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下面我们就说明一下

宇宙的历史和演化

按大爆炸宇宙学

宇宙诞生于起点的爆炸

取这个时候的时间

作为t等于零

宇宙时的t等于零

在t小于负的44秒的时候

在这个时间范围里边

广义相对论都不成立

因为它有量子效应

所以真正能用

广义相对论讨论的

是t大于10的负44次方秒

以后的过程

所以我们讨论那个过程

以前的过程我们不讨论

宇宙的早期历史

辐射为主的时期

在大于这个时间里面

在一段时间里面

这个物质

都是相对论性的物质

是辐射物质

所以我们称之为

辐射为主的时期

这个时间大概是

10的负44次方秒

到10的12次方秒

10的12次方秒

约等于1万年

就从这个时间

到1万年这个时间

它都是辐射为主的时间

那么

宇宙从真空态演变而来

在演变过程中

真空相变起了决定性作用

在这个时刻

发生了超统一相变

出现了时间和空间

在这之前没有时间空间

它因为超统一的相变

才发生了时间和空间

在t等于10的负36次方秒的时候

发生了大统一相变

那么相变中放出的能量

转变为辐射和粒子

这个粒子包括夸克

轻子和场量子

于是这就是物质的起源

就从这儿开始

物质才出现了

那么电磁作用

和弱相互作用没有分开

就在这一时刻发生这个相变

但是

在这一时刻

它没有马上发生相变

所以它还要先经历一个

10的负32次方秒的暴胀

暴胀的时候

使得尺度因子

增大了43个量级

直到温度等于10的20次方K的时候

暴胀结束

然后才开始大统一相变

大统一相变之后

那么这个转变为辐射粒子

和夸克等等出现了物质

这是大统一相变

t等于10的负10次方秒

出现了弱相互作用

和电磁相互作用

那时候才出现了

弱相互作用

和电磁相互作用

t等于10的负6次方秒的时候

出现了强子

所以这就是

随着时间怎么样演变

这就是大爆炸宇宙学的

演变的描述

到了t等于10的12次方秒

也就是1万年的时候

中性原子形成

中性原子形成

从此宇宙进入了什么呢

进入了物质为主的时期

原来物质都是次要的

主要是辐射性的物质

相对论的物质

从现在呢

进入到了物质为主的时期

下面呢

我们看一下物质为主的时期

首先推导一下

宇宙动力学方程

就是物质为主时期

我们就可以推导动力学方程了

用什么推导呢

大家都想的出来

我们用牛顿力学推导

我们来看

如何用牛顿理论

来推导宇宙的动力学方程

用牛顿理论

那么空间要假设为平直的

距离是真实距离

那么因为它是近似的

所以只有在比较小的尺度

比如说太阳系

银河系等等这个范围

是可以近似成立的

在这样的范围内

真实距离约等于r

就是坐标距离

坐标距离

等于特定的坐标

乘以它的尺度因子

我们要求的

就是关于尺度因子的

微分方程

现在讨论一个质量密度为ρ的

均匀引力场

我们以前讨论过

这样一个均匀引力场里面

是在引力场里面

均匀物质里边

它的这个引力场的场强

等于负的4πGρr矢量除以3

这是我们以前讨论过

引力场内部的引力场强

大家看这是这质元

质元它现在处于r处

它的质元的质量是m

这是一个均匀的一个引力场

那么这个地方的场强

就是这么大

这地方的场强

它现在以速度v向外运动

径向运动

那么我们来看

对r处的质元m

径向的列出它的微分方程来

就是质量乘以它的加速度

等于它受到的引力

引力就等于质量

乘以引力场强

这就是牛顿理论

把m约掉

于是把这个g代进去

于是r两点

就等于负4πGρr/3

然后把这个r等于uR

代到里面去

大家注意

这是约化坐标

对于这个确定的质点来说

它是常数

所以呢

这个可以提到外面来

结果就变成了对R的导数

于是得到了R两点

等于负4πGρr/3

这就是宇宙动力学方程

我们得到了宇宙动力学方程

这是一个宇宙尺度因子的

一个微分方程

那么它随着时间的变化

就体现了宇宙的变化

所以这就是

宇宙的动力学方程

那么

因为整个的变化是均匀的

膨胀也是均匀的

所以质元m的坐标r

也是球体半径不断增加

但球体内的质元

不会超过这个m质元的

因为大家胀大的比例是一样的

所以这个球体内的质元

一定总是跟着这个质元的

而球体外的质元也不会进去

因此运动过程中

球体的质量

咱们看这个半径为r的

球体的质量

和分布的均匀性都不改变

就是总质量也不变

分布均匀性也不变

这样话

球体的总质量

等于三分之四πρr的立方

也等于把这r用uR代进去

等于三分之四πρu的立方

R的立方

应该等于常数

这里边u 4π 3都是常数

于是ρ乘以R的立方

应该是常数

我们把它ρ乘以R的立方

记作常数K

于是我们来看

这个R的两次导数

就可以写成dR一点除以dt

然后换元

dR一点除以dR

乘以dR除以dt

dR除以dt就是R一点

所以R两点等于R一点

乘以dR一点除以dr

我们再来看这个

把这里边的ρR换成K

于是就变成了

3R方分之4πGK

然后把这个代进去的时候

把dR乘过来

于是就变成了

R一点dR一点

加上4πGKdR

除以3R方

这个可以写成

d乘以R一点的平方除以2

所以它可以写成

d乘以这个函数

然后这个R方

可以写成负的

R分之一的微分

于是就写成了这个微分形式

就把这个

写成这个微分形式

这个微分形式

就等于把这个K再代进来

就是R一点的平方除以2

减去4πGρR的平方除以3

这个应该等于零

就是刚才这个挪过去之后

这边应该等于零

所以它等于零

这里的微分等于零

于是这个就是一个常数

所以我们得到了

由这个动力学方程

得到了这样的一次的积分结果

就是R一点的平方

减去8πGρR平方

除以3等于常数

这就是

这个式子的一次积分的结果

我们这也算是一个

宇宙学的动力学方程

用牛顿理论得到的

物质为主时期的

宇宙动力学方程

和爱因斯坦场方程

推导出来的方程

完全相同

是完全正确的

看起来有点不可思议

因为牛顿理论

只是在小区域

宇观的小区域

然后在速度不快的情况下

才成立

而宇宙

是一个大的非常大的区域

而在很大的范围内

这一些个星系的退行速度

甚至接近光速

所以

是用牛顿理论推导出

宇宙动力学方程不可思议

其实

这正是什么呢

正体现了宇宙学原理

因为什么呢

因为牛顿理论

可以推导一个小区域的运动

但是小区域运动

跟宇宙的运动

是密切相关的

其中最主要

就体现在哪儿呢

体现在一个宇宙尺度因子上

那么宇宙尺度因子

将整体运动

和局部运动联系起来了

于是

这个牛顿理论中

表示的质点运动

就体现了宇宙的整体运动

所以正是在牛顿理论里面

我们把宇宙的尺度因子加进去

就看出了整体的运动

所以这正是

体现了宇宙学原理

下面我们讨论一下

说明一下宇宙的前景

牛顿理论

不能得到积分常数

因为它只是小区域的

真正的积分常数

就咱们刚才得到的

宇宙动力学方程的

一次积分的积分常数

要通过广义相对论得到

这积分常数

等于负的k乘以c方

k是符号因子

也就是说

R一点的平方

减去8πGρR的平方除以3

刚才我们说等于常数

常数是多少呢

广义相对论给出来了

等于负的kc方

我们就用这个式子来讨论一下

于是R一点

就等于这个的开方

这个开方

可以简化写成这个形式

其中k等于0正负1

为符号因子ρ

R的立方等于常数K

等于ρ0R0的立方

Rm等于8πGρ0R0的立方

除以3c方

K等于1的时候

必须R小于Rm

u也有上限

于是宇宙有限

这时候称为闭宇宙

K等于0

负1的时候

R u是无限制

于是宇宙无限

称为平宇宙 开宇宙

令当今的

宇宙的临界质量密度为ρc

ρc等于这个值

这是我们定义的

那么记

我们当今的宇宙的

实际质量密度为ρ0

这0都表示当前的时刻的

宇宙时的质量密度

如果ρ0

就是我实际的质量密度

比临界质量密度大

于是k等于正1

这是正曲率

宇宙是有限的

叫闭宇宙

如果ρ0等于ρc

k等于零

这时候是零曲率

宇宙是无限的

是平宇宙

因为曲率是零

如果ρ0小于ρc

k等于负1

是负曲率

宇宙无限是开宇宙

大家看

这就是我们的三种可能性

这个是时间

这个是宇宙的尺度因子

当我k等于正1的时候

这时候

我这个尺度因子

随着时间达到最大值Rm

然后开始收缩

收缩又回到了原点

那么这个就是闭宇宙

它膨胀然后又收缩

当k等于零的时候

也就是临界的情况下

那么它是一个无限大的延伸

这个是平宇宙

那么k等于负1的时候

也是无限大的延伸

那么叫开宇宙

那么就是三种可能性

我们再看一下宇宙年龄

我们把这个式子里面

然后进行积分

对谁来积分呢

对时间来积分

从dR除以Rm/R-k

对它的平方根来积分

从0积到R0

就是0就是开始的时候

现在的这个尺度因子是R0

从这儿积分到R0

就得到现在的宇宙时

所以对这个来积分

就得到宇宙时

我们来看

我们取η等于ρ0除以ρc

ρ0就是当前的

宇宙的质量密度

ρc就是当前的

临界质量密度

我们把这个比值记作η

那么我们看到

当前的这个宇宙时

跟这比值是有关系的

如果这比值趋于零

那么它就是等于1

这个单位是什么单位呢

是哈勃常数分之一

是当今的哈勃常数分之一

它的倒数正好是时间

所以当η等于零的时候

它正好等于它的倒数

随着这个η的增加

这个值不断减小

所以它的这个当今的年龄

是不断减小的

取H0等于60km每秒兆秒差距

取它等于它

于是当ρ0小于小于ρc的时候

也就是η趋于零的时候

t0等于哈勃常数的倒数

等于167亿年

ρ0等于ρc的时候

η等于t的时候

于是t0等于是2/3H0分之一

等于111亿年

ρ0等于2倍的ρc

就在这儿的时候

那么t0等于0.57H0分之一

等于95亿年

这样的话我们就看到

不同的情况下

我们现在对现当今的

宇宙年龄估计不一样

大家注意

这个结果是个理论推算

其中一个重要因素

就是哈勃常数的值

是一个非常重要的因素

哈勃常数的值

当今哈勃常数值如果变动了

你这个值都要非常变动

所以测量它

是非常重要的

但是它的误差

也是比较大

所以这只能作为一个估计

那么当今的天文观测

现在最古老的

星体的年龄是160亿年

所以宇宙的年龄

应该大于160亿年

当然

这些问题

还需要我们做继续研究

那么

这部分就到此为止

我们的力学课程

也全部结束了