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最后我们讨论一下

机翼升力

和茹柯夫斯基公式

马格努斯效应

这个也是了解

特别是机翼升力的推导

都是了解一下就可以了

但是这是一个很重要的知识

我们还要给大家介绍一下

流体中运动的物体

假如这个物体在这个方向运动

如果物体周围上

出现了一个

环绕流体的速度的环量的话

那么比如这个物体这么流动

出现了一个环量的话

就在垂直运动方向上

出现了怎么样呢

出现了侧向力

就是流体对运动物体

在垂直运动方向出现侧向力

那么对于机翼而言

这个侧向力就是机翼的升力

如果是一个旋转物体来说

就是马格努斯效应

所以下面我们就讲一下

环量跟侧向力的关系

首先看

机翼环量的出现

飞机运动

怎么在机翼上会出现环量呢

这是由机翼的形状

和相对运动方向的仰角

在运动中就会使得

在机翼的圈上

出现了围绕机翼的环量

我们现在看它的运动图

以这飞机呢

是这么样运动

以这方向运动

它的速度是v

现在以飞机为参考系

于是气流就是这么流动

从刚一开始

那气流流动是均匀的

它在这儿是驻点a

前驻点a

什么是驻点呢

机翼上流速为零的点叫驻点

这是前驻点a

那么这样流线到这儿终止了

然后

后驻点b出了一条流线

所以一开始的时候

这两条线呢

就把流体流动分成上下两部分

刚开始的时候

上下两部分流速是基本相同的

所以这时候没有环量

也没有升力

那么怎么出现了环量

怎么出现升力呢

大家看

因为这个驻点在上边

这叫翼尖

翼的尖端 翼尖

那么这条流线

大家看它流动的时候

它要贴着机翼这么流

这么流所以速度非常快

高速流动

而且这么一流的话

它是属于逆压流动

就是这儿的压强大

这儿的压强小

属于逆压流动

所以这个地方

出现了逆压的高速流动

逆压高速流动

就引起这儿流线剥离

所以这驻点

就不在这儿呆着了

它一点点往下移

最后移到了翼尖

移到翼尖

就没有这种逆压流动

就稳定了

所以它稳定情况是这种情况

大家看

这个还是前驻点

后驻点变成翼尖

这就稳定了

但是这样的话

这条流线一分割的话

上下的流速就不相同了

上边流速就大了

下边流速就小了

那么这是气体的平均流速

上边流速就比气体平均流速大

下边流速就比气体平均流速小

就相当于谁呢

上边流速

相当于在平均流速的情况下

叠加了一个这方向速度

下边就好象在

原来的平均速度情况下

叠加了一个反向的速度

这个叠加的速度

跟这个叠加速度

正好就叫环量

就形成了一个环流

这个就是它的环量的形成

所以它的环量形成

是经过流线剥离之后

使得上下流速不相同

于是在围绕着机翼

就出现了环流了

这环量就不是零了

飞机速度不变

气体的流线不变

这是定常流动

下面我们简单的计算一下

机翼的升力

了解一下就可以了

那么飞机用V来运动

远处气体的流速U

就等于负V

所以

我现在以飞机为参考系

于是气体的流动速度就是U

这就是它的流动速度

就是从这儿流过来

我现在知道机翼的长度

就是这是机翼的剖面

机翼的长度是L

那么这个建立一个坐标系x y

z就是这个方向

然后呢

在远离机翼的上下

各有一条流线

这是1流线

这是2流线

这个在这个远离机翼的地方

做两个横切面

一个是AD

一个是BC

做两个横切面

那么我们来讨论一下

这个情况

大家看

刚才这1 2两条流线

这条流线沿着机翼的

翼长方向平移

于是这个就形成了一个面

叫S1面

跟这个机翼的面基本平行

这个上边平行是S2面

然后再加上这两个横截面

那么构成个四面

四面之间我把这个流体

看作我的研究对象

所以由上边的S2面

下边的S1面

还有这两个方向的横截面

围起了一个流体

我把这个流体

看作研究对象

这个流体没有y方向的运动

所以它在y方向的动量

改变是零

所以它在y方向上的

所受的外力之和应该是零

它受到的外力是什么外力呢

大家看

一个是下边气体对1面的压力

就是往上的压力

还有2面上面气体

对它的压力

以及机翼本身

因为我这气体不包括机翼

大家注意我这气体系统

不包括机翼

所以机翼本身

对这个气体有个压力

所以有一个

这个机翼对气体的压力

我的研究是这个方向

所以是y

机翼对气体压力y

然后这两个面上的压力

就是合起来叫F压y

这就是指的是这个

那么因为它这个方向上的

外力之和应该是零

所以就是机翼对气体的

y方向的压力

y方向的作用力

应该等于谁呢

应该等于负的外界气体

对这两个面的压力

负的F压y

这个压指的是

外面气体对这两面的压力

因为这两个面基本上是水平

所以它就等于是

这两个外边气体

对它的压力

所以它因为基本都是y方向

所以直接就是负的F压

这是机翼对气体的力

那么气体对机翼的力就是升力

所以呢这个

升力就等于负的机翼对气体的力

y方向力

所以它就等于谁呢

等于外界气体

对这个上下两面的压力

就等于这个压力

这个压力我们知道

我们计算一个面上的压力

等于在这个面上

选一个什么呢

选一个矢量面积元

矢量面积元是向外的

矢量面积元乘以压力

就是这个气体对它的压力

所以负的P乘以dS

积分对哪个呢

对1 2两个面

对这个面做积分

对这个面做积分

这就是它的压力的合压力

那么我们来看dS

dS等于多少呢

这个dS就是这个面

上取一小块

取一小块

取一小块呢

我现在取这个dr

这个取这么一个

矢量长度dr

然后它的这个方向多长呢

这个方向就是机翼的长度

所以是l乘以dr

就是这个dS小面积的大小

上边这个dS小面积的

矢量面积元的方向是什么方向

应该向上

大家注意

z是什么方向

z是这个方向

这个方向叉上它

正好是这个方向

所以在上边

从A到B这个面上的压力

就等于谁呢

等于z叉上dr

是它的矢量面积元

所以就是这个的积分

然后再看这个

这个的矢量面积元应该冲下

所以它这个是y叉上它

y是这个方向

一叉上这个dr

应该向里

跟这个正方向相反

所以这个地方应该有个负号

负的从D到C

z叉dr

就是这个结果

于是我的升力

就应该等于这两个的积分

现在我要求这压强了

压强多少

压强就是

你求这个面的压力

就是这儿的压强

求这面的压力就是这儿的压强

就看上下的压强怎么计算

由伯努利方程

就是因为我这个是远离了机翼

所以相当于主流的流体

所以这是不考虑摩擦

不考虑粘滞性

所以用伯努利方程来讨论

那么刚才我们又说了

这个远处的时候

这个气体流线是平行的

所以各条流线的常数相等

所以直接可以把这个跟这个

联系起来

所以我上下直接考虑

而且不考虑重力

就没有ρgz了

于是我上边这个跟下边同样

P加上二分之ρv方等于常数

因为它上下的是一样的

所以上边的压强加上

二分之ρv方

上边的流速的平方

然后等于下边

P加上二分之ρv方

这是相同的

我用这个J来表示

各条流线都相同

于是我的压强就等于这常数

减去二分之ρv方

v等于U加上环量

U加上环形速度

就刚才我说了

上边的流速大

就相当于我远处的流速

平均流速

加上它环向的流速

下边它流速小

它等于平均流速加上

下边的反向的流速

所以我的速度

等于是平均速度

或者远处的气体流速

加上环形的速度

因为1 2流线远离机翼

所以上下近似水平

所以dr约等于dx乘以x

环形的速率

远远小于平均速率

因为飞机速率很大

环形速率是比较小的

在BC上

BC是垂直的横截面上

在横截面上

v环点上dr是零

所以这个上面没有

于是我的v方

这不v等于它嘛

v方就等于这个点上这个

这俩一点积

它跟它的点积

就可以忽略不计

约等于

U方加上2倍的U点上v环

于是呢

把v方等于的结果

代到这个式子里面去

P等于H减去ρ乘以U点上v环

这个H是新的常数

H等于刚才那常数

减去二分之ρU方

因为U是常数

飞机的运动速度是常数

所以U是常数

等于它

于是升力

就等于刚才写的这个

从A到B它跟它的叉积

刚才是从D到C是减号

现在反过来

从C到D变成加号了

PLz叉上它

然后把P代进去

就是P这个结果代进去

于是整理成这个结果

就等于L里边是

负的Hz叉上这一项

然后加上ρ里边是这一项

那么这一项的和

从A到B

从A到B

dr的积分

和下边从C到D这个积分

正好方向相反

这两项是互相抵消了

于是就剩下这一项

LρU里边是环形的速度

点上dr

这是从C到D

环形速度点上dr

然后是y方向

是这个方向

因为z叉dr是这个方向

那么这个的两个合起来

这个A到B

是A到B

C到D是这个地方

刚才我们说在这个方向上

v点上dr是零

所以它加它

就相当于在这儿转一圈

速度的积分

转一圈速度的积分

就是这个

这是积分

转一圈速度的积分

就是速度的环量

我们看一下刚才说了

从A到B

从D到C

这个大概是零

那么这个U点上v环量

然后z叉上dr

最后证明它等于U

乘以v环量点上dr

y方向

所以我们看刚才

就是这个

这个叉积结果呢

变成v的环量点上dr

然后v的环量A到B

v的环量

加上从C到Dv的环量

就等于是整个的一个环形

绕着ABCD

整个一个环形的积分

而这个环量的积分

我们用伽马来表示

于是这个

我们最后就得到结果了

升力等于ρLV

V是飞机速度

伽马是环量

乘以y

这是竖直方向

这是升力的公式

L是机翼的长度

这就是茹可夫斯基公式

就这么得到了

那么这个机翼受到的升力

与流体的密度ρ

飞机的速度V

围绕机翼的环量伽马成正比

这就是茹可夫斯基公式

那么这样的公式的得到

或者机翼升力的来源

根源都来自气体的粘滞性

没有气体粘滞性

是不会出现机翼的升力的

推广

固体在流体里面

以V来运动

如果出现了一个

环绕物体的环量

就会受到一个侧向的力F

力正比于

环量乘以它的运动速度

力垂直于运动的方向

所以是侧向力

V叉F

它的运动方向这个方向

叉上F，

正好等于环量的方向

这样的话

就推广到这种情况

这就是马格努斯效应

我们来看

这是一个圆形的物体

比如圆柱体或者圆球

在空气里以ω旋转

它这一转

就带动了它周围的气体

有这样一个环量

有这样一个环量

这就是它的环量

这是它的运动速度

于是它受到一个侧向力F

V叉F

正好等于这环量的环形方向

所以这样的话

就是马格努斯效应

那么

我们看两个例子

比如说乒乓球

乒乓球这么走

我给它一个这个方向的力

使它有这个方向旋转

于是它受到的侧向力向下

所以这叫上旋球

它走的时候很快下坠

这是下旋球

我向这个方向运动

我给它这方向一个力

于是它这方向旋转

它受到一个向上的力

就是往上漂

这就是马格努斯效应的

一个很好的体现

那么还有足球也是

足球的时候

我们在那儿发角球

这是发角球的位置

这是球门的位置

我们一踢

让它有一个侧旋

于是球可以走这样一个弧线

来旋进球门

这也是一个侧向力的一个

明显的表现

好 今天呢

这部分就讲到这儿