Video在线视频

第四节

质量 动量

能量和力的相对论变换

相对论不变量

闵可夫斯基空间

首先我们讨论

质量 动量 能量

力的相对论变换

质量的相对论变换

我们前边

在讨论相对论质量的时候

已经给出了变换

就是我们那个井号式

这就是从

S参照系的相对论质量

换到S′系的相对论质量

有这个变换关系

这就是相对论质量的正变换

把u换成负u

就得到了它的逆变换

就是从S′系的相对论质量

换到S参照系的相对论质量

这是相对论质量的

参考系的变换

下面讨论

动量的相对论变换

动量是等于

相对论质量乘以速度

我们在S′系的动量P′

等于m′v′

把m′换到S参照系的质量

就把刚才那个式子写出来

就是这个关系式γ(1-uvx/c^2)乘以mv′

我们把前边

讨论相对论速度变换的关系

引进来

相对论速度变换

我们可以写成一个

行矢量的形式

就是S′系的速度v′

等于γ（vx-u）

这是x分量

然后vy vz

然后除以γ（1-uvx/c^2）

这就是从我的S参照系里的速度

变换到S′系的速度

就是这样一个变换关系

把这个式子引进来

我们就发现

这个系数和这个系数约掉了

于是得到一个非常简单的关系

就是S′系的动量P′

等于m乘以γ（vx-u）

这是x分量

然后是vy vz

把m乘进去

那么mvx就是Px

然后m乘u

我们里头不用m

把它换成相对论能量

于是m乘u

就变成了E除以c方

于是Px′就等于γ倍的

（Px-uE/c^2）

这就是x的分量变换

那么m乘以vy

就是Py

所以非常简单

Py′就等于Py

Pz′等于Pz

这就是相对论的动量变换

大家一看非常眼熟

很像我们相对论的坐标变换

这里头有个E

于是这个变换不是单独的

还和E掺在一起

形成一个四维的变化

所以还要把E的变换写出来

那么E′等于m′c方

我们把m′的变换写进来

就得到了能量的变换

E′等于γ（E-uPx）

这样的话

我们这就全了

这就是相对论的动量变换

其中包括了

相对论的能量变换

逆变换

把u换成负u

就得到了逆变换

从S′系变到了S系的动量

以及能量

就是这样的一个变换

这就是动量 能量的

相对论变换

我们再看力的相对论变换

力是等于动量的导数

动量对时间的导数

所以

我们把动量的变换取微分

分别取微分

再把时间变换也取微分

那么Fx′

就等于dPx′/dt′

就是把这个分别的

去除以这个dt′

就得到了它的

力的相对论变换

能量这要用到E

E对t的导数就等于F点v

把这个关系式也代进去

于是我们就得到了

力的变换

这是x分量

Fx′等于Fx-u

大家注意这是F点v

除以c方

就把这里边的E对时间的导数

换成F点v

分母是1-uvx/c^2

我们现在得到是y分量

Fy′等于Fy/γ（1-uvx/c^2）

类似得到了z分量

是这个关系式

我们一看这也很熟悉

很像什么呢

很像是速度的相对论变换

所以它都有些类似

逆变换

把u换成负u就是逆变换

从S′系的力

换到了S参照系的力

也是三个分量

这里边也用到了

F′点上v′

等于dE′/dt′

就是用的这个关系式

下面我们讨论一下

光学多普勒效应

我们前边特意说

我们讨论的多普勒效应

是声学的多普勒效应

换句话说

它如果是光学多普勒效应

它跟它

跟声学多普勒效应

是有所不同的

所以现在我们讨论

光学多普勒现象

接收器与光源相对运动

接收器接收到的频率

跟光源的发光频率

也就是固有频率ν0不同

这叫光学多普勒效应

与声学多普勒效应

不同的地方在于

光波不需要介质

不像声波必须需要介质

因此这个光源运动

跟接收器运动是等价的

而光源接收器的速度

可以很大

并且光学测量的精度非常高

因此在光学多普勒效应里面

相对论效应不能忽略

而在声学里面

相对论效应是可以忽略的

所以

我们注意

在光学的多普勒效应里面

我们要考虑

这个相对论效应

而如果你考虑了

相对论效应之后

你选择的参考系

必须是接收器做参考系

因为你如果选

光源做参考系的时候

那么跟接收器参考系

测量到的接收器的频率

是不一样的

所以我们必须选

接收器参考系来测量

接收器测量到的光的频率

现在我们假设

光源固定在S′系上

所以我现在选

接收器做参考系

就是接收器是固定不动的

那么光源是固定在S′系上

于是

它就相对S参照系

是匀速直线运动

它在S′系里面

发射的光子的频率是ν0

能量我们利用一下

量子物理的关系

就是光波的能量

等于普朗特常数

乘以光波的频率

这是量子物理的结果

所以我们利用这个关系

得到了在S′系里面

光源发射的光的能量得到了

那么我们如何去找到

频率之间关系呢

我们就用这个关系

我们知道能量和频率的关系

我们又知道

能量的相对论变换

于是

利用能量的相对论变换

得到关于频率的相对论变换

所以我们的基本思路

就是这个思路

那么接收器大家看

这就是光源

是固定在S′系里面

所以它随着S′系

以u向这方向匀速直线运动

接收器固定在哪儿呢

S参照系里面

所以我讨论它的频率

应该是在S参照系里讨论

它固定在S参照系里不动

于是

它接收到了

光源发出的一个光线

或者一个光子

它接收到的时候

它的这个发射的光子的光线

和光源的运动方向呈θ角

我们看这样的话

它接收的频率

是什么关系

在S参照系

光源是以u来运动

那么我接收的光子频率是ν

于是能量等于hν

我用相对论变换去求

S′系的光子能量

它应该等于

S参照系的光子能量

减去uPx再乘以γ倍

S参照系的光子能量等于hν

我们现在看

这Px是多少

因为光子静止质量是零

所以它的动量等于E/c

就等于hν/c

Px等于它动量的大小

乘以cosθ

所以就等于hνcosθ/c

把这个Px代进去

这样的话

它就等于什么呢

等于h除以ν′

就是S′系的发光频率ν′

就是ν0

所以它得到这个关系式

由这个关系式把h约掉

把ν提出来

我们就把ν解出来了

于是ν等于ν0/γ（1-ucosθ/c）

也就是把γ写成明确的表达式

就是根号下1-u方比c方

除以1-ucosθ/c

再乘以ν0

这就是我在S参照系

看一个运动光源

发出来的光的频率

就是这么大

注意

你是在接收器参考系来讨论的

所以接收器是不动

这样的话

如果θ等于零

这θ等于零

就是光源迎着接收器来运动

那么这个时候

接收的频率

就比光源的频率要大

这叫蓝移

那么θ等于π的时候

这个光源背着我接收器而动

它是背离着运动

这时候

它的你接收到的光的频率

就比光源的频率要小

这叫红移

如果θ等于二分之π

这一项是零的话

那么它仍然是红移

就是说接收到频率

比ν0还是小的

这叫横向多普勒效应

这是声学多普勒效应没有的

这是

我们讨论了几种特殊情况

看到了光学多普勒效应的

一般结果

跟声学对比一下

我们看

光学的多普勒效应

它就是接收器接收的频率

是这个关系式

就把刚才那关系式写出来

是这个关系式

那么声学的时候

因为我这个光学里面

接收器是不动的

所以你要对应声学

也对应接收器

运动速度为零的情况

于是接收到的频率

等于v除以v-uScosθS乘以νS

νS就是光源发射的频率

这两个一对比

我们发现

光学多普勒效应

考虑了相对论效应

那么它就多出了一项什么呢

在分母上多了一个γ

那么这γ是怎么来的

也就是说

我能不能

用声学多普勒效应讨论的方法

也能得到

光学多普勒效应的结果呢

这两个是同一个问题

关键就在γ是怎么来的

如果你考虑了相对论效应

来讨论声学多普勒效应的话

那么这里就出现了1/γ

为什么呢

就因为

声学公式中的νS

是在哪儿测量的呢

是在接收器参考系测量的

声源的频率

所以我们应该写作νS

是在接收器的参考系来

测量到的

可是真正的

如果你考虑了相对论效应之后

真正的声源发的频率

应该是在声源参考系测量的

是吧

所以你应该是

在声源参考系

测量的才是本征频率

那么你会看到

在声源参考系里测量的

这个周期是原时

因为它是声源它在运动

所以它发出的频率

是同一个地点

发生的两个事件

所以在它的这个周期S′系的周期

应该是原时

那么在接收器的参考系看

就是非原时

所以原时跟非原时差γ倍

这样的话频率正好差1/γ倍

所以这个接收器接收到的

声源的频率

应该是声源的本征频率除以γ

这样的话代进来

就是考虑了

相对论效应的声学公式

它也就是

可以应用到光学里面

所以我们修正一下

声学的讨论方法

考虑到相对论效应

也可以同样得到

光学的多普勒效应的公式