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机械能守恒

机械能定理指出了

机械能改变的原因

是外力做功和非保守内力做功

所以去掉了它改变的原因

它就守恒

若在一段时间里边

总有 就是一直是

外力的功为零

非保守内力做功为零

也就是dW外等于零

dW非保内等于零

就是它们的元功都是零

那么在这个时间段里边

机械能等于常数

就是机械能守恒

这里边有个情况

什么情况呢

我们知道

机械能的增量

跟谁有关系呢

它不是一个因素

它跟外力功有关系

还跟非保守内力功有关系

所以就有一种很特殊的情况

如果外力的功不总是零

非保守内力做功不总是零

但这两个加起来总是零的话

也可以使得

机械能的数值保持不变

那么这个时候

能不能称为机械能守恒呢

这个大伙儿对它的意见不一样

有人说既然不变就是守恒

但是我们一般认为不是这么处理

我们一般认为这只能说

机械能数值不变

不能说机械能守恒

为什么呢

就因为

如果外力做功是零的话

那么就是说系统跟外界

没有能量交换

如果非保守内力做功是零的话

也就是

机械能跟其他形式

比如说热能没有交换

如果你现在两个不是零的话

那么系统内外有了能量交换

机械能跟其他形式能量有交换

所以即使你机械能的数值不变

我们仍然不能说机械能守恒

所以这种情况

我们只能说机械能数值不变

我们看机械能是不是守恒

还跟参考系有关

为什么呢

我们机械能守恒要求的是

非保守内力做功是零

外力做功是零

如果它在这个参考系

机械能守恒了

说明它非保守内力做功是零了

外力做功是零了

可是换一个参考系

虽然非保守内力做功仍然是零

但是有可能外力做功不是零

因为外力做功

是跟惯性系也有关系

参考系是有关系的

所以在这个参考系

机械能守恒了

换一个惯性系

机械能可能就不守恒了

但是机械能定理

是不是跟惯性系有关系呢

这个就不对了

任何惯性系里面

机械能守恒定律

都是正确的

也就是说

如果这个系统里面

它的外力功是零

非保守内力做功是零

它就是机械能守恒

如果外力做功不是零了

那机械能就不守恒了

所以机械能守恒定律

它跟惯性系是无关的

它是任何惯性系都成立的

但是因为

外力功有时候有的惯性系是零

有的惯性系不是零

所以机械能守恒不守恒

是跟参考系有关的

这里我们要加以说明

这里还要说明

在看同学作题

特别是看一些考试题的时候

同学们常常不说机械能守恒

说这个系统能量守恒

然后进行讨论

这个说法是完全不对的

我们说机械能不等于能量

机械能

只是系统总能量的一部分

我们这里讨论的是机械能守恒

不是总能守恒

所以一定要说清楚

而且

机械能不守恒是正常的

因为

影响机械能守恒的因素太多了

特别是摩擦力

几乎不能够消灭

所以机械能几乎是不守恒的

所以机械能守恒

那么是在特殊条件下

在理想情况下

或者在我们假设情况下才实现的

而不守恒

却是一个常态的

因此

我们应用机械能守恒

应该慎之又慎

你研究实际问题的时候

你不能随随便便的

就把机械能当做守恒

所以在讨论机械能守恒的时候

要特别重视谨慎

我们看一个例子

这是一个吊车

钢丝绳上挂一个重物

以匀速v0下降

当这个重物

到达y1位置的时候

那么这个绳子突然刹住

于是它继续往下运动

因为这个绳子是弹性绳

继续往下运动

一直到了y2运动停止

这是它的最大伸长

那么这个原长多少呢

原长是在原点位置

这钢丝绳的弹性系数

或者劲度系数已知是k

v0已知

质量已知

让你求谁呢

这绳子里边的最大张力

和它下降的高度

就这两个问题

这两个问题我们来看

选不同的系统

解法就不一样

你只对m来讨论的时候

那么绳子

是相当于系统之外

地球也相当于系统之外

所以绳子的张力

和地球的重力

统统都算外力

所以

你只能用动能定理来讨论

如果你把m和绳子选作系统

于是

绳子的张力就算作内力

而且是保守内力

于是出现了谁呢

弹性势能

但是

地球没有选进来

所以重力还算外力

因此你要用机械能定理

就是外力做功

等于机械能的增量

第三种选择

我把物体

绳子和地都选作系统了

于是所有的力都是内力

而且是保守内力

于是

我就可以用机械能守恒

因为出现了弹性势能

和重力势能

所以你选不同的系统

就对应着不同的方法

对应着不同的定律

不同的解题方法和定律

我们现在选择

物体 地球 绳子作系统

于是没有外力做功

内力是保守内力

讨论刹车以后的过程

那么就是

外力做功总是零

非保守内力做功总是零

所以机械能守恒

要想用机械能

先要选择势能零点

我们把y等于零的地方

选作弹性势能

和重力势能的零点

就可以进行机械能守恒的讨论了

这就是初态时候的机械能

这是它的动能

这是它的弹性势能

这是它的重力势能

它下降到最低点的时候

这是它的动能

动能就是零了

这是它的弹性势能和重力势能

其中还有关系

因为我们原来是匀速运动

大家看原来是匀速运动

匀速运动绳子的张力

跟重力相抵消

所以原长在这儿

这么大的身长

产生的弹性的张力

正好跟重力抵消

所以ky1应该等于mg

然后你要求下降的高度

下降高度h

下降高度h等于y2-y1

把这两个代到这式子里边来

最后就得到这个结果

kh^2/2

等于mv0^2/2

于是得到了h

那么最大的张力

就是它下降到最低点的时候

它的伸长y2乘以k

就是它的最大张力

y2等于y1+h

k乘以y1等于它的重力mg

然后k乘以h就是这个结果

那么这结果

我们把这一项称为动载荷

就是跟它的运动有关系的

大家看这动载荷

跟质量和k的根号成正比

跟速度成正比

它是变化的

随着速度而发生变化

这个重力是个常力

所以这个如果是

质量非常大的一个物体

我们吊车的时候

要对它的速度有限制

不然的话

这一项就可能相当的大

再讨论一个问题

我们在地球上发射一个航天器

使它具有一个初速度

这样的话

这航天器就首先可以脱离地球

进入到太阳系

然后再脱离太阳的引力影响

可以到达太阳系之外

那么就让你计算一下

这个发射的航天器的最小速度

称之为第三宇宙速度

记为v3

我们要求这个第三宇宙速度

首先我们假设这个

航天器已经脱离了地球引力

于是它进入了太阳系

所以我们要选日心参考系

作为惯性系

在日心参考系里

地球的轨道速度

等于G乘以太阳的质量

除以地球轨道半径

开方

这个式子哪儿来呢

就是从这个式子来的

就是地球做圆周运动

它的向心力是太阳的引力

就得到了地球的轨道速度

我们假设

航天器脱离了地球之后

它仍然在地球轨道附近运动

然后它具有一个速度是v

那么这样的话

就变成了在太阳系的范围内运动

假设它可以到达无穷原点

就是脱离太阳系

可以达到无穷原点

那么在这个过程中

它的机械能是守恒的

它与太阳作为系统

机械能是守恒的

所以我们就计算一下

它能够到达无穷远脱离太阳系

这个速度应该是多少

它的能量是等于

就现在的机械能

是等于它的动能

mv^2/2

再加上它在太阳系里边的势能

它的这个半径

仍然是地球的轨道半径

这就是它的引力势能

太阳系的引力势能

它能到达无穷远处

到达无穷远处

势能是零

动能是零

所以整个机械能是零

所以由这个式子就可以求出v来

于是v等于

√(2GMs/r)

正好是这个√2倍

所以是√2 V

就这个V

就要是42.1每秒千米

选地心参考系为惯性系

我们来求

在地球上发射时候的初速度

那么换了参考系之后

航天器刚脱离地球时候

它在地心参考系里边的速度

是相对速度

等于它的绝对速度

减去地球的轨道速度

这就是它的v′

那么得到这个速度

是从地球上发射的时候

在脱离了地球的束缚之后

获得的这v′

那么在地球上

把这个航天器发射

发射结束之后

这航天器具有一个初速度v0′

当然这发射过程

我们近似认为

它发射的高度不太高

也就近似为还是在地球表面

所以在它发射结束之后

它自由运动到它脱离了地球

这个过程也是机械能守恒

于是我们就可以列出

机械能守恒的式子来

这个是在地球表面发射

发射结束以后

它具有的初速度是v0′

那么它近似为它还在地球表面

虽然升高了还近似在地球表面

这是地球跟它的

万有引力势能

等于谁呢

等于它发射到无穷远

相对地球无穷远

它的势能是零

而且它还具有一个动能

就是刚刚脱离地球的时候

相对地球的动能

这是刚才计算出来的v′

于是机械能守恒得到这个式子

我们就可以求出v0′

v0′就是我们的第三宇宙速度

就是这个结果

其中这里边

这一项就相当于第二宇宙速度

这个是v减V′

就是它在太阳系里边的

绝对速度减去地球的轨道速度

就是相对地球的

相对速度

最后结果是16.6每秒千米

其中v2是第二宇宙速度