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Video课程教案、知识点、字幕

我们现在讨论

最简单的转动的非惯性系

就是定轴

匀角速度转动的非惯性系

在这个非惯性系里边

惯性力是惯性离心力

跟科里奥利力

我们最简单的

转动的非惯性系

还是S系惯性系用Oxyz表示

S撇系转动的非惯性系

用O撇x撇y撇z撇表示

大家看它两个同轴

所以我们把它原点写在一起

然后呢

这个是静坐标系

惯性系

这个非惯性系

绕着这个轴

以ω匀角速度转动

看看在这个非惯性系里边的

惯性力ω

常数

r等于r撇

就是两个参考系里边的

矢径是相同的

然后ao撇等于0

所以由相对运动关系

那么ai就是惯性力加速度

就等于牵连加速度

加上科氏加速度

牵连加速度只有一项

就是ω×(ω×r)

然后科氏加速度

是二倍的ω×v撇

那么惯性力就是两项

它是-mai

于是就是-mω×(ω×r)

然后再加上二倍的ω×v撇

所以出来两项

那么在这个图上我们看ω

是这个方向

ω×r是这个方向

ω再×它是这个方向

而且它互相垂直

所以大小是ω平方r

方向正好跟径向方向相反

那么所以这有个负号

前面有个负号

所以结果就是这个结果

就是×完以后是-ω平方r

那么ω×v撇我们还不变

还是这结果

这样的话

这个力代进去以后

变成正的mω平方r

然后减去2mω×v撇

前面这项

我们叫惯性离心力

这个就是科氏力

这个情况的话

我们是在xy平面上

可我们一般情况下是立体的

为了在立体情况下

描述惯性力

我们选择合适的参考系

就不是平面极坐标系了

选择一个什么呢

柱坐标系

大家看

这就是柱坐标系

柱坐标系这是原点

然后这是直角坐标系xyz

柱坐标系是这么定的

这是矢径r 这是P点

从P点向xyz做投影

这个矢量

这就是可以写成矢量

也就是这个矢量

我们用ξ表示

这就是径向

然后这角是Φ角

跟这条线垂直

这个方向

就是Φ的单位方向

所以大家看

一个是ξ是径向

一个是Φ这方向横向

所以就相当于

一个平面极坐标系

两个单位矢量

一个是径向

一个是横向

然后再加上一个谁呢

z的方向

所以还是正交坐标系

但是变成三维的了

我们从这个图上看也行

它这个跟这个平行

所以这个就是径向ξ

单位矢量

这个跟这个面垂直

这是Φ单位矢量

还有一个z单位矢量

所以它还是正交的

直角坐标系

但是三维的

一个是ξ

一个是Φ

一个是z

三个参量

三个单位矢量

这个大家注意

一般我们在数学上

柱坐标系用的是ρ Φ z

这里边为了避免混淆

所以我这里特意把这ρ

改成ξ

平面极坐标系的时候

这里用的是θ

我现在把θ换成Φ

这是我们最常用的表示法

所以它的三个参量

是ξ Φ z

三个单位矢

径向单位矢

横向单位矢

跟z向单位矢

这样建立一个柱坐标系

柱坐标系里面

大家看

我ω×r

大家看这图

我的矢径等于这个矢量

这个矢量是z

乘以z的单位矢量

这个是径向的矢量ξ

矢量

它等于它加它

于是ω×它

等于ω×它加上ω×它ω

大家看

跟它方向是一致的

这个乘积是0

所以ω×r等于ω乘ξ

所以ω×r等于ω乘ξ

大家看ω这个方向ξ

这个方向一×

正好是横向对吧ω

再一×就反径向

又变成这个方向了

所以最后结果

ω×(ω×r)

等于-ω平方ξ

大家注意这可是矢量

所以×完以后

是ω平方乘以这个矢量

这个矢量是这个方向

这就是我们结果

所以这样的话

表示的惯性离心力

就非常简单了

所以这个惯性力加速度

就等于-ω平方ξ

加上二倍的ω×v撇

加上科氏加速度

于是惯性力

就等于惯性离心力

mω平方ξ是径向向外的

加上它的科氏力

科氏力大家注意有个负号

科氏力等于-2mω×v撇

所以在这定轴匀角速度转动的

非惯性系里面

惯性力

一个是惯性离心力

一个是科氏力

惯性离心力

正好是跟径向相反

我们先看惯性离心力

我们把它写作F离

指的是惯性离心力

mω平方ξ

我们看一个例子

大家看

这是匀角速度转动的

一个光滑的水平圆盘上

中心有个

中心引出来一根细线

系着一个质点小球

小球相对圆盘是静止的

就是它小球相对圆盘静止

它的质量是m

绳长是r

分析一下小球的运动

让你分析一下小球运动

这样的话

就要看你选的参考系了

所以先是对象就是m

在S参照系

S参照系就是地面参考系看

地面参考系是惯性系

小球做着匀速率的圆周运动

是什么力使得做这

匀速率圆周运动呢

是绳子的张力T

从法向上看

绳子张力等于ma

等于mω平方r

这是在地面参考系看

这个小球做着

匀速率的圆周运动

所以它受到的是一个向心力

绳子的张力

我们再看换S撇系

S撇系是谁呢

把这个圆盘作为S撇系

于是它就一个匀角速转动的

这个非惯性系

在这个非惯性系里

小球静止不动

静止不动

它就没有科氏力

所以它只受惯性离心力

所以它的受力是平衡的

受力平衡

我们看受什么力

除了重力跟支撑力之外

在径向上

它受到一个绳子的张力-T

因为我们径向是向外为正

所以张力是-T

再加上惯性离心力

这两个力合起来达到平衡

一定是0

所以张力等于惯性离心力

等于mω平方r

这就是我们的结果

所以同样的小球运动

在不同参考系来分析

是不一样的

常常听人说

为什么小球

可以在圆盘上保持静止呢

是因为绳子的张力

被惯性离心力抵消了

我们说

这种说法完全错误

为什么呢

因为你说

它这个惯性离心力

抵消了绳子的张力

你没有指明参考系

那就是选地球作参考系

地球作参考系

地球是惯性系

惯性系里哪来惯性力呢

对不对

所以这种说法完全错误

只有在非惯性系里面

才有惯性离心力的概念

所以一定要注意

你要是选择的是惯性系

绝对没有惯性力

只有在非惯性系里面

才有惯性力

我们再来看一个例子

刚才我们讨论过

这是一个光滑的水平面

上边有一个光滑的圆管

绕着O点做匀角速度转动

而且里面有一个质点m

m它的初始条件

T等于零的时候

它到中心距离是r0

T等于0的时候

它的r一点是0

讨论质点

相对于圆管的运动

这次讨论呢

用水平圆管为S撇系

是非惯性系来讨论

因为它让你讨论的是

相对圆管的运动

所以我们把圆管

选作参考系

它是个非惯性系

那么径向的合力

是惯性离心力

因为真实力是０

惯性离心力就是mω平方r

等于质量乘以相对圆管的

径向的加速度

大家注意

相对圆管的径向加速度

它可不是我们前面写的那个

平面极坐标的径向加速度

是在圆管参考系

看到的径向加速度

径向加速度

一定就是r一点的时间导数

所以就是r两点

所以这个就直接是这结果

于是由这个就可以得到

相对的径向速率

就是r一点

就是这个结果

横向来看

在这个圆管参考系看

横向速度是0

所以横向的相对速度是0

所以大家注意

在圆管参考系看

径向加速度

可不是平面极坐标系的加速度了

它就是r的两点

径向的速率就是r一点

横向的速率是0

所以我虽然写的是vθ横向

但是不是直角坐标系那个

vr和vθ

它是在圆管参考系看到的结果

那么在圆管参考系看

横向速度是0

所以它就是0

这就是我们讨论的

匀角速度转动的

定轴转动的非惯性系

里边的惯性离心力

那么下面我们讨论

在这个非惯性力里边的

科里奥利力

科里奥利力

就等于-2mω×v撇

它的特点与角加速度无关

来自科氏加速度

这个科氏力

是跟ω和v撇垂直的

也就是说

跟非惯性系里的速度方向垂直

所以在非惯性系里面

科氏力永远不做功

而在这个ω

就角速度小于小于1的时候

就很小的时候

可能科氏力大于惯性离心力

因为什么呢

因为惯性离心力

是跟ω平方成正比

而科氏力是跟ω成正比

所以有可能

科氏力大于惯性离心力

我们现在讨论一个问题

还是咱们刚才讨论的

水平平面上

一个光滑的圆管

绕着圆心做一个圆周运动

让你求什么呢

让你求圆管侧壁对m的压力

那么我们现在

还选择圆管

作为什么呢

作为参考系

还是一个非惯性系

现在这个质点

相对圆管是有运动的

这一运动是径向运动

所以它有科氏力

在这圆管参考系看

质点它没有横向运动

因此它的横向加速度是0

所以在横向方向上

它的力应该平衡

它横向受力多少呢

一个真实力N

我选择这个为正方向

这个就是器壁

圆管壁对这质点的正压力N

这是正方向

然后

这个质点是径向向外运动

所以它的相对速度是向外的

ω这个方向一×

是这个方向

就是ω×v撇是这个方向

但是呢

科氏力

是跟这个叉积方向相反

所以它的科氏力

是这个方向

是负的

所以就是-2mωv撇

合起来是0

于是就把正压力求出来

正压力就等于科氏力

就等于这个结果

这样的话

我们就讨论了科氏力

这是我们对定轴转动的

非惯性系里边的

惯性离心力和科氏力

做的一个初步的讨论

力学课程列表：

微积分简介

-一.导数与微分

-二. 积分

绪论

-绪论

Ch1.质点运动学

-§1 矢量简介

-Ch1.质点运动学--习题

-§2质点运动学

-§3 相对运动-参考系变换

-习题

--习题

Ch2. 质点动力学

-§1牛顿力学.力

-§2万有引力定律

-习题--作业

-§3 牛顿力学应用

-§4.非惯性系.惯性力(上)

-习题

--习题

-§4.非惯性系.惯性力(下)

-习题

--习题

Ch3.动量

-§1动量.质点动量定理

-§2质点系动量定理

-习题

-§3质心和质心运动方程

Ch4.功和能

-§1动能.功.动能定理

-Ch4.功和能--习题

-§2保守内力.势能

-§3机械能定理.机械能守恒

-习题

--习题

-§4自由碰撞

Ch5.角动量

-§1质点角动量.质点角动量定理

-习题--作业

-§2质点系角动量定理

-习题

--习题

-§3万有引力场中质点运动

-§4.刚体 (上)

-习题

--习题

-§4.刚体 (下)

-习题

--习题

Ch6.连续介质力学

-§1应力应变

-§2.固体形变和流体静力学(上)

-§2.固体形变和流体静力学(下)

-Ch6.连续介质力学--习题

-§3理想流体动力学(上)

-习题

--习题

-§3理想流体动力学(下)

-§4粘滞流体动力学(上)

-习题

--习题

-§4粘滞流体动力学(下)

-§5流体阻力(上)

-习题

--习题

-§5流体阻力(下)

Ch7. 振动和波

-§1自由振动.简谐振动

-Ch7. 振动和波--习题

-§2阻尼和受迫振动

-§3简谐振动合成(上)

-习题

--作业

-§3简谐振动合成(下)

-§4简谐波

-习题

--作业

-§5波动方程.波速

-习题

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-§6衍射反射折射多普勒效应

-§7简谐波迭加.非谐波传播

-习题

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-§8驻波

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Ch8.狭义相对论

-§1 基本原理

-§2 L氏坐标变换.速度变换(上)

-习题--作业

-§2 L氏坐标变换.速度变换(下)

-习题

--习题

-§3 相对论动力学基础

-习题

--习题

-§4 质量.动量.能量.力相对论变换;不变量

-习题

--习题

Ch9.广义相对论

-§1.基本原理

-§2史瓦西场中时间与空间(上)

-§2史瓦西场中时间与空间(下)

-§3大爆炸宇宙学简介

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