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Video课程教案、知识点、字幕

我们再看一个问题

质点m沿x轴做直线运动

受的力是Fx

投影是F0

F0是常数

e负的 t除以τ

τ也是个常数

初始条件是x0等于0

t等于0的时候x等于0

t等于0的时候v等于0

求t时刻的vx

和t时刻的位置

我们来讨论对m

在x方向投影 max

质量乘以加速度

等于它受的力Fx

于是我们就得到了ax

ax等于F0e-t除以τ除以m

我们把F0除以m计作a0

就等于a0e-t除以τ

有了加速度

那么剩下的问题

就是运动学问题

就是已知加速度

求速度和位置

所以下面就是这样计算

它的速度

就是加速度的定积分

结果得这个结果

当t趋于无穷大的时候

速度趋于一个常数a0τ

这样的话就把速度求出来了

位置同样积分

位置x

等于是vx的定积分

那么积分结果

就是这个结果

当你t趋于无穷大的时候

x趋于无穷大

这样的话这道题就这么解

其实就是求一下加速度

再看一个例子

在光滑的水平面上

有一个圆管

以ω匀角速转动

其中有一个质点m

对于m来说

初始的情况下t等于0的时候

它的位置

它到原点的距离是r0

T等于0的时候

它距离r0

T等于0的时候

它的r的导数

就是沿着这个径向的

r的导数是0

这是它的初始条件

求这个质点在r处

是它到它的距离为r处的时候

它的质点的速度和加速度

这样一个问题

那么咱们看如何处理

首先选平面极坐标系

对m我列方程

径向

径向的时候

因为是光滑的圆管

所以对m在径向上没有力

径向力是0

径向力是0

那么是不是r两点就是0呢

就是r对时间的二阶导数是0呢

如果r对时间的二阶导数是0

那么r一点就是常数

t等于0的时候r一点是0

也就是说

如果解释这个解的话

那么它怎么转

它到它的距离都保持r0

这显然不对

我们从我们常识就知道

一个圆管转动起来

那个质点会甩出去

用我们俗话说会甩出去

所以这结果肯定是不对的

错在哪儿了呢

错在这里

我们说径向力是0

那么谁是0

推导出径向的加速度是0

可这平面极坐标系的径向加速度

可不是r两点

是这r两点减去rθ一点的平方

所以这个是0

恰恰说明r两点不是0

那么也就是说

r两点等于rω平方

也就是rω平方等于r两点

r两点是dr一点对dt求导

就是dr一点/dt

我们还是换元

把这个dt换成谁呢

换成dr

dr一点对dr求导

然后就是dr除以dt

dr除以dt就是r一点

于是把这个r除过去

把这乘过来

然后就是分离变量

就是r一点dr一点

0到r一点的积分

等于这是rω平方

对dr的积分

从r0积到r

结果那就是r一点

r一点就是径向的速率

等于多少呢

等于ωr平方减去r0平方的开方

于是我们就把

径向的这个速度

求出来了

速度分量求出来了

那么横向速度是多少呢

横向速度就是ω乘以r

这是横向速度

于是速度就得到了

这里要说明一下

你把速度的分量都求出来

这个速度就完全确定了

不必再去求它的

速度的模了

再看加速度

既然径向的力是０

于是径向加速度

刚刚说了是０

横向加速度等于多少呢

横向加速度等于二倍的r一点ω

因为什么呢

因为是这个

这样的话r一点ω

就把这个r一点代进来

就得这个结果

这是横向的加速度

结果就是这个结果

我们再来看

矢量的方向的处理

还是投影的符号问题

列微分方程的时候

我们这个矢量变量

一般取作投影

这样的话

写成投影的微分方程

这有什么好处呢

微分方程写成投影以后

就可以适用于

比较普遍的情况

咱们看一个例子

m以v0竖直上抛

那么矢量方程就是m（dv/dt）

等于受的重力

加上谁呢

加上阻力

就是空气阻力

y向投影

我把速率投影到y方向

用脚标来写上

表示是投影

然后力也写上脚标

也是投影

这样的话

就适合于上下的情况

比如说我这个力

是跟速度成正比的

于是fy等于-kvy

那么这样的话

上抛下抛都适用

所以一般我们列微分方程的时候

都用的是带脚标的

也就是投影

这是我们一般的规则

好这部分就讲到这儿

力学课程列表：

微积分简介

-一.导数与微分

-二. 积分

绪论

-绪论

Ch1.质点运动学

-§1 矢量简介

-Ch1.质点运动学--习题

-§2质点运动学

-§3 相对运动-参考系变换

-习题

--习题

Ch2. 质点动力学

-§1牛顿力学.力

-§2万有引力定律

-习题--作业

-§3 牛顿力学应用

-§4.非惯性系.惯性力(上)

-习题

--习题

-§4.非惯性系.惯性力(下)

-习题

--习题

Ch3.动量

-§1动量.质点动量定理

-§2质点系动量定理

-习题

-§3质心和质心运动方程

Ch4.功和能

-§1动能.功.动能定理

-Ch4.功和能--习题

-§2保守内力.势能

-§3机械能定理.机械能守恒

-习题

--习题

-§4自由碰撞

Ch5.角动量

-§1质点角动量.质点角动量定理

-习题--作业

-§2质点系角动量定理

-习题

--习题

-§3万有引力场中质点运动

-§4.刚体 (上)

-习题

--习题

-§4.刚体 (下)

-习题

--习题

Ch6.连续介质力学

-§1应力应变

-§2.固体形变和流体静力学(上)

-§2.固体形变和流体静力学(下)

-Ch6.连续介质力学--习题

-§3理想流体动力学(上)

-习题

--习题

-§3理想流体动力学(下)

-§4粘滞流体动力学(上)

-习题

--习题

-§4粘滞流体动力学(下)

-§5流体阻力(上)

-习题

--习题

-§5流体阻力(下)

Ch7. 振动和波

-§1自由振动.简谐振动

-Ch7. 振动和波--习题

-§2阻尼和受迫振动

-§3简谐振动合成(上)

-习题

--作业

-§3简谐振动合成(下)

-§4简谐波

-习题

--作业

-§5波动方程.波速

-习题

--习题

-§6衍射反射折射多普勒效应

-§7简谐波迭加.非谐波传播

-习题

--习题

-§8驻波

-习题

--习题

Ch8.狭义相对论

-§1 基本原理

-§2 L氏坐标变换.速度变换(上)

-习题--作业

-§2 L氏坐标变换.速度变换(下)

-习题

--习题

-§3 相对论动力学基础

-习题

--习题

-§4 质量.动量.能量.力相对论变换;不变量

-习题

--习题

Ch9.广义相对论

-§1.基本原理

-§2史瓦西场中时间与空间(上)

-§2史瓦西场中时间与空间(下)

-§3大爆炸宇宙学简介

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