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Video课程教案、知识点、字幕

我们现在看

第五

利用势能曲线和相图

定性讨论质点运动

这是了解内容

不是基本内容

所以大家了解一下就可以了

扩展一下我们的知识

特别是提出相图的概念

我们知道

如果是一个空间轨迹的话

不能够完全描述

这个质点的动力学状态

比如说

我用一个绳子挂着一个小球

它来回摆动

它的轨迹就是一个圆周

当你摆到这点的时候

它可能速度大

也可能速度小

你只能知道它的轨迹

不能确定这个动力学状态

因为描述动力学状态

除了它的矢径之外

还知道它的速度

你确定不了速度

换句话说

轨迹和它动力学状态

不是一一对应的

那么相图就可以描述出来了

你的动力学状态

就是矢径和速度v

与相图

相图就是v和r的图

叫相图

相图上的点

就可以一一对应

所以相图可以完全描述

一个系统的动力学状态

那么这样的话相图

速度是三维的

矢径是三维的

所以相图本身是六维的

所以一般画相图

我们画不出六维来

我们一般画的是两维相图

比如说我的r是x

它的速度是vx

所以一般的相图二维的

横轴是x

竖轴是vx

这叫相图

这相图上一点

对应着坐标x和它的速度vx

就跟动力学状态对应起来了

我们看一个例子

作为简单的说明

这是一个单摆

为了避免脱离圆周轨道

所以我们用的是杆

一个轻杆

系着一个小球来回摆动

那么它的势能

我取下面这点做势能零点

杆长是l

于是在θ位的时候

这个势能是mgl(1-cosθ)

那么它的动能就是这个

这是它的动能

这是它的势能

机械能等于动能加势能

而我们知道在摆动过程中

忽略它轴上的摩擦

忽略其他的摩擦影响

这整个的小球和地球系统

它的机械能是守恒的

所以机械能是个常数

如果给了你机械能

我就可以把这个角速度求出来

就是对应某一个θ值的时候

对应着角速度θ一点

我们知道

这个线运动是xyz

和vx vy vz

它的相图是x横轴

vx纵轴

现在是转动运动

我们的参量是θ

于是它的相图就是θ

和θ一点构成的

那么我们来看这图

大家看下边就是相图

这个横轴是θ

这个纵轴是θ一点

于是这个相图上一点

就对应着一个

确定的一个动力学状态

比如θ角是这个情况下

它的角速度多少

这样的相图

就跟它的动力学状态一一对应

我们上边画的是什么呢

是势能曲线

就是这个图

势能曲线

这是势能曲线最高点

这个是三个不同的机械能

这是第一种机械能

第二种机械能

第三种机械能

给了三种机械能的情况

我们对应来看一下

第一种机械能

是这个位置

它最高的点是2mgl

所以它比它低

于是在这个位置

所以在这个位置的时候

它是来回摆动的

第二个机械能恰好是跟那个相切

所以可以摆到什么呢

最高点

第三种超过它了

就可以一直摆动下去

这是三种不同的机械能

我们来看这种机械能

这种机械能的话

它的运动就是

这个摆球的运动

在θ坐标上

就是从这个角度

摆到这个角度

在这两个之间来回摆动

来回摆动大家看

在轨迹上的A点

对应着哪儿呢

对应着这个相图上的两个点

当我从这儿往这儿摆的时候

角速度是正的

这地方的角速度越大

所以它对应着A1点

它是向这个方向摆

角速度是正的

所以它对应着相图上这条轨迹

你在这儿运动

它对应这个轨迹

这叫相轨迹

等到它到了这个位置的时候

势能等于它的机械能了

于是它的动能是零了

到这儿动能是零

角速度是零

然后它开始往回摆

往回摆的时候

它就是走的负方向

它沿着这个方向走

到这儿变成了A2

所以在轨迹图上的一个点

它不能描述它的动力学状态

在相图上是两个点

分别描述它的θ参量

和它的角速度参量

都可以描述出来

这就是变成了两点

现在我就利用

这个势能曲线和这相图

来定性的描述它的运动情况

那么我们先看

从这个地方出发

就从这地方摆动出发

这个地方

我现在是机械能是E1

在这个地方势能最小

所以它的动能最大

所以它的这个角速度最大

然后往这儿走

角速度越来越小

于是它的相轨迹是这样的轨迹

到了这一点的时候

角速度是零

但是它受了一个反方向力

它开始向这样运动

就是往回走

往回走角速度越来越大

但是反方向运动

到了这个位置

角速度的值最大

就到了A2点

然后从这儿往前走

角速度越来越小

走到这儿

到这儿又是零

于是就这么样在相轨迹上

反复的运动

它在这个就在轨迹上来回摆动

在这个势能曲线上

就是这么样一个

从这个角度到这点这点

改变了能量

从相图上

完整的描述了在这个过程中

它的动力学状态

就是它的角速度最大

越来越小

角速度为零

然后角速度反过来最大

这样一个相图的运动

这就是利用相图和势能曲线

来定性描述它

本来这应该是画出一个椭圆

但实际上

我们定性描述的时候

只需要把两边的位置确定下来

大致就可以看出这个形状了

如果你的能量是E2的话

那么它摆动起来就这样走

到这儿是个临界状态

有可能回头接着再走

也可能到这儿继续往前走了

这就是它的情况

然后看这个

这个就是这样一条曲线

就是它往这边摆

就走这条曲线

往回摆就走这条曲线，

它就是一直摆动下去

这样的话

由能量势能曲线和相图

可以定性描述出

它的质点的运动情况

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微积分简介

-一.导数与微分

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绪论

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Ch1.质点运动学

-§1 矢量简介

-Ch1.质点运动学--习题

-§2质点运动学

-§3 相对运动-参考系变换

-习题

--习题

Ch2. 质点动力学

-§1牛顿力学.力

-§2万有引力定律

-习题--作业

-§3 牛顿力学应用

-§4.非惯性系.惯性力(上)

-习题

--习题

-§4.非惯性系.惯性力(下)

-习题

--习题

Ch3.动量

-§1动量.质点动量定理

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-§3质心和质心运动方程

Ch4.功和能

-§1动能.功.动能定理

-Ch4.功和能--习题

-§2保守内力.势能

-§3机械能定理.机械能守恒

-习题

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-§4自由碰撞

Ch5.角动量

-§1质点角动量.质点角动量定理

-习题--作业

-§2质点系角动量定理

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-§3万有引力场中质点运动

-§4.刚体 (上)

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-§4.刚体 (下)

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-§3理想流体动力学(上)

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