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这是我们讨论的

反射定律和折射定律

反射定律折射定律

只涉及到了方向问题

没有涉及到反射波 折射波

与入射波的振幅和位相关系

下面我们讨论一种最简单情况下

入射波和反射波透射波之间的

振幅位相关系

所以就讨论垂直入射时

反射和透射波的振幅与位相

我们现在是平面简谐波ξ1

它的主要参量是

A1跟ф1

入射到的界面

由边界条件

可以求反射波ξ1′

它的主要参量是A1′ф1′

和折射波ξ2

它的主要参量是A2 ф2

以纵波为例

我们采用什么呢

采用复数的平面简谐波的形式

进行讨论

首先我们来看波的描述

大家看

这是一个介质的界面

垂直于这界面

建立一个坐标轴z

在交界面上取作原点O

那么入射波

垂直于界面入射

然后有一个反射波ξ′

还有一个折射波ξ2

我们把这个入射波

反射波 折射波

都用它的复数形式描述

入射波

这是它的三角函数表示法

等于n1cosωt-k1z

把它那ф1取作零

为了简单

它的复数形式这加个星号

就是A1eikez eiωt

把这个时间项分离出去

类似我们写反射波

反射波等于A1′cos ωt+k1z

它是向反方向传播的

所以这是加

但是k1跟这个k1是相等的

相同的

加上ф1′

写成复数形式A1′

e负的ik1z加上i′

就把这个分离出去

然后再把这个时间项

分离出去

类似我们可以写出折射波

这是它的三角函数表示

它向z正方向传播这是负的

但是它到了第二个介质

所以它是k2

但是频率是相同的

入射 反射 折射

频率不变

这是取它的ф2

这是它的复数形式

也把时间项分离出去

边界条件

边界条件有两个

一个是介质连续

所谓介质连续

就在边界面上

两个介质它的位移相等

所以边界上

没有介质撕开等等

各种不连续现象

它是连续的

这是第一个介质连续

第二个应力连续

就是边界面上

两边作用力大小相等

方向相反

所以它应力大小应该是相等的

我们来看介质连续

也就是说两边位移连续

给出的方程就是这样的

这是介质左边的位移

它有入射波又有反射波

所以它俩共同的位移

这就是左边介质的位移

在边界面上

在边界面上体现在z等于0

等于右边介质

就是折射波

它的位移也在边界面上位移

那么我们来看

这是入射波

这是反射波

这是折射波

那么首先在介质的交界面上

所以z等于零

把z取作零

z取作零

那么这个就变成了

A1e负的iωt

这个就是A1′e负i的ф1′

e负iωt

这边也把z取作零

于是就是A2

然后是e负的iф2

e负iωt

我们把时间项分开了

代到这方程里面去

两边就把时间项约掉了

所以剩下的就是

A1+A1′e负iф1′

等于A2e负的iф2

于是由第一个性质

介质连续

我们得到这样一个方程

就是入射波

折射波

反射波

它的振幅和它这个ф

之间的关系

我们再看第二个

应力连续

就是说在边界两边

左边介质里边

由入射波引起的应力

加上由反射波引起的应力

也就是说

左边介质里面总的应力

在边界上等于折射波

在第二种介质里面

引起的应力

这就是应力连续

我们由胡克定律正应力

等于杨氏模量乘以应变

所以应该是杨氏模量

乘以入射波的应变

杨氏模量

乘以反射波的应变

等于第二个介质的杨氏模量

乘以折射波的应变

应变就是位移对z的偏导数

我们用复数形式

于是入射波的应变

就是这个结果

就是它的入射波的复数形式

对z求了偏导数

这是这个结果

实际上就把这前边的系数

放到了前边

就是它的结果

类似是反射波的应变

然后是折射波的应变

我们把应变求出来以后

代到这式子里面去

然后把z取作零

然后把这个时间项

两边消掉

于是就得到了这个结果

就是ik1Y1

A1-A1′e负iф1′

等于ik2Y2A2e负iф2

得到了这个方程

现在要把Y1 Y2

要把它写出来

Y1等于多少呢

Y1等于ρ1v1平方

而k1乘以v1应该等于ω

所以写成ρ1v1ωρ

1v1就是它的特性阻抗

第一个介质特性阻抗z1

于是k1Y1等于z1ω

然后类似k2Y2等于z2ω

从这方程看i消掉了

k乘Y都是z乘以ωω

是相同的约掉

于是我们就得到了这个方程

Z1（A1-A1′e负的iф1′）

等于Z2A2e负的iф2

这个方程

跟我们前面得到的那个方程

两个连列起来

就可以把A1′A2求出来

于是就得到这个结果

A1′除以A1

等于Z1-Z2乘以eiф1′

除以Z1+Z2

类似我们有A2除以A1

就是反射波的振幅

与入射波振幅

折射波振幅与入射波振幅的比

就得到这个结果了

因为边界条件是线性方程

所以我们用复数形式来求解

是完全合理的

因为复数方程代进去以后

可以分解成它的一个实部方程

虚部方程

实部方程

就是我们实实在在的物理方程

所以因为边界条件是线性的

所以我们这种办法

是完全合理的

有了这个结果

我们就可以讨论

位相关系跟振幅关系

首先我们看位相关系

透射波

咱们把刚才那式子把它解出来

把它的iф2求出来

e的iф2

等于A2（Z1+Z2）/2A1Z1

因为这些量都是正实数

所以算出来的话

这边应该是正实数

如果这边是正实数

这正实数必须是正1

于是这个ф2就等于零

所以我们就求出了ф2

ф2是折射波

跟入射波的位相差

位相差是零

所以透射波是没有位相突变

它位相是连续的

这是透射波

透射波的位相关系我们找到了

它跟入射波的位相

没有突变

我们再看反射波

我们也把eiф1′解出来

它等于这个结果

那么这些个也都是正实数

但是要看Z1跟Z2谁大谁小了

如果Z1大于Z2的话

那么右边是正实数

它必然等于正1

于是ф1′等于零

也就是说

从波密介质到了波疏介质

这个Z大叫波密

Z小叫波疏

所以从波密介质到了波疏介质

反射波没有位相突变

这是我们看到这个结果

如果Z1小于Z2

那么这个减出来是负的

于是右边应该是负1

于是这个应该等于负1

于是ф1′等于π

这样的话

从波疏介质到波密介质

它反射波的位相

要发生突变π

那么我们通常称为半波损失

就指的是有个位相突变π

这样话呢

我们把位相关系找到了

位相关系确定之后

那么振幅关系也确定了

我们看就是这个关系

反射波振幅除以入射波振幅

等于Z1-Z2除以Z1+Z2的绝对值

折射波的振幅除以入射波振幅

等于2倍的Z1除以Z1+Z2

于是振幅也确定了

这样的话

我们就看到

决定了反射波 透射波

或者是折射波

它的振幅与位相关系的

就是边界条件

我们再看能量关系

刚才讨论的是振幅的比值

我们现在看能量关系

我们知道

能量是由波的强度来给出的

波的强度

等于二分之一Zω平方A方

所以波的强度

是跟Z成正比

跟A方成正比ω

是相同的

所以就跟Z和A方成正比

这样的话

这是入射波的强度

这是反射波的强度

这样的话

我们的能量反射比

大写的R就等于

应该是反射波的波强

除以入射波的波强

因为Z1都相同

所以最后结果

就是反射波的振幅

与入射波振幅的比值的平方

这就是能量反射比

于是

我们再看能量透射比

能量透射比应该是I2除以I1

I2是跟Z2成正比的

I1是跟Z1成正比的

所以Z1跟Z1不相等

所以它这里变成了

Z2A2的平方

除以Z1A1的平方

这就是能量的透射比

于是

我们就得到了

能量的反射比

能量透射比

把这个A2比上A1代进去

我们得到的透射比

就是这个结果

4倍的Z1Z2

除以Z1+Z2的平方

这是透射比

这是反射比

反射比就等于是

它的振幅之比

就是Z1-Z2

除以Z1+Z2的平方

这是反射比

这是透射比

一看这两个加起来

恰好等于1

反映了能量转换

和能量守恒定律

两种特殊的反射情况

和透射情况

第一个

自由端全反射

就是这是一个介质

这边相当于自由端

就是没有它的控制

所以这边的阻抗特别小

因此Z2小于小于Z1

我们叫自由端反射

那么这样的话

Z2小于小于Z1

刚才我们知道

振幅之比

等于是Z1-Z2除以Z1+Z2

Z2小把它忽略掉

于是比值是1

因此A1′等于A1

再看振幅的折射比

那么等于2倍的Z1

除以Z1+Z2

它小忽略不计

它约等于2

所以A2等于2倍的A1

然后我们来看

它的能量的反射比

能量反射比R

就等于振幅反射比的平方

就等于1

透射比等于4倍的Z1Z2

除以Z1+Z2的平方

它可以忽略不计

于是底下变成Z1的平方

Z1平方跟这个约掉

于是变成了

4倍的Z2除以Z1

我们知道

Z2小于小于Z1

所以它趋于零

所以能量透射比是零

能量反射比是1

所以我们称之为全反射

就是在自由端

能量全部的反射回来

这是一个重要结果

我们再看固定端

就是这边是固定的

于是Z2大于大于Z1

在Z2大于大于Z1的时候

我们同样的去讨论

就得到了反射波的振幅

等于入射波振幅

折射波振幅

或者透射波振幅是零

然后能量反射比是1

能量透射比还是0

所以这就是

固定端也全反射

自由端也全反射

是一个非常重要的结果

我们看一个例子

气体的特性阻抗

是420公斤每米的平方S

那么水的特性阻抗

1.5乘以10的6次方

钢的特性阻抗

4.6乘以10的7次方

所以空气的特性阻抗很小

水的比较大

钢的更大

现在我垂直入射

我计算一下它的透射率

如果波从气体

垂直入射到水里面去

它的透射率是

1乘以10的负3

如果气体垂直入射到钢里面去

它的透射率

只有4乘以10的负5

就相当的小

如果从水里向钢里透射

是0.12

这就是我们

这种垂直入射的透射比

如果想提高

从空气到钢里面的透射率

我们可以采取一种折中的办法

我们先从气体

垂直入射到水里面去

再从水里垂直入射到钢里面去

于是它就等于

气到水的透射率

乘以水到钢的透射率

计算结果

1.2乘以10的负4次方

虽然也小

但是比直接透射

要接近提高一个量级

这就是我们提高怎么样呢

从气到钢的

透射率的一个方法

比如说我们平常做B超

B超它的探头

就是发射超声波的

它直接接触我们身体

这种透射率比较小

所以它当中要加一些润滑剂

一方面润滑

一方面也增大了

从探头向我们体内

发射超声波的透射率