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第三

受迫振动的稳态解

那么前边讲的都是自由振动

就是没有策动力

最多加上了阻力

就是阻尼力

现在要讨论受迫振动

就是在对于振子来说

加上了外界的作用力

来引导这个振子的振动

我们把这个力称之为策动力

就是有策动力的情况

我们把策动力可以分成两大类

一类是周期性的策动力

驱动着它的运动

那么这个情况

我们称为受迫振动

那么非周期策动力

策动的振动

我们一般称为自持振动

或者叫自激振动

所以

虽然它们都是受迫振动

但是由于振动分成两类

我们主要讨论的受迫振动

是周期性外力引导的

或者策动的振动

那么

其他的非周期的策动力

引导的振动称为自持振动

对自持振动来说

策动力是非周期力

那么振动的频率取决于谁呢

取决于系统本身的频率

所以

你一个非周期的策动力加上去之后

这个系统

还是按它本身的频率振动

这样的话叫自持振动

比如说钟摆

我们老式的挂钟

那个钟摆来回摆动

当它摆动到最高点的时候

有外力拨动它一下

给它一个作用力

使它能保持长期的稳定的摆动

还有就是拉琴

比如小提琴

小提琴是一个琴弦

是非周期的运动

但是小提琴本身

按自身的频率做着振动

这都是属于自激振动

我们下面主要讨论的是受迫振动

就是周期性外力

引起的系统的振动

主要讨论余弦策动力

作用下的受迫振动

我们看微分方程

余弦策动力f等于

大Fcosωt

大F就是余弦策动力的振幅ω

是这个余弦策动力的圆频率

就是在这样一个

余弦的周期策动力下

加到了系统里面

看看系统是如何响应的

于是写出方程来就是mx两点

就是m乘以加速度

等于弹性恢复力 摩擦力

还有一个周期性的策动力

于是大家看

我们在这种情况下

讨论的因素都全了

是最完全的一个讨论

整理一下

写成标准形式

就是x两点加上2δx一点

就把这一项挪过去

把这一项挪过去

加上ω0平方x

这是本征圆频率

本征圆频率等于根号下

k除以m

右边是hcosωt

因为这一项

是跟它的振动函数无关

所以它放在方程的右边

这些项放在方程左边

因为它都是

振动的函数以及它的导数

这就是标准的方程

这阻尼系数

我们刚才已经说了

等于b除以2m

小h等于F除以m

这就是一个标准的

受迫振动的微分方程

现在要求

这个受迫振动微分方程的通解

那么通解应该是

带有两个任意常数的

我们来看

它通解是什么样呢

首先我们看

如果把这个方程的右边去掉

那么让它等于零

这就叫这个微分方程的齐次方程

齐次方程大家一看就能明白

齐次方程这边是零的话

齐次方程就是前边讲的

阻尼振动方程

所以阻尼振动方程

又叫这个方程的齐次方程解

所以我们把它写做x齐

它其实就是阻尼振动解

那么

大家再看这个方程

这个方程这边始终有一个ω

的策动力

于是我们就可以断定

这个方程一定有一个

跟这个频率相同的

简谐振动解

这个解我们称之为特解

所谓特解就是它代进去以后

可以满足这个方程的

所以有一个特解

那么大家看

我把刚才那个齐次方程解

加上特解

是不是能满足这个方程呢

我把齐次解跟特解加起来

一块儿代进这方程

因为这方程是线性的

所以对这个齐次解加上特解

对它求导两次

就可以分成两个

一个是齐次解的二阶导数

一个是特解的二阶导数

把它代到这里边来

它也是两项

于是我们就可以

把齐次解跟特解代进来之后

就可以看到

前边是齐次解的这个形式

再加上特解的这个形式

在方程的左边

齐次解的情况

它加起来以后就是零

而特解等于这一项

所以

把齐次解跟特解加起来以后

仍然是这个方程的解

而齐次解里面

已经带有了两个

互相独立的常数

所以齐次解加上特解

就是我这个方程的通解

所以我们来看一下

有个特解

然后还有一个齐次解

把齐次解加特解

仍然是原方程的解

所以我们就得到结论了

受迫方程的通解

就是齐次方程的解加特解

齐次方程解就是阻尼解

所以就是阻尼的通解

它里边有两个任意常数

再加上特解

所以我们看到

这个受迫振动的通解

就是我们前边的阻尼振动解

加上特解

你把特解求出来

我们这个受迫振动的通解

就完全了

所以

下面的任务是要求特解

那么

阻尼振动的解

我们一般都指的是欠阻尼振动

所以受迫振动的通解

就是欠阻尼的振动解

加上特解

所以就把特解求出来

就可以得到了通解了

下面我们来求特解

我们现在用什么办法来求特解呢

用复数法求特解

那么从这里看一下

复数法的巨大的优势

如果我现在不用复数法的话

我可以怎么样呢

用这个三角函数的办法

把这个特解

因为它是简谐振动

它是一个以ω为圆频率的简谐振动

把这个直接代到原来的

方程里面去

也可以把它求出来

但非常麻烦

我现在用复数法求解

就非常简单了

我们来看一下

复数法求特解的过程

它的特解这种形式

我把特解写成复数的形式

就是x星号

等于Aeiωt加ф

就是这个特解 实数解

实数的三角函数解

写成了复数形式

那么既然是复数形式了

在受迫振动的左边

全是复数形式

要把右边也改造一下

所以要把策动力

原来策动力是实数

要改成复策动力

复策动力F加上星号

等于它的振幅乘以eiωt

于是

我们原来的方程

就变成了复数方程

就是x星号的两点

加上2δx星号的一点

加上ω0平方x星号

等于heiωt

大家看这就是复数了

复数方程

对应两个实数方程

因为它是线性方程

所以它的实部

就对应着我们真正的物理方程

于是

它的复数解的实部

就是我们真正的特解

所以复数法就是这种情况

它只适合于线性方程

我们来计算一下

它的一阶导数

就是iω乘以x星号

二阶导数

就是i方ω平方x星号

又等于负的ω平方x星号

这就是我们复数法的巨大优势

因为你复数法写的是指数形式

所以指数的形式导数非常简单

所以写成复数形式以后

它的导数非常简单

于是把这两个结果代进去

那么就得到了x星号

里边是i方ω平方加上i2δω

加上ω平方

等于heiωt

把x星号代进去

x星号等于多少呢

是Aeiωt加ф

大家看

对于这个来求导

它导数就是iω乘以它本身

所以就等于iωx星号

然后再求导一次

又多乘个iω

就变成了i方ω平方x星号

所以大家看

我为什么选复数形式呢

就因为选了复数形式之后

这个函数的倒数

或者是积分

非常简单

所以就得这样简单的结果

把这个x星号的二阶导数

一阶导数代进去

于是就是这个结果

就是x星号里边乘i方ω平方

加上i2δω

加上ω0平方等于heiω

把x星号代进来

然后把i方是负的负e

最后整理一下

就是这个结果

eiωt+ф

可以写成eiωt乘以eiф

于是就把这个时间相

跟这个初位相两个分开了

这也是我们复数办法的巨大优势

它可以把这两个分开

把时间相跟它的初位相分开

分开之后

eiωt跟这个eiωt就约掉了

两个就约掉了

然后我再把eiф除过来

大家看就这个形式

于是就剩下谁呢

剩下这边把它都除过去了

就剩下Aω0平方减ω平方

加上i2倍的δω

等于h，因为除过去了

e负的iф

e负的iф写成这种xy形式

就是cosф-isinф

这是一个复数的方程

复数方程实部要相等

虚部要相等

所以就出来两个方程

一个是实部相等

一个是虚部相等

就出来两个方程

大家看这个方程

由这个方程我们看到

这个sinф是小于0的ф

是负π到正π之间

所以sinф小于零

说明这个ф

是在负π到零之间

然后

把这个平方加上这个平方

就把A方得到了

A方就等于这一些项

等于h平方

于是就把A得到

A就等于h除以根号下

括号ω0平方减去ω平方的平方

再加上4倍的δ平方ω平方

我们就把A求出来了

然后这两个由这个式子

就可以把这两个一除

就把tanф求出来

于是ф就等于tg负2δω

除以ω平方减去ω平方

我们刚才说了

因为sinф小于零

所以ф是在负π到零之间

这样的话

我们把它的振幅A求出来了

把它的初位相ф求出来了

于是这个特解就得到了

那么这个ф是什么含义呢ф

应该是特解位相

减去策动力的位相

因为策动力

把它的ф取作零

策动力写作Fcosωt

把它的初位相取作零

而我这个受迫振动的解

是Acosωt+ф

所以ф就等于

是特解的位相

减去策动力的位相

现在ф小于零

说明什么呢

说明策动力是位相超前的

策动力带动了特解

于是策动力应该是在前

这个特解在后

特解的位相落后于

策动力的位相

所以体现了这种

主动和被动的关系

我现在有了特解了

于是呢

我的受迫振动的通解就有了

前边是欠阻尼的通解加上特解

就是我受迫振动的通解

四是稳态解

这个解

前边的解是阻尼振动解

阻尼振动解

它总是在不断的减小

它的振幅总在不断的减小

能量机械能也不断的减小

所以总有在一段时间后

它是最后趋于零

正因此长时间的

稳定状态的受迫振动解

就是它的特解

这个解我们称为稳态解

就是稳定状态之后

它的阻尼振动解已经消失了

那么现在的解称为稳态解

所以稳态解就是特解

就是Acos（ωt+ф）

这里边ω

就是策动力的圆频率

A和ф我们都已经求出来了

所以特解是完全确定的

那么特解的特点

也就是稳态解的特点

它是简谐振动

它是完全按照策动力的频率

来进行振动的

一个简谐振动

这里边A ф是一个确定的常数

它跟前边我们说的

无阻尼自由振动的

简谐振动里的Aф是不一样的

那里边的Aф是待定常数

而这里边的A ф是确定的常数ф

是x就是受迫振动的稳态解

和策动力频率的位相差

这个系统是个非孤立系统

因此机械能不守恒

它有阻尼

它就有耗散

那么外界不断的供给能量

它又保持着一个稳定的一个简谐振动

它的运动规律

跟无阻尼自由振动是相同的

都是简谐振动

但是物理的本质完全不一样

后者无阻尼自由振动

它是孤立系统

机械能守恒

按固定的频率

就是系统本身的频率振动

A ф是待定常数