当前课程知识点:力学 > Ch7. 振动和波 > §2阻尼和受迫振动 > Video
第三
受迫振动的稳态解
那么前边讲的都是自由振动
就是没有策动力
最多加上了阻力
就是阻尼力
现在要讨论受迫振动
就是在对于振子来说
加上了外界的作用力
来引导这个振子的振动
我们把这个力称之为策动力
就是有策动力的情况
我们把策动力可以分成两大类
一类是周期性的策动力
驱动着它的运动
那么这个情况
我们称为受迫振动
那么非周期策动力
策动的振动
我们一般称为自持振动
或者叫自激振动
所以
虽然它们都是受迫振动
但是由于振动分成两类
我们主要讨论的受迫振动
是周期性外力引导的
或者策动的振动
那么
其他的非周期的策动力
引导的振动称为自持振动
对自持振动来说
策动力是非周期力
那么振动的频率取决于谁呢
取决于系统本身的频率
所以
你一个非周期的策动力加上去之后
这个系统
还是按它本身的频率振动
这样的话叫自持振动
比如说钟摆
我们老式的挂钟
那个钟摆来回摆动
当它摆动到最高点的时候
有外力拨动它一下
给它一个作用力
使它能保持长期的稳定的摆动
还有就是拉琴
比如小提琴
小提琴是一个琴弦
是非周期的运动
但是小提琴本身
按自身的频率做着振动
这都是属于自激振动
我们下面主要讨论的是受迫振动
就是周期性外力
引起的系统的振动
主要讨论余弦策动力
作用下的受迫振动
我们看微分方程
余弦策动力f等于
大Fcosωt
大F就是余弦策动力的振幅ω
是这个余弦策动力的圆频率
就是在这样一个
余弦的周期策动力下
加到了系统里面
看看系统是如何响应的
于是写出方程来就是mx两点
就是m乘以加速度
等于弹性恢复力 摩擦力
还有一个周期性的策动力
于是大家看
我们在这种情况下
讨论的因素都全了
是最完全的一个讨论
整理一下
写成标准形式
就是x两点加上2δx一点
就把这一项挪过去
把这一项挪过去
加上ω0平方x
这是本征圆频率
本征圆频率等于根号下
k除以m
右边是hcosωt
因为这一项
是跟它的振动函数无关
所以它放在方程的右边
这些项放在方程左边
因为它都是
振动的函数以及它的导数
这就是标准的方程
这阻尼系数
我们刚才已经说了
等于b除以2m
小h等于F除以m
这就是一个标准的
受迫振动的微分方程
现在要求
这个受迫振动微分方程的通解
那么通解应该是
带有两个任意常数的
我们来看
它通解是什么样呢
首先我们看
如果把这个方程的右边去掉
那么让它等于零
这就叫这个微分方程的齐次方程
齐次方程大家一看就能明白
齐次方程这边是零的话
齐次方程就是前边讲的
阻尼振动方程
所以阻尼振动方程
又叫这个方程的齐次方程解
所以我们把它写做x齐
它其实就是阻尼振动解
那么
大家再看这个方程
这个方程这边始终有一个ω
的策动力
于是我们就可以断定
这个方程一定有一个
跟这个频率相同的
简谐振动解
这个解我们称之为特解
所谓特解就是它代进去以后
可以满足这个方程的
所以有一个特解
那么大家看
我把刚才那个齐次方程解
加上特解
是不是能满足这个方程呢
我把齐次解跟特解加起来
一块儿代进这方程
因为这方程是线性的
所以对这个齐次解加上特解
对它求导两次
就可以分成两个
一个是齐次解的二阶导数
一个是特解的二阶导数
把它代到这里边来
它也是两项
于是我们就可以
把齐次解跟特解代进来之后
就可以看到
前边是齐次解的这个形式
再加上特解的这个形式
在方程的左边
齐次解的情况
它加起来以后就是零
而特解等于这一项
所以
把齐次解跟特解加起来以后
仍然是这个方程的解
而齐次解里面
已经带有了两个
互相独立的常数
所以齐次解加上特解
就是我这个方程的通解
所以我们来看一下
有个特解
然后还有一个齐次解
把齐次解加特解
仍然是原方程的解
所以我们就得到结论了
受迫方程的通解
就是齐次方程的解加特解
齐次方程解就是阻尼解
所以就是阻尼的通解
它里边有两个任意常数
再加上特解
所以我们看到
这个受迫振动的通解
就是我们前边的阻尼振动解
加上特解
你把特解求出来
我们这个受迫振动的通解
就完全了
所以
下面的任务是要求特解
那么
阻尼振动的解
我们一般都指的是欠阻尼振动
所以受迫振动的通解
就是欠阻尼的振动解
加上特解
所以就把特解求出来
就可以得到了通解了
下面我们来求特解
我们现在用什么办法来求特解呢
用复数法求特解
那么从这里看一下
复数法的巨大的优势
如果我现在不用复数法的话
我可以怎么样呢
用这个三角函数的办法
把这个特解
因为它是简谐振动
它是一个以ω为圆频率的简谐振动
把这个直接代到原来的
方程里面去
也可以把它求出来
但非常麻烦
我现在用复数法求解
就非常简单了
我们来看一下
复数法求特解的过程
它的特解这种形式
我把特解写成复数的形式
就是x星号
等于Aeiωt加ф
就是这个特解 实数解
实数的三角函数解
写成了复数形式
那么既然是复数形式了
在受迫振动的左边
全是复数形式
要把右边也改造一下
所以要把策动力
原来策动力是实数
要改成复策动力
复策动力F加上星号
等于它的振幅乘以eiωt
于是
我们原来的方程
就变成了复数方程
就是x星号的两点
加上2δx星号的一点
加上ω0平方x星号
等于heiωt
大家看这就是复数了
复数方程
对应两个实数方程
因为它是线性方程
所以它的实部
就对应着我们真正的物理方程
于是
它的复数解的实部
就是我们真正的特解
所以复数法就是这种情况
它只适合于线性方程
我们来计算一下
它的一阶导数
就是iω乘以x星号
二阶导数
就是i方ω平方x星号
又等于负的ω平方x星号
这就是我们复数法的巨大优势
因为你复数法写的是指数形式
所以指数的形式导数非常简单
所以写成复数形式以后
它的导数非常简单
于是把这两个结果代进去
那么就得到了x星号
里边是i方ω平方加上i2δω
加上ω平方
等于heiωt
把x星号代进去
x星号等于多少呢
是Aeiωt加ф
大家看
对于这个来求导
它导数就是iω乘以它本身
所以就等于iωx星号
然后再求导一次
又多乘个iω
就变成了i方ω平方x星号
所以大家看
我为什么选复数形式呢
就因为选了复数形式之后
这个函数的倒数
或者是积分
非常简单
所以就得这样简单的结果
把这个x星号的二阶导数
一阶导数代进去
于是就是这个结果
就是x星号里边乘i方ω平方
加上i2δω
加上ω0平方等于heiω
把x星号代进来
然后把i方是负的负e
最后整理一下
就是这个结果
eiωt+ф
可以写成eiωt乘以eiф
于是就把这个时间相
跟这个初位相两个分开了
这也是我们复数办法的巨大优势
它可以把这两个分开
把时间相跟它的初位相分开
分开之后
eiωt跟这个eiωt就约掉了
两个就约掉了
然后我再把eiф除过来
大家看就这个形式
于是就剩下谁呢
剩下这边把它都除过去了
就剩下Aω0平方减ω平方
加上i2倍的δω
等于h,因为除过去了
e负的iф
e负的iф写成这种xy形式
就是cosф-isinф
这是一个复数的方程
复数方程实部要相等
虚部要相等
所以就出来两个方程
一个是实部相等
一个是虚部相等
就出来两个方程
大家看这个方程
由这个方程我们看到
这个sinф是小于0的ф
是负π到正π之间
所以sinф小于零
说明这个ф
是在负π到零之间
然后
把这个平方加上这个平方
就把A方得到了
A方就等于这一些项
等于h平方
于是就把A得到
A就等于h除以根号下
括号ω0平方减去ω平方的平方
再加上4倍的δ平方ω平方
我们就把A求出来了
然后这两个由这个式子
就可以把这两个一除
就把tanф求出来
于是ф就等于tg负2δω
除以ω平方减去ω平方
我们刚才说了
因为sinф小于零
所以ф是在负π到零之间
这样的话
我们把它的振幅A求出来了
把它的初位相ф求出来了
于是这个特解就得到了
那么这个ф是什么含义呢ф
应该是特解位相
减去策动力的位相
因为策动力
把它的ф取作零
策动力写作Fcosωt
把它的初位相取作零
而我这个受迫振动的解
是Acosωt+ф
所以ф就等于
是特解的位相
减去策动力的位相
现在ф小于零
说明什么呢
说明策动力是位相超前的
策动力带动了特解
于是策动力应该是在前
这个特解在后
特解的位相落后于
策动力的位相
所以体现了这种
主动和被动的关系
我现在有了特解了
于是呢
我的受迫振动的通解就有了
前边是欠阻尼的通解加上特解
就是我受迫振动的通解
四是稳态解
这个解
前边的解是阻尼振动解
阻尼振动解
它总是在不断的减小
它的振幅总在不断的减小
能量机械能也不断的减小
所以总有在一段时间后
它是最后趋于零
正因此长时间的
稳定状态的受迫振动解
就是它的特解
这个解我们称为稳态解
就是稳定状态之后
它的阻尼振动解已经消失了
那么现在的解称为稳态解
所以稳态解就是特解
就是Acos(ωt+ф)
这里边ω
就是策动力的圆频率
A和ф我们都已经求出来了
所以特解是完全确定的
那么特解的特点
也就是稳态解的特点
它是简谐振动
它是完全按照策动力的频率
来进行振动的
一个简谐振动
这里边A ф是一个确定的常数
它跟前边我们说的
无阻尼自由振动的
简谐振动里的Aф是不一样的
那里边的Aф是待定常数
而这里边的A ф是确定的常数ф
是x就是受迫振动的稳态解
和策动力频率的位相差
这个系统是个非孤立系统
因此机械能不守恒
它有阻尼
它就有耗散
那么外界不断的供给能量
它又保持着一个稳定的一个简谐振动
它的运动规律
跟无阻尼自由振动是相同的
都是简谐振动
但是物理的本质完全不一样
后者无阻尼自由振动
它是孤立系统
机械能守恒
按固定的频率
就是系统本身的频率振动
A ф是待定常数
-一.导数与微分
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-二. 积分
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-绪论
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-§1 矢量简介
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-Ch1.质点运动学--习题
-§2质点运动学
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-§3 相对运动-参考系变换
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-习题
--习题
-§1牛顿力学.力
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-§2万有引力定律
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-习题--作业
-§3 牛顿力学应用
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-§4.非惯性系.惯性力(上)
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-习题
--习题
-§4.非惯性系.惯性力(下)
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-习题
--习题
-§1动量.质点动量定理
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-§2质点系动量定理
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-习题
-§3质心和质心运动方程
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-§1动能.功.动能定理
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-Ch4.功和能--习题
-§2保守内力.势能
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-§3机械能定理.机械能守恒
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-习题
--习题
-§4自由碰撞
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-§1质点角动量.质点角动量定理
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-习题--作业
-§2质点系角动量定理
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-习题
--习题
-§3万有引力场中质点运动
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-§4.刚体 (上)
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-习题
--习题
-§4.刚体 (下)
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-习题
--习题
-§1应力应变
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-§2.固体形变和流体静力学(上)
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-§2.固体形变和流体静力学(下)
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-Ch6.连续介质力学--习题
-§3理想流体动力学(上)
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--习题
-§3理想流体动力学(下)
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-§4粘滞流体动力学(上)
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-习题
--习题
-§4粘滞流体动力学(下)
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-§5流体阻力(上)
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-习题
--习题
-§5流体阻力(下)
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-§1自由振动.简谐振动
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-Ch7. 振动和波--习题
-§2阻尼和受迫振动
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-§3简谐振动合成(上)
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-习题
--作业
-§3简谐振动合成(下)
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-§4简谐波
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-习题
--作业
-§5波动方程.波速
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-习题
--习题
-§6衍射反射折射多普勒效应
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-§7简谐波迭加.非谐波传播
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-习题
--习题
-§8驻波
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--习题
-§1 基本原理
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-§2 L氏坐标变换.速度变换(上)
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-习题--作业
-§2 L氏坐标变换.速度变换(下)
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--习题
-§3 相对论动力学基础
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-习题
--习题
-§4 质量.动量.能量.力相对论变换;不变量
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-习题
--习题
-§1.基本原理
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-§2史瓦西场中时间与空间(上)
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-§2史瓦西场中时间与空间(下)
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-§3大爆炸宇宙学简介
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