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Video课程教案、知识点、字幕

下面呢我们讨论具体问题

平抛

平抛呢就是把一个质点

从这个地方水平抛出

于是质点在重力作用下呢

沿着一条轨迹下落

那么平抛的时候

它的加速度

等于重力加速度

等于负的g乘以z

我现在呢

z选择的数值向上

作为它的方向

这就是数值向上的

z方向的单位矢量

写成-gz

那有人就问了

你这怎么平白出现个负号呢

我们一会儿再说这个负号问题

然后初始条件

因为你这道题一看就知道

它是已知加速度来求位置

和速度的问题

所以它有两个初始条件

一个它从哪儿抛出的

抛出点在原点

所以它是(0,0,0)

这是抛出的点

这是第一个初始条件

第二个初始条件

就是你抛出的时候

它的速度多少

我们知道平抛的时候

速度是沿着x轴的

所以只有这一个速度

就是(b,0,0)

x方向的速度等于b

其他的速度都是0

就是两个初始条件

解这样的一个运动学问题

而且是一个空间运动问题

我们可以用两种方法

一种方法我们用矢量形式

来解答这个问题

另一种形式

是用投影的办法来解决

我们中学的办法一般都是写投影

就是沿着x轴怎么运动

y轴怎么运动 z轴怎么运动

这都是可以的

你任意选择一种方法做

都是可以的

我们现在呢就选用矢量的方法

我们求速度

就把这个速度这关系式写出来

v=v0+at

这是常矢量的情况

因为这个加速度是常矢量

所以这是加速度常矢量情况

是等于 v=v0+at

于是呢

把这个初始条件代进去

v0呢它是只有x方向有

就是dx

那么a呢是等于-gt

-g z方向的

所以乘以t

就是-gtz方向的矢量

写成这种形式就是(b,0,-gt)

这就是t时刻我的速度

速度呢沿着x方向是个常数

沿着z方向是负的gt

这速度有了

再看矢径

矢径呢也是套用这个公式

等于r0加上v0t

加上½at²

r0是0 v0呢是bx

所以它这是btx

这个v0t只有一项

一个分量

那么a呢也是只有一个方向

所以是负的gt²z/2

注意

因为你是矢量式子

所以这个单位矢量绝不能丢

丢了任何一个就是全错了

不符合矢量的运用和应用的办法

还可以把这个写成这个形式

(bt,0,-gt²/2)

这就是我们得到的解

那么刚才说为什么

我可以把加速度

要写成负的gz呢

这负号从哪儿来呢

我们就要讨论这个问题

由矢量式列投影式

有个符号问题

我们就要专门来说一下

首先

公式有符号

就是矢量公式本身有符号

比如说v'等于v-ve

这就是一个矢量的关系式

它本身有符号

这个符号绝不能动

这是矢量公式本身的符号

第二个我把这个矢量式

写成投影式的时候

还要考虑符号问题

叫投影符号

如果你把这些量

写成投影式的时候

这些量都用投影来代表

那么不需要加任何的符号

只保留公式的符号

那同学就问了

说你写成投影的形式

你都不要加角标吗

一加角标我就知道是投影形式了

你为什么还要有两种可能呢

就是因为

我们如果加上角标了

我就确切知道这是个投影

但是我们有习惯

比如说同样一个v

注意不写重体的v 就是普通的v

我可以有两种考虑它的应用

第一种考虑

就把这个v当做模

当做模它就是只有正数了

第二种考虑我v当做投影

我不加角标

它还可以当做投影

所以同样一个字母v

有两种的应用

两种的用法

于是你就要考虑这个问题了

所以如果该量取为投影

就不需要另加符号

如果该量取为模

就要考虑加上投影符号

就是除了公式符号之外

还要考虑加上投影符号

也就是说

你矢量式要写成投影式

第一步先要选择投影方向

必须选择投影方向

才能写成投影式

选择投影方向之后

再列投影式

列投影式的时候

就是刚才这个考虑了

你把这个符号这个量

是当做投影呢

还是当做模呢

当做投影

你把它从适量式列成投影式

不需要加任何的符号

你如果要当成模的话

就要考虑加投影符号了

咱们看个例子

就是刚才那个问题

上面那个问题

上边那个问题

我刚才呢是

讨论的是加速度

是a加速度

加速度呢我们知道是数值向下的

对吧

如果我把z的正方向

选择数值向上

那么a这矢量就等于呢

重力加速度

这都是矢量

当然没有任何其它的符号了

然后如果我把这个

大家看我一写成gz 加个角标z

就说明这是重力加速度

在z方向上的投影

你把它选择做投影了

不需要加任何符号

也绝不能加任何其它符号

跟这个矢量公式保持一致

刚才我写的是-g

大家注意我写的是-gz

这个g本身没有加角标

没加角标就有两种可能

一种可能

你给它代表这个投影

这时候就不能加上负号了

一种可能

你把它当做绝对值

当做模

就是这个重力加速度的模

这时候要考虑加负号了

我现在重力加速度实际是向下的

你选择投影方向向上的

因此

你的这个实际的矢量方向

应该跟你的这个单位矢量方向

应该相反

你这又选择作为正数来处理

就必须加个负号

于是这个负号

我们叫做投影符号

所以呢

你这个当做模的时候

重力加速度的大小等于9.80

你这个写成投影的时候

az或者gz写成投影的时候

它是负的9.80

也就是说

你选择投影的时候

投影带正负

已经把方向考虑进去了

所以不需要加任何符号

可是如果你选择模的话

它自己本身一定是正的

你就必须考虑

有没有加上负号了

所以刚才我们要加个负号

如果你取z的正方向向下

而重力加速度要向下的

这时候你写出来

就是加速度等于重力加速度

等于它的投影乘以这个z

大家看

无论你选的正方向向上向下

凡是写成投影

都不需要加符号

然后你现在这个取做模

于是因为它的方向

跟这个投影正方向相同

所以这里不需要加投影符号

这个时候大家看

我选正方向向下的时候

我加速度的投影

重力加速度的投影

是变成正的了

所以它自动的变成正的

而这模呢还是正的

这是第一个例子

我们来看第二个例子

就是刚才说有这样一个矢量公式

v'等于v-ve

现在呢

这是速度v 这是速度ve

这是投影的方向

x方向

现在呢我要把这个式子

v'等于v-ve

要写成投影式

投影到哪儿呢

投影到x轴上

现在把这个v和ve取做模

大家注意

这个时候我是把v看作模了

ve也是模

那同学问

你这不是加上角标了吗

它不就是变成投影了吗

注意

这个角标不是代表投影的角标

这是代表的我们以后说

它是一个牵连速度的角标

真正投影角标

是要写成vex的

所以把这个公式

矢量公式写成投影式

这都代表投影

vx'等于vx-vex

大家看我加这个角标

才表示

这个是ve在x轴的投影

你都用投影来表示

所以你看没有任何其它符号

然后把这个vx

写成这个模的计算

vx是这个v在x轴上的投影

大家一看是正的

所以它是v乘以cosα

是vx这个投影

减去vex

这是ve在x轴的投影

vex投影

大家一看就是负的了　对吧

而我这个ve本身是正的

所以它就是ve乘以cosβ

还要加个负号

这个负号就是投影符号

这就是我们的第二个例子

第三个例子

大家看

像这个是一个质点

做一个直线运动

加速度的大小模

是等于5m/s²

那么a呢

是等于矢量式写出来的话

应该a等于v的导数等于-5x

就是它的大小是5

但是呢

我这个选的x作为正方向

于是a等于-5x

现在呢我在x方向投影

x方向投影

我把a呢是表示是投影

vx也表示投影

就不需要加任何投影符号

就是ax等于dvx/dt

这个时候ax本身是负5

然后

我还可以写成a等于dv/dt

这个时候我没有加角标

那么a呢我想象着是投影

v呢也是投影

所以虽然没有加角标

也不需要加上投影符号

最后

我现在把a当做模了

把v还当做投影

这不需要加任何符号

这个需要加个负号

这就是我们符号的处理

所以这样的话

为了避免发生混淆

为了避免你自己出现混乱

我们一般呢

要是把投影都加上角标

这就不会错了

就是你脑子里想当做投影

最好加个角标

反过来如果你写上角标了

它就必定是投影

不能当做模来处理

这是我们的一个例子

所以

你现在就要注意这样的做法

就是把矢量式写成投影式

要注意符号问题

力学课程列表：

微积分简介

-一.导数与微分

-二. 积分

绪论

-绪论

Ch1.质点运动学

-§1 矢量简介

-Ch1.质点运动学--习题

-§2质点运动学

-§3 相对运动-参考系变换

-习题

--习题

Ch2. 质点动力学

-§1牛顿力学.力

-§2万有引力定律

-习题--作业

-§3 牛顿力学应用

-§4.非惯性系.惯性力(上)

-习题

--习题

-§4.非惯性系.惯性力(下)

-习题

--习题

Ch3.动量

-§1动量.质点动量定理

-§2质点系动量定理

-习题

-§3质心和质心运动方程

Ch4.功和能

-§1动能.功.动能定理

-Ch4.功和能--习题

-§2保守内力.势能

-§3机械能定理.机械能守恒

-习题

--习题

-§4自由碰撞

Ch5.角动量

-§1质点角动量.质点角动量定理

-习题--作业

-§2质点系角动量定理

-习题

--习题

-§3万有引力场中质点运动

-§4.刚体 (上)

-习题

--习题

-§4.刚体 (下)

-习题

--习题

Ch6.连续介质力学

-§1应力应变

-§2.固体形变和流体静力学(上)

-§2.固体形变和流体静力学(下)

-Ch6.连续介质力学--习题

-§3理想流体动力学(上)

-习题

--习题

-§3理想流体动力学(下)

-§4粘滞流体动力学(上)

-习题

--习题

-§4粘滞流体动力学(下)

-§5流体阻力(上)

-习题

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-§5流体阻力(下)

Ch7. 振动和波

-§1自由振动.简谐振动

-Ch7. 振动和波--习题

-§2阻尼和受迫振动

-§3简谐振动合成(上)

-习题

--作业

-§3简谐振动合成(下)

-§4简谐波

-习题

--作业

-§5波动方程.波速

-习题

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-§6衍射反射折射多普勒效应

-§7简谐波迭加.非谐波传播

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-§8驻波

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Ch8.狭义相对论

-§1 基本原理

-§2 L氏坐标变换.速度变换(上)

-习题--作业

-§2 L氏坐标变换.速度变换(下)

-习题

--习题

-§3 相对论动力学基础

-习题

--习题

-§4 质量.动量.能量.力相对论变换;不变量

-习题

--习题

Ch9.广义相对论

-§1.基本原理

-§2史瓦西场中时间与空间(上)

-§2史瓦西场中时间与空间(下)

-§3大爆炸宇宙学简介

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