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Video课程教案、知识点、字幕

下面我们讨论定积分

定积分我们举一个例子来讨论

积分的概念

积分的计算

来看一下

首先来看一个问题

就是举个例子

一个质点沿着x轴的正方向运动

已知它的运动速度是v(t)

是一个t的时间函数

求t=a到t=b

这段时间里边

这个质点所走的路程

S从a到b走的路程

那么这样的话

我们现在没有现成的公式可以计算

因为我们现在知道

如果是匀速运动的话

它的路程等于速度乘以时间

但是它是个变速运动

所以没有现成的公式

怎么办呢

大家看这个图

这就是一个速度函数的曲线

我要想求t=a到t=b

所走的路程

我就把这个时间

一个有限的一个时间

把它分成n个小区间

这个取做t0

这个取做tn

然后一个一个的时间的小区间

这是第i个区间

ti-1到ti

这是第i个小区间

我把这个化整为零

把它这个时间的从t=a

到t=b这一段时间里边

把它分成n个小时间区间

分得越小

那么区间越小的话

就可以近似了

近似什么呢

就可以近似

把它第i个小区间里边

它的走的路程ΔSi

就可以近似为

它的速度乘以时间了

因为我把区间划的很小

区间划的很小的话

在这个区间里边

速度变化很小

就可以近似计算拿速度乘以时间

所以这是个近似计算

大家看这个近似计算

实际上就是dS的一个微分

S是路程

S微分

因为它是跟这个区间的宽度Δti

是一个线性关系

所以它相当于一个微分

所以我们这里边

想解决这个问题

一个时机问题

利用了微分思想

我在这么一个长的时间段里边

速度变化很大

我不能直接计算

这个时间段里边的路程

但是我可以把它划得很小

就微分思想

分成一小一小段

每一段越小

那么它的速度变化就越小

我就可以近似为这个结果

这是第i个小区间里边的走的路程

然后我要求整个的路程

就把每一个小路程加起来

就是划零为整

于是整个路程等于每小段路程之合

每个小的路程都约等于它的速度

乘以时间

所以它就约等于它

但是这个还是约等于

不严格

于是怎么样呢

我们利用了极限的思想

数学的极限

是个非常重要的概念

你无论划分的多小

它总之是不等的

总有个近似

但是当我取极限的时候

就可以精确相等

所以我取极限

变成精确相等

因此我从a到b所走的路程

就等于谁呢

近似的等于它每划分成小区间

它的每个小区间的速度

乘以时间差

然后我取极限

怎么取极限呢

就把这个时间的宽度

最宽的宽度

最大的宽度

也让它趋于0

取这个极限

于是这个极限如果存在

就是一个精确的结果

把这个极限就叫做

在a到b区间的一个定积分

写作v(t)dt从a到b的积分

这就是定积分的概念

我们把这个讨论的是一个例子

是一个时间函数

我们现在讨论一个普遍的

一个x的函数

f(x)在一个闭区间ab上

的定积分是什么呢

就把这个区间

划分成无数的小区间

然后在这个小区间上

函数值乘以它的宽度

然后取极限

就是最大的宽度趋于0

这个极限值就是这个函数

在这个区间上的定积分

这是定积分的概念

要加以说明

我们知道定积分积分出来之后

它不再是函数了

它是一个数值

定积分的结果是一个数值

它(不是)跟积分变量没关系

它由什么决定呢

由这个函数关系决定

由初始值跟末态值

就是积分的下限积分的上限

有关系

跟积分变量无关

这是一个定积分的很大的特点

然后我们在刚才讲的定义里边

我们的积分的时候

是从小积到大

因此呢

我们的积分下限要小于上限

因此我们的区间宽度Δxi

要大于0

这是我们的定义

但是我们可以把它推广

推广到什么呢

推广到下限大于等于上限

就是可以从右向左来积分

从大往小来积分

所以积分的下限可以大于上限

积分的下限也可以等于上限

这个时候这么积分的时候

区间的宽度就是负的了

这是我们加以两个说明

下面我们看一下

定积分的几何意义

大家看这是x轴

这个就是一个f(x)的函数曲线

我们怎么定义的定积分呢

比如说我从a到b的定积分

等于谁呢

把它划分成一个一个的小区间

每个小区间里函数值

乘以区间的宽度

那么大家一看就能看得出来

函数值乘以区间宽度

相当于这个小的区间的面积

我们把它求和

然后取极限定积分

因此

我这定积分实际上是个面积之和

但是注意呢

如果这函数值大于0

它的曲线在

这个在上边的话

它积分的面积是正的

如果函数值小于0

积分曲线在x轴下方

它积分值是负的

我们定义这个面积是负面积

于是我们就可以说

定积分的几何意义

就是曲边梯形下的面积的代数和

所以这就是

定积分的几何意义

定积分的性质我们来看

常数乘以函数的定积分

可以把常数提出来

然后两个函数的和的定积分

等于这两个函数定积分之和

一个函数的定积分

从a到b的定积分等于谁呢

等于把积分限倒过来的负值

就是积分限一倒过来

它的大小是相等的

符号相反

正好差一个负值

然后我从a到b的积分

等于从a到c的积分

加上从c到b的积分

就是我从这到这的积分

可以当中任意取一点c

等于从a到c的积分

加上c到b的积分

有人问我这c的点

放到外面行不行呢

只要你函数有意义

放到外边这个式子是也对的

我们看到定积分的定义比较复杂

要求和

每个求和要近似等等

真正按定积分来计算的话

非常复杂

实际上真正定积分的计算

不用这么来计算

有个牛莱公式

我们现在来看牛莱公式如何

我们现在还是讨论刚才那问题

刚才的问题呢

就是已知速度是个时间函数v=v(t)

求t=a到t=b

这段时间内走的路程

也就是要求从a到b走的路程

刚才我们说可以用定积分的办法

这个路程就是速度函数

从a到b的定积分

现在我们还要求t=a到t=b它走的路程

但是我们换一个方法

我们想假如你求出来路程函数

S=S(t)

就是t时间内你走了多少路程

那么从a到b你走的路程

就等于S(b)减掉S(a)

所以如果你知道路程函数

那么S从a到b走的路程

就等于S(b)-S(a)

对吧

那么你只要把路程函数求出来

我路程是直接可以算得出来的

那么路程函数跟速度函数

有什么关系呢

我在一个dt时间内

我走的路程近似速度不变

于是dS就等于v(t)dt

因此我们看到

看到谁呢

路程函数实际上是速度函数的

一个原函数

因此我们看到我要想求

速度的从a到b的定积分

怎么样呢

我找出速度函数的原函数S来

让S 上限代进去

S(b)减去S(a)

写作S(t)它的原函数

从a到b的差

于是我们看到

我计算v的定积分的时候

不必那么一个个求和

我只要把v的原函数求出来

定积分就出来了

我们把它推广

推广到任意函数

这就是牛莱公式

牛顿-莱布尼兹公式

如果f(x)在ab上

并且在闭区间ab上连续的话

而且F(x)是f(x)的原函数

于是f(x)的定积分

就等于它的一个原函数的

函数差

写作F(x)|a到b

这就是著名的牛莱公式

就把定积分

和不定积分联系起来了

就是提供了我们计算定积分的

一个最主要的方法

从这里我们还得到启发

我们刚才说

我的任意小区间ΔSi

其实就是S的微分

其实我要想解决定积分的问题的话

我不需要像刚才

又什么划分区间等等

我只需要找到

一个任意区间的微分关系

就是你所要求的

那个函数的微分关系

比如说我要求路程

找到路程和速度的微分关系

找到微分关系的话

直接就得到了定积分的式子

所以我要想求定积分

我们真正解决定积分问题

不必像定积分定义一样

去找小区间求和近似等等

我直接找到任意区间的

你要求的函数

和你已知函数的微分关系

我就可以直接划上定积分

这是给我们的一个启发

那么刚才我们得到了牛莱公式

于是呢

我们就可以做定积分的计算了

那么我们来看

x平方ds

x平方从0到1的定积分

等于多少呢

就先求x平方的不定积分

x平方的不定积分

是1/3的x立方

于是它的不定积分是x^3/3

然后它的下限是0上限是1

然后要想求定积分

就把上限代进去

1/3减去下限代进去0/3

最后结果是1/3

所以我们真正计算定积分

是从不定积分的计算开始的

再看这个

dx/x从2到4的定积分

等于多少呢

1/x的不定积分是ln x

于是就ln x从2到4

那同学说了

说你的1/x积分

不应该是ln x的绝对值吗

为什么这里不加绝对值呢

因为你这定积分从2到4

x是大于0

所以就不用加绝对值了

直接是ln x

ln x 2到4

把4代进去就是ln 4减去ln 2

ln 4减ln 2等于ln 4/2

所以最后的结果就是ln 2

我们再看这个xe^x平方

从0到根号a的定积分

这个可以用我们的

第一类换元法把它积出来

积出来之后(1/2)e^x平方

它的定积分就是把0 根号a

下限上限代进去

上限代进去

就是e的a次方

0代进去是1

结果就是(e^a-1)/2

再看这个

这个就是2[sin(x/2)]^2

做定积分从0到π/2

倍角公式

cos x等于[cos(x/2)]^2

减去[sin(x/2)]^2

等于1-2[sin(x/2)]^2

所以2[sin(x/2)]^2就是它

等于谁呢

等于是1-cos x

它挪过去等于1-cos x

1的不定积分是x

cos x的积分是sin x

所以就变成了

它的不定积分就是x-sin x

从下限到上限

然后把上限代进去

这是π/2

这个是1

把下限代进去

这个是0 这也是0

所以结果是π/2减1

下面说一下

定积分有重要的性质

就是我可以不积出来

我可以直接判断的一些性质

什么性质呢

是在对称区间积分的话

有个性质

什么是对称区间呢

就是我的积分区间

是-a到a

相当于原点对称

这叫对称区间

对称区间

如果被积函数是奇函数的话

不管它是什么样

只要是奇函数

它的积分一定是0

大家看

因为它是奇函数

所以0到负a这个区间的积分

跟o到正a的区间积分正好相反

所以不管这个函数多么复杂

只要它是在对称区间的积函数

那么积分一定是0

如果是偶函数的时候

那么这个部分的积分

等于这部分的积分

于是它就等于2倍的

从0到a的积分

这是偶函数

下面我们再讨论

无穷区间上边的积分

称为广义积分

我们现在说的积分呢定积分

都是有限

它的上限下限都是有限的

这是普通积分

可是我们有些问题呢

要涉及到一个无穷的一个

区间的积分

就叫广义积分

我们来看如何定义广义积分

首先看从一个a

这是一个常数

到正无穷的一个积分

这显然不是一个普通积分

是应该是个属于广义积分的

那么这个积分怎么定义呢

我们先把正无穷积分

换成一个变量b

大家看换成变量b

于是从a到b的积分就是普通积分了

我们把它积出来之后

再让b趋于无穷大

如果这个极限存在的话

就称这个极限

是这个f(x)的

一个广义积分

如果这个极限不存在

就称为这个广义积分发散

这就是从a到正无穷的

一个区间的

一个广义积分

还有从负无穷

到某一个值的一个积分

这也属于广义积分

我们怎么定义呢

跟它类似

我们把下限取作一个变量a

有了a之后

这就是一个普通积分了

把它积出来

然后让a趋于负无穷大

如果这个极限存在

这个极限就叫做

这个积分的广义积分

如果极限不存在

就称为广义积分发散

还有负无穷到正无穷的积分

我们可以把它分成

负无穷到c的一个广义积分

加上从c到正无穷的广义积分

所以就是向无穷区间的广义积分

这就三类

我们看一个例子

1到正无穷1/x^2的积分

我们先把正无穷换成b

这是可以积出来的

dx/x^2 1到b的积分

可以积出来

这个积出来以后

是负的1/x 1到b

这个把上限下限代进去以后

就是负的1/b加上1

然后我再把b向无穷来趋近

取它的极限

就是取这个的极限

那么b趋于正无穷的时候

1/b是0

所以这个极限是存在的

于是这个1就是它的广义积分

这么说呢很复杂

我们就把这个

我们真正计算的广义积分的时候

就不再写b了

我直接把它积出来

把这个广义积分积出来

然后积出来以后是这个结果

然后从1到正无穷

写这个形式

1到正无穷什么意思呢

就是这一项

上限不是一个常数

而是把x取作

趋于正无穷的一个极限

那么下限当然是正的了

如果极限存在

就是广义积分

所以我们大家看写到这

我们最后

我们把它简写成这个形式

就是把它积出来之后

我不再取b了

我直接积出来

写成1到正无穷

我脑子里知道

这个正无穷指的就是这个变量

趋于正无穷的极限

就是这个简记就是这个写法

就是b趋于正无穷写的这个

a趋于负无穷写的这个

这样的话就简单多了

所以真正是这么写

我们现在看一个例子

e^(-3x)从0到正无穷的

广义积分

这个积出来等于-1/3的e^(-3x)

从0到正无穷

把这个函数

x趋于正无穷的话

这个结果是0

因为它前面是负的

所以这一项代进去是0

这一项代进去以后呢

大家注意这可不是0了

e的0次方是1

所以就变成正的1/3

所以这个广义积分是存在的

再看这个

1/x的1到正无穷的积分

1/x的积分是ln x

从1到正无穷

把正无穷代进去

取x趋于正无穷的极限

这是没有的对吧

不存在的

所以这个是积分发散

我们最后呢

讨论一下定积分的应用

我们应用呢假如说

我现在在xy平面上

有一个函数

一个函数曲线

就是y=g(x)的一个函数曲线

这个函数曲线

绕着这x轴从空间来看

绕着x轴旋转一周

这个曲线就划出一个曲面来

对不对

我就这个曲面围出一个体积

我现在就求它绕一圈以后

围出体积

从x=a到b围的体积的大小

所以就求

从a到b这个旋转曲线

所围的空间的大小

我们来计算它

现在第一步就要把所求的体积

写成定积分的形式

然后计算出来

我们刚才说过

有启发那儿我们说过

我们用定积分来讨论问题的时候

不必去求一个划成小区间

我们直接找一个任意小区间

这个小区间宽度是dx

找这个区间上

你所要求的这个体积

和这个宽度的关系

微分关系

如果你找出来了

dV 这不是V的微分吗

dv=f(x)dx

找到这关系了

那么我这个体积就是它的定积分

所以就找到定积分关系了

在这个问题里面

我这个小体积

就是dx区间的小体积

可以近似把这个看作一个平行线

于是它绕一圈围成的体积

可以看作一个圆柱体

宽度为dx的圆柱体

我们知道圆柱体体积

等于底面积乘高

于是在本题里面

dV就等于底面积πr^2 dx

r等于多少呢

r正好等于y

所以就是πy^2 dx

所以这样的话

我们本题里面dV的关系是有的

那么找着微分关系之后

我这个体积就等于f(x)

在从a到b的定积分

对于本题来说

dV刚才已经写了

等于πy^2 dx

于是刚才这个曲线

绕着x轴从a到b

所围的旋转体体积

就等于a到b πg^2 dx

或者是πy^2 a到b的定积分

这样的话

我们就找到了定积分的表达式

就是所谓定积分的应用

就是你把你所要讨论的问题

你所要求的东西

化成定积分

那么就可以用定积分来解决

就是定积分的应用

在我们这个例题里面

我们可以举个例子

如果这个曲线是一个椭圆的话

大家想椭圆的话

这个曲线绕着x轴兜一圈

就形成了一个旋转的椭球体

我要求这个椭球体的这个体积多大

体积多大呢

这个椭圆是x^2/a^2

+y^2/b^2=1

所以这个积分x就从负a

积分到a

然后就是πy^2 dx

我们一看这是偶函数

所以利用刚才的性质

这个偶函数的对称区间定积分呢

等于2倍的从0到a的积分

而y^2等于多少

这里可以把y^2求出来

y^2 等于[1-(x^2/a^2)]b^2

代进来就是这个积分

这个定积分很好积

这个积出来是x

这个积出来是x^3/3

把0到a代进去

最后结果(4/3)πab^2

这是一个旋转椭球体的体积

整个一个球

是旋转椭球体的特殊情况

就是a=b的情况

所以对于球来说a=b=r

于是球的体积(4/3)πr^3

所以我们大家看

我们计算一个球的体积

就利用我们这个定积分

这么简单的一个定积分

就把它算出来了

可见定积分威力无穷

我们刚才的定积分的计算

是公式的计算

许多定积分是不能够用公式算出来的

所以定积分常常用数值来计算

咱们常常说

我的积分数值计算

都指的定积分的数值计算

怎么计算呢

很简单

我的S是等于这些的求和

按它的定义Δxi

是各不相同的

我为了数学计算方便

我把Δx取成一个常数

相同

于是把它提出来

就是∑f(ξ)的求和

这个求和可以一个个加起来

用计算机可有程序来做

所以有现成的计算机程序

来完成定积分的计算

好今天的课就讲到这

力学课程列表：

微积分简介

-一.导数与微分

-二. 积分

绪论

-绪论

Ch1.质点运动学

-§1 矢量简介

-Ch1.质点运动学--习题

-§2质点运动学

-§3 相对运动-参考系变换

-习题

--习题

Ch2. 质点动力学

-§1牛顿力学.力

-§2万有引力定律

-习题--作业

-§3 牛顿力学应用

-§4.非惯性系.惯性力(上)

-习题

--习题

-§4.非惯性系.惯性力(下)

-习题

--习题

Ch3.动量

-§1动量.质点动量定理

-§2质点系动量定理

-习题

-§3质心和质心运动方程

Ch4.功和能

-§1动能.功.动能定理

-Ch4.功和能--习题

-§2保守内力.势能

-§3机械能定理.机械能守恒

-习题

--习题

-§4自由碰撞

Ch5.角动量

-§1质点角动量.质点角动量定理

-习题--作业

-§2质点系角动量定理

-习题

--习题

-§3万有引力场中质点运动

-§4.刚体 (上)

-习题

--习题

-§4.刚体 (下)

-习题

--习题

Ch6.连续介质力学

-§1应力应变

-§2.固体形变和流体静力学(上)

-§2.固体形变和流体静力学(下)

-Ch6.连续介质力学--习题

-§3理想流体动力学(上)

-习题

--习题

-§3理想流体动力学(下)

-§4粘滞流体动力学(上)

-习题

--习题

-§4粘滞流体动力学(下)

-§5流体阻力(上)

-习题

--习题

-§5流体阻力(下)

Ch7. 振动和波

-§1自由振动.简谐振动

-Ch7. 振动和波--习题

-§2阻尼和受迫振动

-§3简谐振动合成(上)

-习题

--作业

-§3简谐振动合成(下)

-§4简谐波

-习题

--作业

-§5波动方程.波速

-习题

--习题

-§6衍射反射折射多普勒效应

-§7简谐波迭加.非谐波传播

-习题

--习题

-§8驻波

-习题

--习题

Ch8.狭义相对论

-§1 基本原理

-§2 L氏坐标变换.速度变换(上)

-习题--作业

-§2 L氏坐标变换.速度变换(下)

-习题

--习题

-§3 相对论动力学基础

-习题

--习题

-§4 质量.动量.能量.力相对论变换;不变量

-习题

--习题

Ch9.广义相对论

-§1.基本原理

-§2史瓦西场中时间与空间(上)

-§2史瓦西场中时间与空间(下)

-§3大爆炸宇宙学简介

Video笔记与讨论

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