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Video课程教案、知识点、字幕

第三节

质心和质心运动方程

首先讨论质心

质心是质量分布中心

也是质点系运动的代表点

我们知道

如果质点系里边的质点多的话

内力就非常多

因为每两个质点之间

都有一对相互作用力

所以质点系的内力

多而且复杂

那么外力一般比较简单

我们知道

质点系的总动量

是由外力决定的

所以外力决定的

这个质点系的总动量

它变化比较简单

因此我们研究质点系的问题

特别着重总动量

一般是以研究总动量为主

那么总动量虽然很重要

但是它是虚幻的

它只有数值

只有它的矢量

但是没有具体的依附物

比较虚幻

我们研究物理问题

总希望有一个物理图象

希望总动量有个寄托

那么质心就可以作为运动代表点

就可以作为系统总动量的依托

首先讨论质量分布中心c

首先讨论是两个质点

的质量分布中心

大家看这有两个质点

我们定义它的质量分布中心

怎么定义的呢

质量分布中心

在两个质点的连线上

它到这两个质点的距离

跟质量成反比

这是我们的定义

成反比体现了质量分布中心

靠近质量大的物体

所以是比较合理的

这样的话也就是说

它到它的距离是r1′

它到它的距离是r2′

按我们分布中心的定义

r1′除以r2′

等于m2除以m1

也就是m1乘以r1′

等于m2乘以r2′

考虑到这两个矢量的方向

正好方向相反

就可以写成矢量形式

这个矢量的形式

这是关于这两个矢量的

第一个方程

我们现在是什么呢

现在是已知m1和m2的位置

要求出谁呢

求出c的位置

那么c的位置m1 m2的位置

用两个矢径r1 r2代表

要求它的位置

就要求出rc的矢量

那么这是第一个方程

我们还要列出第二个方程来

第二个方程

大家看

从这图上看

rc等于r1减去r1′

等于r2减去r2′

所以又有一个

关于r1 r2的方程

大家看这是关于它的矢量方程

这是一个矢量方程

这是一个矢量方程

两个方程有两个矢量未知数

就可以把这个矢量解出来

我们现在只解出r2′

r2′得这个形式

这样我们就得到了

质量分布中心的位置

它就是两个质点的质量之和

乘以质量分布中心的矢径

等于每个质点的质量乘以矢径的和

这就是我们得到的

两个质点的质量分布中心的公式

那么三个质点怎么办呢

大家看m1 m2 m3

三个质点

我如何来定义它的质量分布中心呢

我是这么定义的

先把这两个质点

找到它的质量分布中心

然后把这个大M

等于这两个质点的质量之和

放在这地方来

就是找到一个等效的大质点

也就是把m1 m2

等效成这么一个大质点

这个大质点的质量

等于这两个质量之和

这个大质点的位置

在它的质量分布中心上

把它等效成大质点

然后再把大质点跟m3

求这两个质点的质量分布中心

这两个质点的质量分布中心c

就是我三个质点的

质量分布中心

所以我们准备这么处理

这样的话

我先把这两个求它的质量分布中心

它是大的rM

于是它的关系式

就是它的质量分布中心的这个矢径

rM

就等于m1+m2乘以它

等于m1乘以它的矢径

加上m2乘以它的矢径

这就是我等效大质点的

位置矢量

下面我把这两个质点

再求它的质量分布中心

这个质量分布中心

就是m1 m2 m3的质量分布中心

于是我还是用刚才那公式

这两个质点的质量分布中心的矢径

乘以它的总质量

等于这个质点的质量

乘以它的矢径

加上这个质点的质量

乘以它的矢径

就是这个关系

我们把刚才那式子代进去

M等于m1+m2

所以就m1+m2+m3

乘以三个质点的质量分布中心的矢径

等于多少呢

这个M乘以rM

等于这两个相加

就等于它加它再加它

所以等于这三个相加

这就是三个质点的质量分布中心

就是三个质点的质量之和

乘以它的质量分布中心的矢径

等于三个质点

每个质点的质量

乘以它的矢径之和

这就是三个质点的情况

这样我们用递推法就可以推出

N个质点的质量分布中心

所以N个质点的时候

仍然是

总质量乘以质量分布中心的矢径

等于谁呢

等于每一个质点的质量

乘以它的矢径之和

所以我们用递推法就得到了

普遍的质量分布中心的公式

这就是质量分布中心

所以我们从这式子可以看到

比如看到这个

rc又等于谁呢

等于每一个质点的质量

乘以它的矢径合起来

再除以总的质量

就相当于

我的质量分布中心的矢径

是谁呢

是各个质点的矢径的平均

但不是普通的平均

普通平均就加起来除以N就可以了

不是普通平均

是每一个质点的矢径乘以质量之后

再除以总质量的平均

这叫什么平均呢

叫以质量m为权重的带权平均值

所以质量分布中心的矢径

是每个质点的矢径

以m为权重的

带权分平均

所以它是很合理的

然后我们看到

这个质量分布中心

同时还是质点系运动的代表点

什么意思呢

我们刚才得到这个结论

就是总质量

乘以质量分布中心的矢径

等于每个质点的质量

乘以它的矢径

两边对t求导

于是这个对t求导

就是这个质量分布中心的速度vc

每一个求导

就是质量乘以它的速度

就是每个质点的质量乘以它的速度

加起来

大家看这就是第i个质点的动量

加起来就是总动量

所以我们看到

一个重要的关系式

什么关系式呢

你把所有质量

集中在质量分布中心上

就集中在c上

于是这个c点这个大质点

它的动量

它质量乘以它的速度不是动量嘛

就是质点系的总动量

也就是质点系动量

等于质量集中在质心上

我们以后说这个

质量分布中心就是质心

质心上的大质点的动量

于是我们虚无缥渺的一个总动量

现在就有依托了

什么依托呢

它就是质心大质点的动量

于是质点系的整体运动

就相当于我的总的动量的变化

就相当于质心大质点的运动

于是我的这个质点系的总动量

就有了代表点

也就是c点

所以c点既是质量分布中心

又是质点系的运动的代表点

我们就把它叫做质心

所以我们就说质心c

质心c处如果集中了

整体的质量的话

叫质心c的大质点

于是这个大质点

就代表了质点系的整体运动

下面我们来确定质心的位置

那么这个总的质量

乘以质心的矢径

等于每个质点的质量

乘以它的矢径之和

于是质心的矢径

就等于每个质点的质量

乘以矢径之和

除以总质量

这个公式是离散型的

就是一个一个质点来求和

离散型的公式

那么有些物体

比如说一个连续的分布的桌子

或者是一个什么连续的物体

要求它的质心的时候

那时候就不是离散型了

那是一个连续分布的一个质点系

这样的话

我们的公式就是这个积分了

就是说在这个物体上

我取一个微元dm

然后dm的矢径是r

于是r乘dm的积分除以总的质量

就是它质心的矢径

所以这是离散型的

矢径的计算公式

这是连续型的

质心的矢径的计算公式

写成解析式

看这个

那么就是写成三个分量

这都是求和

这是离散型的

连续型的还是三个分量

质心的坐标的三个分量

但是是三个积分

也就是这个x坐标乘以dm

这是y坐标乘dm

这是z坐标乘dm

就是这样的积分

积分之后再除以总的质量

就得到了质心的位置

质心的性质

我们刚才看到

计算质心的位置的时候

质心的矢径

以及它的解析式的时候

里面都出现了坐标

和坐标系的形式

我们一般会认为

说是质心的坐标

质心的位置

是不是跟坐标系有关呢

不同的坐标系

是不是得到的结果不一样呢

不是这样的

实际上质心的位置

完全由质点系的质点的分布决定

跟你坐标系无关

我不过借助这坐标系

来求出它的质心坐标而已

因为我们看到

质心是质量分布中心

你质量分布有了

它的分布中心就完全确定的

你采用任何坐标系计算

结果肯定是相同的

我们看刚才又有一个关系式

就是质心大质点的动量

也就是说

总质量乘以质心的速度

就是质心大质点的动量

就是质点系的总动量

这是我们刚才已经得到的结论

然后如果一个图形是均匀分布的

质量均匀分布的

于是它的质心

就在它的图形中心

比如说圆就在圆心上

三角形就是重心

质量分布如果有对称面

或者对称轴的话

那么质心一定在对称面

或者对称轴上

如果这个图形

这个物质分布

有两个对称元素相交的话

那么质心一定在它的交点上

或者交线上

比如说有两个对称平面

一个这样对称平面

一个这样对称平面

它有一条交线

那么质心一定在这对称平面的交线上

如果有两个对称轴

有交点

那么质心一定在交点上

我们来看

刚才说三角形的质心在重心上

我们来说明一下

大家看

这是一个三角形

三角形我们把这三角形分成

一个一个的水平的跟底线平行的

一个一个的条状的面积

那么我们知道

这个条状的小面积上

质心一定在这中点

于是整个的质心

一定在各个条状的中点的联线上

所以质心一定在中线上

于是质心

一定是三角形的重心

我们看一个例子

一个长度为l的一个细杆

如果我建立坐标

把这个端点取作原点

这边是x轴

于是这个杆它的线密度

就是坐标的函数λ

等于cx²

就是它不是均匀分布的

它的线密度

是跟它的坐标的平方成正比

这样的话

让你求这个细杆的质心坐标xc

因为这杆很细

我们只求它质心的x坐标就可以了

用刚才的解析式

xc等于总质量分之x乘dm的积分

那么dm等于λdx

我在这里头取了x到x+dx

把这段长度叫做dm

dm就等于线密度乘以这个长度

因为在这个范围内

可以近似线密度是常数

就是λ乘以dx

然后前边还有一个x

就是它的乘积

那么总质量就等于

也是进行积分

等于dm的积分

所以就是λ乘dx

把λ代进去

c约掉了

于是上边是x³的积分

下边是x²的积分

这个积分出来一个系数四分之一

这个积分出来是三分之一

所以最后结果3l/4

所以大家看

越往这边密度越大

所以它的总的质心

越靠近这边

这就是我们的质心的计算

力学课程列表：

微积分简介

-一.导数与微分

-二. 积分

绪论

-绪论

Ch1.质点运动学

-§1 矢量简介

-Ch1.质点运动学--习题

-§2质点运动学

-§3 相对运动-参考系变换

-习题

--习题

Ch2. 质点动力学

-§1牛顿力学.力

-§2万有引力定律

-习题--作业

-§3 牛顿力学应用

-§4.非惯性系.惯性力(上)

-习题

--习题

-§4.非惯性系.惯性力(下)

-习题

--习题

Ch3.动量

-§1动量.质点动量定理

-§2质点系动量定理

-习题

-§3质心和质心运动方程

Ch4.功和能

-§1动能.功.动能定理

-Ch4.功和能--习题

-§2保守内力.势能

-§3机械能定理.机械能守恒

-习题

--习题

-§4自由碰撞

Ch5.角动量

-§1质点角动量.质点角动量定理

-习题--作业

-§2质点系角动量定理

-习题

--习题

-§3万有引力场中质点运动

-§4.刚体 (上)

-习题

--习题

-§4.刚体 (下)

-习题

--习题

Ch6.连续介质力学

-§1应力应变

-§2.固体形变和流体静力学(上)

-§2.固体形变和流体静力学(下)

-Ch6.连续介质力学--习题

-§3理想流体动力学(上)

-习题

--习题

-§3理想流体动力学(下)

-§4粘滞流体动力学(上)

-习题

--习题

-§4粘滞流体动力学(下)

-§5流体阻力(上)

-习题

--习题

-§5流体阻力(下)

Ch7. 振动和波

-§1自由振动.简谐振动

-Ch7. 振动和波--习题

-§2阻尼和受迫振动

-§3简谐振动合成(上)

-习题

--作业

-§3简谐振动合成(下)

-§4简谐波

-习题

--作业

-§5波动方程.波速

-习题

--习题

-§6衍射反射折射多普勒效应

-§7简谐波迭加.非谐波传播

-习题

--习题

-§8驻波

-习题

--习题

Ch8.狭义相对论

-§1 基本原理

-§2 L氏坐标变换.速度变换(上)

-习题--作业

-§2 L氏坐标变换.速度变换(下)

-习题

--习题

-§3 相对论动力学基础

-习题

--习题

-§4 质量.动量.能量.力相对论变换;不变量

-习题

--习题

Ch9.广义相对论

-§1.基本原理

-§2史瓦西场中时间与空间(上)

-§2史瓦西场中时间与空间(下)

-§3大爆炸宇宙学简介

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