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Video课程教案、知识点、字幕

第三

质点角动量守恒定律

还是我们选一个固定点O

定律

如果在一段时间内

它对这个点的力矩

总是0的话

于是

质点的角动量就守恒

也就是常矢量

那么这个常矢量

特别要给大家注意的

因为

角动量是常矢量守恒

质点做平面运动

所以这个结论

特别要给大家强调一下

因为什么做平面运动呢

角动量守恒

它的方向大小都不变

方向不变

比如这是角动量的方向

它保持不变

于是质点一定在跟这个

角动量垂直的平面内运动

不可能离开这平面

因为你一旦离开了平面

它的角动量就不再垂直了

所以方向守恒

说明这个质点

做一个平面运动

所以这非常重要

因为什么呢

我们一个质点

如果没有一个限制的话

它可以做一个三维的空间运动

如果有角动量守恒

断定它做一个平面运动

对我们解决问题大有帮助

所以这是很重要的一个结论

下面说分量守恒

也就是是对轴的角动量守恒

如果

对某一个固定点的力矩

不等于0

但是呢

对某个轴的力矩是0的话

那么质点对某个轴的角动量

就守恒

这叫分量守恒

或者对轴的角动量守恒

我们看一个例子

在一个有心力场里面

对力心力矩是0

因此

一个质点在有心力场里运动

一定做一个平面运动

它的角动量守恒

那么就是面积速度保持不变

所以这就是我们的

一个应用

那么前面我们讨论的时候

比如说讨论

这个质点的有心力场运动的时候

我们就直接用平面

极坐标系来讨论

其实是有欠考虑

也需要证明

它要是做平面运动

我才可以用平面极坐标系来讨论

所以为什么能证明它

就因为它对力心

角动量是守恒的

我们再看一个例子

在一个光滑的水平面上

一个质点由一个轻绳系着

绕着O点

做着匀速率的圆周运动

速率是v

让你讨论一下

这质点对O点

和O′点的角动量

O′点是竖直轴y轴上的一个点

我们来讨论

这个角动量的情况

先看一下对O点

我们看

在整个的转动过程中

小球的动量大小是不变的

都是m乘v

在图示的情况下

大家看在图示的情况下

我现在要想求这个质点

它对O点的角动量

于是这是它的失径

这是它的动量

它两个一叉积

于是向上的

所以它对O点的角动量

是竖直向上的

角动量是y方向的

再看大小

它跟它垂直

于是大小是mvr

所以大家看

这个角动量

大小和方向都不变

所以角动量守恒

那么为什么角动量守恒呢

因为这个质点所受的合力

就是绳子的张力

这绳子张力通过了O点

所以它合力对O的矩是0

所以它角动量守恒

这也是必然的

所以角动量守恒

它也满足角动量定理

我们再看对O′

对O′点大家看

在这一时刻

它的动量是这个方向

这是它的失径

角动量等于失径r′叉上动量

一叉是这个方向

跟这个失径方向垂直

所以它的方向

对O′点的角动量

是这个方向

那么它的大小等于多少呢

因为r′跟mv垂直

所以它的大小就是r′mv

那么我问大家一下

这个角动量守恒不守恒呢

大家看

它的大小确实是一直不变的

但是

随着质点的运动

它的方向

绕着这个y轴在转动

所以虽然大小不变

但是方向一直在改变

所以Lo′不守恒

这就是我们说的

同一个质点

对不同的一个取矩点

它的角动量不一样

这个是守恒的

对它是守恒的

对它就不守恒

不但大小改变

方向也改变了

这就是不同的取矩点

角动量是不一样的

那么下面

我们就来看分析一下

为什么它的角动量不守恒

那显然是因为有力矩的作用

那么

这个质点所受的合力

对于这个的矩是多少呢

这个力是这个方向

这个就是力臂

所以这个质点所受的合力

对O′点的力矩

它的大小就是

力乘以这个的高度

这个的高度

等于r′乘以cosθ

所以我们看

它的这个力矩的大小

等于T1乘以r′乘以cosθ

这是它的大小

我们再看它的方向如何呢

它的方向

这个力是这个方向

这样的话

这个力矩的方向是

垂直纸面向外的

这是它的力矩的方向

就是垂直纸面向外

那么我们再来看

这个力矩的大小是T乘r′

乘以cosθ

张力等于多少呢

张力是等于质量

乘以向心加速度

向心加速度是v乘以ω

大家看

刚才我们知道

r′乘以mv

正好是这个角动量的大小

所以它等于角动量大小

然后这乘个ω

这乘以cosθ

所以力矩的大小

我们可以得到

它等于大小等于L

角动量大小乘以ω再乘以cosθ

这是我们求出它的力矩

它的力矩不是0

所以它的角动量不守恒

角动量有个变化率

我们下面来看一下

角动量的变化率

角动量的大小是不变的

方向改变

所以在这个问题里面

角动量的变化率

就是方向变化率

方向变化率我们曾经说过

一个矢量的单纯方向变化率

等于它的转动角速度

叉上它本身

转动角速度

就是这个m

绕着它转动的这个角速度

所以就是ω叉Lω

是这个方向

L这个方向

两个一叉积

那么大家看

方向什么方向呢

也垂直纸面向外

跟力矩的方向相同

再看大小怎么样ω

叉L等于ω大小乘L大小

乘以它夹角的正旋

夹角正旋正好是cosθ

所以它等于它

于是我们看

我们就论证了

角动量的变化来自力矩

而且满足角动量定理

角动量变化率等于力矩

那么这是问题

我们已经讨论完了

那么我们再讨论一个问题

我们刚才说

你应用角动量定理

必须对定点才对

如果这点是运动的

不是定点

比如现在有个小车

小车上有个O点

随着小车运动

那么我怎么样

对这个O点

应用角动量定理呢

我能不能直接对O点

应用角动量定理呢

我们说不可能

或者说不正确

因为我们讨论的角动量定理

一定是对固定点

它现在运动

你不能够对它

应用角动量定理

那么能不能想办法

应用角动量定理呢

现在有两个方法

一个是你选择在这一时刻

跟这个小车上O点

重合的地面上的点

可以应用角动量定理

这是没问题的

因为那个重合点

是固定在地面上

是个定点

如果你说

我非得对小车上这个点

应用角动量定理

那么对不起

你必须换参考系

换小车做参考系

在小车参考系里面

这个点是固定的

于是就可以应用角动量定理了

但是

小车往往可能是个非惯性系

所以你如果是非惯性系的话

你要应用非惯性系的

角动量定理

力学课程列表：

微积分简介

-一.导数与微分

-二. 积分

绪论

-绪论

Ch1.质点运动学

-§1 矢量简介

-Ch1.质点运动学--习题

-§2质点运动学

-§3 相对运动-参考系变换

-习题

--习题

Ch2. 质点动力学

-§1牛顿力学.力

-§2万有引力定律

-习题--作业

-§3 牛顿力学应用

-§4.非惯性系.惯性力(上)

-习题

--习题

-§4.非惯性系.惯性力(下)

-习题

--习题

Ch3.动量

-§1动量.质点动量定理

-§2质点系动量定理

-习题

-§3质心和质心运动方程

Ch4.功和能

-§1动能.功.动能定理

-Ch4.功和能--习题

-§2保守内力.势能

-§3机械能定理.机械能守恒

-习题

--习题

-§4自由碰撞

Ch5.角动量

-§1质点角动量.质点角动量定理

-习题--作业

-§2质点系角动量定理

-习题

--习题

-§3万有引力场中质点运动

-§4.刚体 (上)

-习题

--习题

-§4.刚体 (下)

-习题

--习题

Ch6.连续介质力学

-§1应力应变

-§2.固体形变和流体静力学(上)

-§2.固体形变和流体静力学(下)

-Ch6.连续介质力学--习题

-§3理想流体动力学(上)

-习题

--习题

-§3理想流体动力学(下)

-§4粘滞流体动力学(上)

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-§4粘滞流体动力学(下)

-§5流体阻力(上)

-习题

--习题

-§5流体阻力(下)

Ch7. 振动和波

-§1自由振动.简谐振动

-Ch7. 振动和波--习题

-§2阻尼和受迫振动

-§3简谐振动合成(上)

-习题

--作业

-§3简谐振动合成(下)

-§4简谐波

-习题

--作业

-§5波动方程.波速

-习题

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-§6衍射反射折射多普勒效应

-§7简谐波迭加.非谐波传播

-习题

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-§8驻波

-习题

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Ch8.狭义相对论

-§1 基本原理

-§2 L氏坐标变换.速度变换(上)

-习题--作业

-§2 L氏坐标变换.速度变换(下)

-习题

--习题

-§3 相对论动力学基础

-习题

--习题

-§4 质量.动量.能量.力相对论变换;不变量

-习题

--习题

Ch9.广义相对论

-§1.基本原理

-§2史瓦西场中时间与空间(上)

-§2史瓦西场中时间与空间(下)

-§3大爆炸宇宙学简介

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