非惯性系的话

可以不讨论惯性力的问题

所以我们得到这样的结论

无论质心系是否是惯性系

质点系的机械能的增量

永远等于在这个过程中

外力的合功

非保守内力的合功

所以它没有惯性力的问题

如果在一段时间内

它的总有外力的合功是零

非保守内力做的功是零的话

于是机械能守恒

所以不必考虑惯性力做功问题

我们现在举一个例子

来讨论这个质心系里边

如何应用机械能定理

和机械能守恒

大家看这样一个例子

这是一个弹簧

系数是k

我现在把这个它两头系的

两个质点m1 m2

我现在把它压缩

压缩的长度相对于原长是h

然后放在这个平面上

然后一推它

就让m1 m2有一个相同速度v0

然后一放手

所以初态的时候

弹簧有一个压缩h

两个质点的速度相同都是v0

向着这方向运动

然后就让你讨论

如果没有摩擦的时候

求弹簧的最大伸长是多少

第二个

如果有摩擦

摩擦系数相同都是μ

然后让你求

弹簧的原长时候的相对速度

就是这个质点

跟这个质点的相对速度

v2减v1是多少

还求最大伸长是多少

然后有一个假设

假设什么呢

在你松手之后

那么到这个形成了原长

这个整个过程里边

这两个质点

仍然保持同向运动

我们现在就给大家说一下

这整个的物理过程

现在两个压缩

以同样速度运动

这是开始

正因为是压缩的

所以你一松手以后

弹簧是这样一个向外推的力量

于是就使得它的速度增加

它的速度减少

然后一直到这个原长的时候

都是这种情况

到这种情况大家注意

我要求是这个的速度

仍然保持是往前走

虽然减少

但是到原长的时候

仍然是往前走

然后由原长弹簧继续伸长

在弹簧往长伸的过程中

弹簧对它变成拉力了

由推力变成拉力了

对它由推力变成了

向后拉的力量

于是到了原长之后

前边的速度减小

后边速度增加

仍然沿着原来方向运动

但是这时候继续伸长

还继续伸长

沿着原来方向运动

到了最后

这个速度增加

这个速度减小

它俩速度相等了

那个时候是最大伸长

对吧

最大伸长

它俩速度仍然往前走

那么就在这整个的过程中

两个速度方向是相同的

这就是我们分析

它整个的物理过程

开始两个距离越来越大

这个后边速度减小

前边速度增加

然后到了原长以后

弹簧继续伸长

但是它的速度开始增加了

它速度减小了

到最大伸长的时候

它的速度跟它速度相等了

所以一直是保持这方向运动

就是这种情况

我们现在解决这个问题

首先它让你要求在质心系讨论

所以我选质心系

质心系的时候

那么刚开始的时候

这个质心速度多大呢

因为两个的速度相同

所以质心速度

就是这两个速度

所以初态的时候质心的速度就是v0

于是初态的时候

在质心系看

它的速度是零

它的速度也是零

所以在质心系看

它俩的初态速度都是零

因为质心速度跟它们速度相同

初态速度都是零

质心系是零动量系

就在任何时候

这两个质点的速度都有一个关系

什么关系呢

就是v2'=-m1v1'/m2

这里边v1'v2'都是投影

所以这里头没有投影符号

都是投影

也就是说大家知道

质心系永远是零动量系

因此对于两个质点来说

它俩动量之和是零

所以它俩动量永远是

大小相等方向相反

于是两个速度永远相反

但是速度的方向虽然相反

但是速度大小

跟质量成反比

所以总是这样的

因此它总有这样一个关系

如果没有摩擦

那么质心系是惯性系

这样的话

这个机械能守恒

于是质心系里边

两个质点构成的系统

它的机械能就是初态机械能

初态的时候两个是不动的

没有动能

所以就等于它的势能

kh^2/2

到最大伸长的时候

它求这个没有摩擦的时候

弹簧最大伸长

到最大伸长的时候

两个的速度又变成零了

在质心系看

因为它相等(并且)是零才能够最大伸长

所以最大伸长是h

所以这无摩擦很好讨论

下面讨论有摩擦的情况

有摩擦的时候

质心系就是非惯性系了

但是惯性力合功是零

所以我们不去讨论惯性系的影响

那么由质心系的机械能定理

机械能的变化

它的微分等于摩擦力做的元功

摩擦力做的元功

就是第一个摩擦力做的功

跟第二个摩擦力做的功之和

那么第一个摩擦力做的功是m1gμ

这是第一个

正压力乘以它的摩擦系数

然后再乘以它的位移

加上第二个摩擦力做的功

因为它俩在地面看

它运动方向相同

所以摩擦力方向是相同的

所以它这两个是相加

而且是负号

这里边gμ是常数

可以提出来

gμ提出来

把d也提到前边来

就变成m1x1'加上m2x2'

大家注意

在质心系里边

这两项加起来是零

这就是∑miri'等于零

那个的一种变种

所以它是零

这是零

说明什么问题呢

说明在质心系里面看

摩擦力做的合功是零

很有意思

摩擦力做功了

但是在质心系看

摩擦力的合功是零

这个的条件是什么条件呢

第一个

两个物体的摩擦系数要相同

第二个

两个物体的运动方向要相同

才有这个结果

这是这个结果

既然这个是零了

我们就说

在这个整个过程里面

E'不变

就是在质心系看

它的机械能的数值不变

但是我们不说它机械能守恒

我们说它数值不变

从开始到原长过程

我们要求原长的时候

它的相对速度

所以从开始到原长过程

它的E'相同

所以这是到原长情况下

这是两个动能

加上势能是零

原长的时候势能是零

然后开始的时候

两个的动能是零

它是势能是这么大

然后又利用什么呢

利用它的零动量系

两个速度有这个关系

代进去就把v1'解出来了

有了v1'就可以把v2'解出来

于是你要求的是v2减v1

就等于v2'减v1'

因为质心系是平动的

所以在绝对参考系看两个速度之差

就等于质心系看两个速度之差

把v2'也求出来v1'也求出来了

就可以把它的差值求出来

所以最后就是这个结果

那么最大伸长

最大伸长仍然是h

因为什么呢

我们知道

它的机械能的数值不变

而到了最大伸长的时候

仍然是v1'等于v2'

于是还是伸长是h

我们刚才计算这个比较复杂

如果我们知道了后面

我们给大家介绍的

两体方法的时候

有那公式的话就要简单的多

两体方法给出了质心系的

动能的一个公式

质心系动能等于多少呢

大家看

非常简单

μv'^2/2

那么在它伸长到原长的时候

这动能就应该等于它的

总的机械能

所以等于它

于是马上就把v'求出来了

那么这里大家注意

这个μ

可不是咱们前边那个摩擦系数

这个μ是什么呢

是叫折合质量

它等于m1乘以m2

除以m1+m2

于是这个v'

是一个质点不动

另一个质点相对它的速度

就是两个物体之间的速度差

所以v'就是速度差

大家看把这往里一代

非常简单结果就出来了

所以如果知道的话

有两体方法来计算的话

这个关系式非常简单

好 我们就说到这里