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Video课程教案、知识点、字幕

我们再看第八

理想流体的环量定理

又叫开尔文定理

这个只需要了解一下就行了

我们给大家介绍一下

它有这么一个定理

开尔文定理

定理是什么呢

均质的理想流体内

就是理想流体是均匀的

沿着一个闭合的流体线

流体速度的环量

不随时间改变

什么是速度的环量呢

就是在这一个闭合曲线上

速度的积分

叫速度的线积分

这叫环量

所以环量是在闭合曲线上的积分

速度环量

就是速度在闭合曲线上的线积分

叫做速度环量

简称环量

我们记作伽马

等于常数

这就是开尔文定理

流体线

什么是流体线呢

永远由同样的流体

的质元构成的线

它不是流线也不是迹线

是同样的一些个质元

构成的一条线

叫做流体线

所以在运动过程中

这流体线随着一块儿运动

它不是流线也不是迹线

这个定理不要求定常流动

对于不可压缩的条件

也可以放宽

所以这个定理

还是应用比较广的

它只需要是理想流体就可以了

那么我们看一下说明

环量守恒对应着角动量守恒

我们刚才看到的是流体里面的

环量定理

它实质上是我们一个质点系的什么

角动量守恒定理

所以它为什么可以这么样简单呢

就因为它理想流体

它没有内摩擦

所以它就没有内力矩

于是一个流体线

这个系统在运动过程中

它的所受的外力矩是零

所以它角动量守恒

我们看烟圈

喷出一个烟圈

就是这儿抽烟喷出一个烟圈

烟圈是一个一个这样的烟圈

它是往前整体运动的

这烟圈里边的

每一个烟尘粒子是

做着一个一个的圆周运动

这就是把这个切开

我们来看一下

这是烟尘粒子组成的

闭合的这条圆周线

粒子在沿着圆周的方向

做着运动

那么这个就是流体线

因为它是同样的烟尘粒子构成的

这就是流体线

流体线这个流速是相同的

于是它的这个环量

就是流速

乘以它在这上的积分

流速相同

所以这积分就等于

流速乘以它的周长

就是2πvr

这就是它的环量

在这样一个流体线上的环量

就绕着这一圈环量

就是这个结果

那么总的质量是m

这一圈里边

烟尘粒子总的质量是m

它以这样v的速度

绕着它转动

于是它对中心的角动量

就等于mv乘以r

所以它对中心轴的角动量

就是mvr

环量是2πvr

所以环量跟角动量

是成正比的

所以环量守恒

就是这个角动量守恒

角动量守恒

因为没有外力矩

所以它是对应这个的

所以我们说角动量守恒

在理想流体里面

就是开尔文定理

无旋流动和有旋流动

伽马等于零

就是流体线上

沿着闭合曲线的

速度的环量是零

称为无旋

那么伽马不等于零就称为有旋

那么这个是什么东西呢

是速度v矢量的旋度

又叫倒三角叉上v

那么它无旋

就是这个速度v的旋度是零

因为有个数学定理

在一条闭合曲线上

一个矢量的

线积分等于谁呢

等于这矢量的旋度的面积分

那么它这个等于零

伽马等于零

于是这个旋度就是零

所以伽马等于零称为无旋

从微分上看

就是这个速度的旋度是零

伽马不等于零称为有旋

如果流体出现了涡旋

就是流体在这儿打转

那么它必然是有旋的

但是不打转

没有涡旋

也可能是出现这个有旋

所以有旋不一定有涡

有涡必定有旋

这个涡指的是漩涡

我们看一个例子

水流入泄水孔

这是一个很大的水面

然后底下开着一个

比较大的孔

我们看一般水

不是这么直接流下去

一般情况下

水是打着转流进来

打着转的时候

这个转的中心

是空气空心的

这叫自由涡

大家看这孔在这儿

这是流体

这有一个孔

于是流体打着转

这么流进来

打着转的时候

当中这部分就是空气

所以这叫自由涡

那么当中是空气的话

形成自由涡

我们来讨论一下它的流动情况

近似为定常流动

那么这条流线

就近似为流体线

而且因为它流的时候

它往下走的这个速度不大

所以近似流体线闭合

也就是近似

沿着这个方向的流速

是约等于零

沿着这个方向

径向的方向流速约也等于零

于是它只有一个环向的流动

于是由环量定理

就是它这个环形的

2πr转一圈

再乘以它的速度环量

应该等于常数K

那么刚才说了

vz约等于零

vr约等于零

所以它只有一个ф方向的流动

就是r乘以vф等于常数K

然后我们还要用伯努利方程

取水面上z等于零

流速是0

然后由伯努利方程

大家注意

我现在取向下为z

于是伯努利方程应该是

P加上二分之一ρv方

减去ρgz了

因为我向下的方向为正了

于是在z处

它应该是负的ρgz

加上二分之ρv方

然后应该等于零

为什么等于零呢

因为这儿的气压是零

所以应该是P0减去ρgz

等于液面上

液面是P0加上

流速是0

再加上高度是零

所以把P0约掉

因此我们就由伯努利方程

得到这个关系式

于是就得到了z跟v的关系式

然后把r乘v等于常数K代进来

就得到z等于2积分之v方

把这K代进来

等于是2gr方分之K方

就得到了z和r的函数关系

就得到了母线方程

好这部分结束

力学课程列表：

微积分简介

-一.导数与微分

-二. 积分

绪论

-绪论

Ch1.质点运动学

-§1 矢量简介

-Ch1.质点运动学--习题

-§2质点运动学

-§3 相对运动-参考系变换

-习题

--习题

Ch2. 质点动力学

-§1牛顿力学.力

-§2万有引力定律

-习题--作业

-§3 牛顿力学应用

-§4.非惯性系.惯性力(上)

-习题

--习题

-§4.非惯性系.惯性力(下)

-习题

--习题

Ch3.动量

-§1动量.质点动量定理

-§2质点系动量定理

-习题

-§3质心和质心运动方程

Ch4.功和能

-§1动能.功.动能定理

-Ch4.功和能--习题

-§2保守内力.势能

-§3机械能定理.机械能守恒

-习题

--习题

-§4自由碰撞

Ch5.角动量

-§1质点角动量.质点角动量定理

-习题--作业

-§2质点系角动量定理

-习题

--习题

-§3万有引力场中质点运动

-§4.刚体 (上)

-习题

--习题

-§4.刚体 (下)

-习题

--习题

Ch6.连续介质力学

-§1应力应变

-§2.固体形变和流体静力学(上)

-§2.固体形变和流体静力学(下)

-Ch6.连续介质力学--习题

-§3理想流体动力学(上)

-习题

--习题

-§3理想流体动力学(下)

-§4粘滞流体动力学(上)

-习题

--习题

-§4粘滞流体动力学(下)

-§5流体阻力(上)

-习题

--习题

-§5流体阻力(下)

Ch7. 振动和波

-§1自由振动.简谐振动

-Ch7. 振动和波--习题

-§2阻尼和受迫振动

-§3简谐振动合成(上)

-习题

--作业

-§3简谐振动合成(下)

-§4简谐波

-习题

--作业

-§5波动方程.波速

-习题

--习题

-§6衍射反射折射多普勒效应

-§7简谐波迭加.非谐波传播

-习题

--习题

-§8驻波

-习题

--习题

Ch8.狭义相对论

-§1 基本原理

-§2 L氏坐标变换.速度变换(上)

-习题--作业

-§2 L氏坐标变换.速度变换(下)

-习题

--习题

-§3 相对论动力学基础

-习题

--习题

-§4 质量.动量.能量.力相对论变换;不变量

-习题

--习题

Ch9.广义相对论

-§1.基本原理

-§2史瓦西场中时间与空间(上)

-§2史瓦西场中时间与空间(下)

-§3大爆炸宇宙学简介

Video笔记与讨论

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