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下面我们介绍一下章动

陀螺在重力矩下

它的瞬时的运动

就是一个章动现象

那什么是章动现象呢

我们想象一下

假如这是一个陀螺

这个陀螺本来是稳定的

比如我用这个手扶住着它

于是它不受外力矩

它稳定的自转

我现在突然一撒手

刚才说

你在外力矩作用下

它应该是进动的对不对

但是你突然一撒手

它怎么能够这么稳定进动呢

它应该有一个向下的运动

所以真正的

陀螺在突然施加外力矩情况下

它的瞬时运动

是向下运动

这陀螺轴向下运动

然后这么转

这么转

这种点头运动

我们叫章动

这样的运动

我们叫进动

所以它的瞬时运动

是章动和进动的组合

这就是我们说的章动

我们讨论一下

章动给大家做一个简单的解释

那么首先是

自转角速度很大

这样的话这个

角动量大概是常数

然后这个外力矩约等于谁呢

约等于总角动量的自转

引起的方向的改变

约等于ΩL

这个ΩL是总角动量的

进动角速度叉上它

这种情况下讨论

而这个我们也近似为常矢量

来分析一下这个现象

现在我演示一下

这个章动现象

来解释它的原因

这个代表一个陀螺

陀螺的实体

这是它的轴线

现在大家想象一下

它高速自转

于是它的角动量是这个方向

我现在拿手扶着它的头

于是它是稳定的

沿着这方向转动

整个系统是稳定的

我现在突然一撒手

这陀螺的质心在这儿

于是它受到一个向下的

一个重力

在对这个质点来说

有这方面的一个力矩

重力矩

我们由对定点的

角动量定理知道

在这个作用下

它的这个总角动量

必须立刻的

沿着这个方向有个转动

因为我们刚才分析过

总角动量的大小基本不变

它就是方向改变

方向改变

是这个方向的角速度

就是这个

大家看

这就是它的

总角动量的进动角速度

是这个方向

一叉这个

就是它的这个方向变化率

正好是沿着力矩方向

所以

我一旦给这施加了重力矩

那么毫无疑问的

毫不犹豫的

这个总角动量

就沿着这个方向进动了

而且还可以假设它的

进动角速度

大ΩL是匀速运动

就这样进动了

它进动了

你是看不见的

但是它进动了

不见得这个要动

要使得它动

必须有一个使它转动的角速度

原来它是跟它是一致的

它里没有使得它

转动的角速度

等到这个总的角动量

撞过去了

它跟它有一个交角了

于是总的角动量

就在这个角动量

这个自转角动量的

垂直方向上有个分量

在这个方向上

有一个角动量分量

大家知道

我这个方向上有角动量分量

一定在这个方向上

有个角速度

对吧

我原来这个自转轴在这儿

它走了它并没有动

所以在这一瞬时

它是不动的

它一转过去以后

在这个方向上有了角速度

角动量分量有个角速度了

这个角速度就使得

这个陀螺轴发生转动了

这个角速度这个方向

就使得它怎么转呢

往下动

所以它走的时候

它开始不动

然后它往下动

它一往下动

大家看

它往下动

这个角动量

在我这个方向上就有了分量了

可是大家注意

我刚开始这角动量是水平的

没有任何一个力矩

使得它有向上向下的

角动量的运动

所以在这种情况下

这个角动量

在z轴上的分量

应该是守恒的

应该是零

现在我这个低头了

它在这个方向上有了角动量

于是立刻在这个方向上

应该有一个叫动量跟它抵消

这个方向有角动量

就在这个方向上有角速度

这个角速度

使得它怎么样呢

在低头的同时

这个角速度

使它这个方向转动

所以它是稳定的这么转

它是低头转动转动转动

随着低头低的多

这个转动进动的角速度大

所以刚开始

它走的快

它走的慢

后来它走的快

它走的慢

所以它是这样走

走 低头 转动

然后追它

追到底下

到了这个位置大家看

这个总角动量

在这个方向上没有分量了

所以它低头的角速度没有了

它到了它底下的时候

这个转到了最低点

转到最低点

它要超过它往前走

于是总角动量

在这个方向上

就有了分量

这个方向分量

这个方向分量

使得怎么样呢

使得它抬头

所以大家看

它走

它低头追它

追到最低点

靠前就开始抬头了

它一抬头

这个角度变小

于是这个方向转动的

角速度变小

所以它抬头

它就追它

最后它到水平

它俩又重合了

于是就形成了

一圈一圈一圈

这样的点头章动

我们就把章动现象

给大家做了解释

现在我用车轮来演示

陀螺的一些性质

首先让它转动起来

这就是一个陀螺，

那么我现在这种情况

我把重心调在这儿

于是整个的陀螺不受外力矩

那么它应该保持方向不变

保持方向不变

现在我敲击它一下

于是它的总角动量

就跟车轮的

自转角动量不一致了

那么这种情况下

因为不受外力矩作用

那么它的总角动量方向不变

而车轮的自转轴

要绕着总角动量进动

我们现在把这个车轮

再加速一下

演示这个实验

现在总角动量就是

车轮自转角动量

所以它的方向不变

我现在敲击它一下

那么总角动量

跟车轮自转角动量不一样了

于是车轮的自转轴

就绕着总角动量进动

这就是在

没有外力矩的情况下

它的自转轴还可以发生进动

我们就演示了这个实验

下面我们演示一下

在有外力矩的情况下

车轮的进动

现在我调整平衡铁

就使得它的这个重力矩

就不通过它的质点

于是大家看

我是这样的一个外力矩

所以它的外力矩

是这个方向

在这个方向上

那么我如果有一个转动

形成陀螺的时候

它就要在力矩的方向上

有个进动

沿着力矩的方向进动

这就是陀螺在外力矩作用下

的稳定进动

那么下面再看另一个实验

我还是让它变成陀螺

在你陀螺转动过程中

我突然加上外力矩

是这方向外力矩

那么它不是稳定进动

而是一个点头

章动伴随着进动

这样一个瞬态过程

我们上课讲了

它为什么会产生章动

就是点头的现象呢

就是因为

这是我们从陀螺的运动谈起

在加上外力矩之后

那么它的总角动量

要有一个进动

立刻实现进动

我们假如把这个

看作总角动量

那么加上外力矩之后

它就有一个进动

进动之后

那个角动量

就在这个陀螺的侧面

产生一个角动量

这个角动量

就引起了这个方向的

转动角速度

于是它就往下低头了

所以低头是这个引起的

那么我这么说

有没有实验根据呢

我可以继续做一个实验

大家看

我刚才做第二个实验的时候

这个车轮

实现的是稳定进动

并没有点头章动

原因什么原因呢

大家可能没有注意

现在看一下

我要想让它稳定进动

我不能马上松手

我推着它

送它一个这样的初速度

这个初速度

是我估计的

总角动量的进动角速度

这样的话

如果车轮的自转轴

随着总角动量方向一起进动

它就没有点头现象

所以

我刚才为什么能实现一个稳定进动

并不是我马上撒手

而是我推着它

让它和总角动量一起转动

这样的话总角动量

在这个对称轴的

垂直方向上没有分量

所以它就没有点头这一种运动

那么我还可以做实验

继续验证我的说法

大家看

当我推着它

使得它和总角动量

有同样的一个进动角速度的时候

它不点头

如果我推它比较快的时候

总角动量的转动角速度

不如我推的初始角速度

这样的话

总角动量是这个方向

我这个偏离它

于是在车轮的自转轴的

这个垂直方向上有了分量

这个分量会使得什么呢

会使得这个车轮的自转轴

向上抬起

所以我如果推的过快

车轮的自转轴会抬起来的

也就是说

我如果松手的时候

我突然松手

它要向下点头

我开始推着它

和总角动量的角速度一样

它是稳定进动

我如果推的过快

它将向上抬头

现在我们去做第三种情况

看它会不会向上抬头

我推的它过快

于是它不是向下点头

而是向上抬头

这样我做的这几个实验

就解释了

验证了我在前边讲的

对章动的解释

是有道理的

那么这个实验就做完了