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我们刚才讲的呢

都是导数和微分

现在我们进入第二个部分

积分

首先我们看一下

不定积分

什么是不定积分呢

我们知道凡是一个运算

一般都有逆运算

加减互为逆运算

乘除互为逆运算

那么求导

它的逆运算就是不定积分

我们首先看原函数的概念

也就是说如果F(x)的导数

等于小f(x)

或者是F(x)的微分

等于f(x)dx的话

那么大F(x)就是小f(x)的

一个原函数

那么不定积分什么意思呢

就是小f(x)的所有原函数

就称之为f(x)的不定积分

写作f(x)dx的一个积分

那么这个是被积函数

这个f(x)dx是被积式

积分式

这是积分符号

有个定理

如果f(x)

有一个原函数F(x)的话

那么f(x)的所有原函数

都可以写成F(x)

加上一个常数的形式

因此

按刚才的不定积分定义

f(x)的不定积分

就等于它的一个原函数+c

c是一个叫积分的常数

比如说我们看

2xdx的积分

我们知道

X的平方求导的话

正好是2x

所以2x的不定积分

就等于它的原函数x平方加上c

积分常数

我们再看e^x的不定积分

e^x的导数就是e^x

所以e^x的不定积分

就是它的一个原函数

加上一个积分常数

我们下面看一下

不定积分的性质

第一个性质

一个不定积分的导数

就等于被积函数

或者一个F(x)导数

再做不定积分

我们知道F(x)的导数乘dx

就是F(x)的微分

F(x)的微分dF

就等于F‘dx

所以F‘dx就等于F的微分

微分之后再积分

就相当于把这两个运算抵消了

就等于F(x)加上积分常数

所以这两个是不定积分和导数的

互为逆运算的一个特点

我们再看

一个常数乘f(x)的不定积分

可以把常数提出来

c一定不等于0

是不等于0的常数

然后两个函数合起来的不定积分

等于谁呢

等于两个函数的不定积分之和

由微分形式的不变性

所以积分公式

就是我这些积分公式

与自变量无关

无论你是xyz等等

无论是中间变量还是自变量

这公式都对

这就是我们的微分形式不变性

在积分公式里面的体现

这是不定积分的性质

下面我们说一下直接积分法

就是积分的公式

那这积分公式从哪来呢

是从微分公式得来

导数公式得来

所以我们的导数公式

大家一定要记住

要背下来

而且还要能熟练应用

那么现在我们看这些积分法

就把导数公式倒过来用

我怎么知道直接的基本积分公式呢

可以用求导来验算

因为我们求导比较熟练

大家看常数k它的不定积分

等于kx+c

我怎么知道它对呢

我就kx求导

它就等于k

所以这个结果是对的

再看这个

x^α dx它的不定积分

等于多少呢

等于α+1分之x^(α+1)

我看对不对呢

就对x^(α+1)求导

x^(α+1)求导的话

等于α+1乘以x^α

正好就是被积函数

所以这样的话就验证了

再看1/x的不定积分

就等于lnx的绝对值+c

e^x的不定积分就等于e^x+c

sin x的不定积分

就等于-cos x+c

cos x的积分等于sin x+c

sec x平方的积分

就等于tan x+c

csc x的平方的积分

等于负的cot x+c

sec x乘以tan x的积分

等于sec x+c

这些都可以从我们的导数公式里

前面的三角函数导数公式里

得到证明

再看这反三角函数

根号下1-x平方分之一的积分

就等于arcsin x+c

大家注意

凡是不定积分

积分变量可不要丢

一丢你就完全错了

因为不定积分是所有原函数

你丢掉了c就是一个原函数

它绝对不是不定积分

所以这个积分变量是不能丢的

1/(1+x^2)的不定积分

就等于arc tan x+c

我们现在做具体的

用这些公式来做一下计算

2-x^(1/2)乘以x的积分

我们就把x乘进去

就是2x-x^(3/2)做积分

这公式没有 怎么办呢

利用它的积分法则

换成对它的积分

减去对它的积分

2x的积分是x的平方

x^(3/2)的积分

等于3/2加上1的倒数

是它的系数

3/2+1是5/2

一翻个是2/5

所以它的系数是2/5

那么x^(3/2)加上1

是x^(5/2)

所以是x^(5/2)

然后再加上积分变量

你怕出错呢

你对这个来求导一下

正好是这个结果

我们再看这个积分

这个积分是x平方分之

x+1乘以x-2

我们先把它乘出来

乘出来以后这就是x平方减x减2

然后除以x平方

就分解成这三项

分别这三项来积分

1的积分是x

1/x的积分是ln|x|

x平方分之1的积分是负的1/x

就得到这个结果

cos(x/2)平方的积分

我们利用一下倍角公式

它就等于这个cos(x/2)平方

就等于(1+cos x)/2

同样把它分解成两项

1的积分是x

cos x的积分是sin x

所以就得到这个结果

但是我们注意到呢

积分是非常不容易

很多很多得不到积分公式

得不到积分公式叫积不出来

所以积分是很难的

像这个tan x平方的积分

直接积分没有

我们把它换成谁呢

换成sec x平方减1

sec x平方是可以积出来的

它是tan x

减1变成减x加c

刚才我说了很难

像这个

这些东西我们都积出来了

但是这个

你看积不出来

因为我有cos x的积分公式

没有cos 2x的积分公式

这个直接积是积不出来的

所以我刚才说

积分是很难的

而且我们对积分的计算呢

要求也不高

只要求基本的计算

但是这样的计算呢

应该说还应该能够积出来

它还是比较简单的

所以下面介绍一些积分的方法

换元积分法

换元积分法有好几种

我们只介绍第一种换元

第一种换元

就取一个中间变量u(x)

本来是g(x)dx的积分

我们把g(x)dx的积分式

换成f(u)du

如果f(u)du是可以积出来的话

我们这换元就成功了

于是本来是g(x)dx的积分

我把它换成了f(u)du

而这个积分有公式

可以积出来

于是这积分够得到了

当然最后还把u换成x

这就是我得到的结果

我们看

刚才我们积不出来的cos 2x

这没有直接的公式可以应用

于是呢

我把2x选作积分的中间变量

u等于2x

那么大家注意

把这个换成u以后

这个也必须要换

整个要换成u的函数

那么u等于2x

du就等于2倍的dx

于是dx=du/2

我把2x换成u

把dx也换成u

就换成了cos u du/2

cos u是可以积出来的

它等于sin u

于是我们就得到结果了

等于(sin u)/2加上积分常数c

但是还没完

要把u等于2x换进去

这才算是一个结果

再看这个

(3x-1)的五次方dx

这是可以积出来的

就是我把(3x-1)的五次方

把它整个展开

但这非常麻烦

所以我现在用一个换元法

就可以很简单

我让3x-1作为u

du=3dx

于是dx=du/3

就把这个积分

换成了u的五次方du/3

u的五次方是可以积出来的

等于u的六次方/6

三六一十八

等于u的六次方/18加上c

把u再换回来

于是积分就胜利结束了

再看这个

这个大家看是e^x平方

dx这显然积不出来

我怎么办呢

我就把x放在微分号后面去

放在微分号后面去以后

它变成了dx平方

但是要除以2

所以换到这里面去

大家注意

我如果这办法要熟练以后

我的u就可以不明写出来了

所以大家看我略去了u

不明写出来

我把x换到微分后面去

变成了dx平方/2

也可以微分一下

dx平方的微分

等于2倍的dx

所以正好等于它

把这个换进去之后

我脑袋里想到

把dx当做u

这就是e^u du

这是可以积出来的

就是e^u就是e^x平方

除以2加上c

所以我做得熟练以后

就可以把u不明写出来

在脑子里计算

大家看类似的

1/x平方sin1/x

一看是积不出来的

积不出来

对吧 积不出来

怎么样呢

这个是不能变的

我把这个x平方放到微分号后面去

x平方放到后面去以后

是负的1/x

负的1/xd(1/x)

等于x平方分之一乘以dx

所以把x平方分之一

换到微分号后面去

变成了负的d(1/x)

这也是1/x这也是1/x

把它当做u

于是就等于sin u du

就等于负的cos u

正好这个负号抵消了

就变成正的cos u

cos 1/x加上c

这是我们的第一类的换元法

我们换元法只介绍这一种

下面再介绍一种积分法

叫分步积分法

分步积分法有个公式

就是u dv这俩都是x的函数

u dv的积分等于谁呢

等于uv减去v du

就把这俩的位置换了

这个是积分变量

这个是在微分号后面去

然后把这俩相乘

减去把它俩对换位置

这就叫分部积分法

它怎么来的呢

是这么来的

我们知道

uv取微分等于u dv

加上v du

于是u dv就等于谁呢

等于d(uv)减去v du

你把这个挪过去

然后两边一取积分

这就是u dv的积分

等于d(uv)的积分

减去v du的积分

我们又知道一个微分在积分

两个是互相就抵消了

所以d(uv)的积分就等于uv

所以就得到了这个公式

所以这个公式是从这来的

这叫分部积分法的公式

我们来看一个例子

xe^xdx这显然积不出来

积不出来什么原因呢

我光是e^x就可以积出来

现在多了一个x

我想办法把这x约掉

就可以积出来了

怎么约呢

就利用一个非常重要的一个性质

e^x的积分等于e^x

e^x的微分也等于e^x

所以我可以把e^x放到微分号后面去

放进来放出去这是都相等的

就是e^xdx就等于de^x

我可以把它放到微分号后面去

利用刚才的公式

这当作u这当作v

于是这个积分等于uv

减去

把这个放到前面去

把x放到后面去

v du大家一看这能积出来了

对不对

于是这个积分就是e^x

于是就xe^x减去e^x加上c

就积出来了

所以这就是一个分步积分法

我们再看这个

ln x dx是没有公式的

它的难处在哪呢

这ln x太讨厌了 对吧

积不出来

怎么办呢

我把这个当做u

把这当做v

需要这个的积分等于uv

就是xln x

减去把x放到前面去

把ln x放到后面来

减去这个

这一看就明白了

因为呢

dln x等于ln x的微分导数

乘以dx

ln x的导数等于多少呢

1/x

这个的导数1/x跟这个就约掉了

所以最后结果变成谁呢

变成了dx

于是这个的积分

就是x

于是就是xln x减去x+c

所以这也是利用了分部积分法

我们再看这个

这个是e^x cos x dx

我们一看到e^x

就想到能不能用分部积分法

于是把e^x放到后面去

用一下分部积分

等于e^x乘以cos x减去

把cos x放到后面去

把e^x放到前面去

就得到这个结果

cos x的微分呢

等于负的sin x怎么样呢dx

所以就等于是

e^xcos x加上

原来是减号

因为这有个负号

变成加上e^x sin x dx

然后我再把这个放进去

再利用一下分步积分

于是再折腾一次以后就是dsin x了

dsin x等于cos xdx

又恢复到了这个结果

所以两次分部积分

又回到这样的形状

前面多了一个这个东西

但是大家注意

原来这是正的 对不对

现在变成负的了

于是它等于它

就变成了这个不定积分的一个方程

于是这俩相加

就是2倍的这个就等于它

所以最后

我们就得到了它的结果

是这个的1/2

于是得到这个结果

这就是分部积分

分部积分法

这些大家看我们说反复曾经强调

积分是非常难的

所以我们真正的要求呢

是最简单最基本的积分的公式

以及最简单的我们给大家提供的

两个积分法

两个积分法特别是分部积分法

又不是很重要

主要是第一类的换元法比较重要

那么我们碰到的

大量的积分怎么办呢

我们是学物理的

不是搞数学的

所以我们要充分利用什么呢

数学手册现成的积分表

所以我们给大家强调一下

看到很多的积分公式积不出来

你就直接查积分表

比如说

我们后面要讲到的

万有引力场里

自由质点的运动轨道方程呢

是dr/dθ

等于r乘以这一大堆的根号

然后除以L

这都是一些参量

我们要想积分它呢

就把它分离变量

把这些都是r的函数除过去

把dθ乘过来

于是就变成了

左边都是r的函数dr

右边是dθ除以L

然后两边再做不定积分

大家看这就是一个不定积分

就是这么样一个复杂函数的积分

我们不要求你去积

怎么样

查积分表

其中a是等于2mE<0

b是等于2GMm平方>0

c=-L平方<0

这就是我的简写的符号

查积分表数学手册264页

含有这个的积分

就把这个公式给你积出来了

积出来结果什么结果

就是这个结果

这个结果

这是abc对吧

这是abc得到的结果

然后这个的积分很简单

dθ的积分就等于θ除以L

所以θ除以L加上c1

积分出来我整理一下

最后就得到这个结果

是一个什么呢

椭圆方程

所以万有引力场里

一个自由质点

它的运动轨迹是个椭圆

那么我们就不去

积分这样复杂的函数

我们充分利用我们现成的积分表