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Video课程教案、知识点、字幕

导数

什么是导数呢

导数就是函数的变化率

也就是函数平均变化率的极限

函数y=f(x)

我们选定一个确定的点x

x从x这点变化到x+Δx

那么自变量有个增量Δx

函数值也有个增量Δy

Δy等于多少呢

就等于末态的

x+Δx的函数值

减去初态f(x)

这就是函数的增量

这是自变量的增量

函数的增量除以自变量的增量

我们称之为

这个函数的平均变化率

然后这平均变化率取极限

Δx趋于0的极限

这个极限值

我们就定义

这个函数在x处的导数

写作f'(x)

或者写作dy/dx

这就是导数的定义

我们知道这个定点x

也可以任意选

所以我们的导数

实际上也是个x的函数

所以它也称之为导函数

或者简称为导数

我们再看一下

导数的几何意义

这是一个平面

这是一个函数曲线

y=f(x)的函数曲线

我们选定了一个定点x

对应着曲线上的一个点p(x,y)

现在自变量有个增量

增量到这儿

于是对应着曲线上的一点p'点

那么在这个变化过程中

自变量的增量

就是Δx

也就是我们这里的Δx

这个数值这个

就是函数的增量Δy

Δy/Δx

就是这条连接两个点的割线的斜率

所谓斜率

就是这条斜线的倾角φ的正切

也就是说

它的平均变化率

就是割线的斜率

当我Δx趋于0的时候

p'点无限的接近p点

于是这条割线就变成了切线

于是这个导数

就是切线的斜率

也就是切线的倾角的正切

就是它的导数是tanα

我们有了导数

就可以求极值和最值

所谓最值就是最大值最小值

首先我们看

这个函数的增减

如果在这个区间里边

导数大于0

还有像这个也是导数大于0

那么自变量增加的时候

函数值跟着增加

自变量增加函数值跟着增加

我们称之为

这叫函数的增量区间

或者增函数区间

反过来

如果在这个区间里边

导数小于0

这个区间导数小于0

那么自变量增加函数值反而减小

我们就称为这是减函数区间

那么大家看

在这个情况下

由增函数变成减函数

那么在这个点上

它的导数是0

也就是它的切线是水平的

同样在这个点上

它的导数也是0

切线也是水平

那么对这一点来说

这一点的函数值比它周围的

函数值都大

我们称之为极大值

这一点它的函数值

比周围的函数值都小

我们称为极小值

因此我们看到

一个可导的函数

它的极值一定是导数为0的点

导数为0的点

我们称之为驻点

所以驻点是可能的极值点

我们求出了驻点

还要判断这驻点

它是不是极值

以及是极大值还是极小值

怎么判断呢

假如这是一个驻点

我们让自变量从小到大通过驻点

如果在这个过程中

导数是从大于0 等于0 变到小于0

那么这个点就是极大值点

还有一个判断方法

就是极大值点

它的二阶导数＜0

二阶导数我们以后再说

那么类似

如果这是一个驻点

我们从小到大

自变量通过这个驻点

如果它的导数值

从小于0 变到大于0

那么这个点就是极小值点

还可以有个判断方法

就是它的二阶导数值大于0

这样的话我们就可以由驻点

求出极值点

那么我们再看一下闭合区间

闭合的可导区间

必然有最大值和最小值

如何去求呢

我们看

在一个闭合区间里面

它的最值的可能点

是什么点呢

第一个就是驻点

第二个是这个闭合区间的两个端点

于是我们就有了求最值的方法

什么方法呢

我们找出这个区间里边的驻点

以及极值点

来比较就可以了

而且这个方法比刚才的方法还简单

我不必判断这个驻点

是极大值点还是极小值点

我直接比较它的函数值就可以了

最大的函数值对应的点

就是最大值点

最小的函数值点

对应的就是最小值点

我们看一个例子

求f(x)等于

x³-3x²-9x+1

在-2到6之间的

最大值最小值

首先我们先求导

求一下这个的导函数

这导函数呢

是3x²-6x-9=0

让它等于0

就求驻点了

那么同学说

说你这个怎么导出来的呢

我们下面再说

总之

它的导函数是这个等于0了

于是这是一个1元2次方程

有两个解实数解

一个-1 一个是3

它的两个端点

是-2跟6

于是我们找出4个函数值来

一个是端点的

一个是驻点的

另一个驻点的

另一个端点的

求出它的函数值

其中最大的函数值是55

最小的函数值是-26

于是55所对应的点6

就是最大值点

对应的最大值就是55

-26所对应的点是3

所以3就是最小值点

对应的最小值是-26

力学课程列表：

微积分简介

-一.导数与微分

-二. 积分

绪论

-绪论

Ch1.质点运动学

-§1 矢量简介

-Ch1.质点运动学--习题

-§2质点运动学

-§3 相对运动-参考系变换

-习题

--习题

Ch2. 质点动力学

-§1牛顿力学.力

-§2万有引力定律

-习题--作业

-§3 牛顿力学应用

-§4.非惯性系.惯性力(上)

-习题

--习题

-§4.非惯性系.惯性力(下)

-习题

--习题

Ch3.动量

-§1动量.质点动量定理

-§2质点系动量定理

-习题

-§3质心和质心运动方程

Ch4.功和能

-§1动能.功.动能定理

-Ch4.功和能--习题

-§2保守内力.势能

-§3机械能定理.机械能守恒

-习题

--习题

-§4自由碰撞

Ch5.角动量

-§1质点角动量.质点角动量定理

-习题--作业

-§2质点系角动量定理

-习题

--习题

-§3万有引力场中质点运动

-§4.刚体 (上)

-习题

--习题

-§4.刚体 (下)

-习题

--习题

Ch6.连续介质力学

-§1应力应变

-§2.固体形变和流体静力学(上)

-§2.固体形变和流体静力学(下)

-Ch6.连续介质力学--习题

-§3理想流体动力学(上)

-习题

--习题

-§3理想流体动力学(下)

-§4粘滞流体动力学(上)

-习题

--习题

-§4粘滞流体动力学(下)

-§5流体阻力(上)

-习题

--习题

-§5流体阻力(下)

Ch7. 振动和波

-§1自由振动.简谐振动

-Ch7. 振动和波--习题

-§2阻尼和受迫振动

-§3简谐振动合成(上)

-习题

--作业

-§3简谐振动合成(下)

-§4简谐波

-习题

--作业

-§5波动方程.波速

-习题

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-§6衍射反射折射多普勒效应

-§7简谐波迭加.非谐波传播

-习题

--习题

-§8驻波

-习题

--习题

Ch8.狭义相对论

-§1 基本原理

-§2 L氏坐标变换.速度变换(上)

-习题--作业

-§2 L氏坐标变换.速度变换(下)

-习题

--习题

-§3 相对论动力学基础

-习题

--习题

-§4 质量.动量.能量.力相对论变换;不变量

-习题

--习题

Ch9.广义相对论

-§1.基本原理

-§2史瓦西场中时间与空间(上)

-§2史瓦西场中时间与空间(下)

-§3大爆炸宇宙学简介

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