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现在我们来看一下

同频 同振动方向

这指的是矢量的情况

矢量的位移的情况

或者是标量

就是这个振动的

物理量是标量的话

那么它们就可以迭加起来

这个迭加就属于这种情况

同频率的同振动方向的

或者是

同频率的标量的物理量

它的简谐振动的合成

我们讨论这种情况

咱们主要看同振动方向

因为标量呢没有方向问题

咱们现在讨论

同振动方向主要是

那么设振动方向为x方向

第一个简谐振动是x1

等于A1cos（ωt+ф1）

第二个x2等于A2cos（ωt+ф2）

它频率相同

但是是两个不同的简谐振动

但是振动方向一样

都是沿着x方向来振动

这样的话我们就让

这个系统

同时参与这两个振动

我们就把这合振动记做x

就等于两个的相加

因为这个线性系统

它只能是同一个频率的简谐振动

所以合起来以后

它也应该是一个

同频率的简谐振动

我就设它为Acos（ωt+ф）

现在的问题就要把A跟ф求出来

于是我这个振动的合成

问题就解决了

那么

我们现在来讨论一下

我们现在用什么呢

用振幅矢量图

来解决这个问题

大家看

我令合振动的振幅矢量

等于两个分振动的

振幅矢量之和

所谓分振动

就是这两个原来的

x1 x2所对应的振幅矢量

所以A合振动的振幅矢量

等于两个分振动的

振幅矢量之和

为什么它等于它的时候

我的振幅矢量要有这个关系呢

因为

如果振幅矢量满足这个关系的话

这个矢量等式都向x轴投影

于是振幅矢量

它在x轴投影

对应着这个合振动的位移x

它在x轴投影对应着x1

它在x轴投影对应着x2

所以你矢量满足这个等式

就对应着我这个简谐振动

x等于x1+x2

所以我们说

我们振幅矢量就有这个关系

合振动的振幅

等于分矢量的振幅之和

那么

既然是这样的关系

我们就把它画出来

这是振幅矢量图

这个是A1

这是A2

这个就是它们的合成振幅

这样的话合成振幅用矢量的

平行四边形法则就得到了

我现在画图呢

都对应着t等于0时刻的

它们振幅矢量的位置

这是我们的规定

所以这个角度是ф1

第一个矢量的它的初位相

这个角度是ф2

第二个振动的初位相

这个是ф

就是合振动的初位相

有这振幅矢量图

那么向x轴投影

就是Acosф

等于A1cosф1+A2cosф2

向y轴投影

就是Asinф

等于A1sinф1+A2sinф2

于是我们就可以得到

这个合振动的振幅

把刚才那两个等式

平方以后相加

就得到了A等于A1平方+A2平方

加上2倍的A1A2cosΔф开方

那么当Δф等于0的时候

A等于A1+A2

我们称为完全加强

当Δф等于π的时候

A等于A1-A2的绝对值

我们称为相消Δф

是谁呢Δф

就是第一个振动

和第二个振动的位相差

就是ф2减ф1

同时我们还加减2π

使得Δф在负π到正π之间

这跟我们以前的规定是一样的

这是两个简谐振动的位相差

这样的话我们就合起来

把它振幅求出来了

那么这两个

刚才有一个两个投影

把这个除以那个向x轴的投影之比

就得到了tanф

tanф就等于A1sinф1+A2sinф2

除以A1cosф1+A2cosф2

这样的话

已知A1 A2 ф1 ф2

就可以把ф求出来

于是我们就得到了

同频率的

同振动方向的

两个简谐振动的迭加

迭加的合振动的振幅

合振动的外相都求出来了

现在我们举个例子

这是三相余弦交流电

证明线电压

等于根号3倍的相电压

这个V是交流电压的振幅

就是线电压的振幅

等于根号3倍的

相电压的振幅

我们来看一下

现在所谓的三相余弦交流电

就是这儿有个零点

然后有三个线圈

在发电机里面有三个线圈

三个线圈对应着三个端点

ABC三个端点

那么设这个零点是O

那么三个端点是A B C

那么A B C的交变电势

大家注意是电势

是用小写的uA B C O

表示了这四个点的电势

那么相电压它的振幅

V相统一写称V

因为它相电压的振幅是相同的

我们都用V来表示

于是呢

相电压

什么是相电压呢

就是端点 三个线圈的端点

和零点的电位差

定义为相电压

所以三个相电压写做什么呢

大家注意是小写的v

它是一个交变的

一个正弦或者余弦的一个振动

是A跟O的电势差

等于uA减uO

这个呢

它是一个简谐振动

所以就是

它的振幅

相电压的振幅

乘以cosωt1

我们记作v1

类似B跟O的电压

就是它B跟O的电势差

它跟它正好差三分之二π

所以它就写成Vcosωt

加上三分之二π

这是第二个简谐振动的电压

最后是vCO

也是个简谐振动

它是Vcosωt减去三分之二π

它是v3

所以大家看

这是v1

指的是A跟它的电压

这是v2

指的是B跟O的电压

这是v3

指的是C跟O的电压

这三个相电压均匀的

这么样一个简谐振动

那么什么是线电压呢

线电压是两个端点的电势差

我们称为线电压

B跟A

B跟A的电势差

也就是它的线电压是什么呢

就是uB减去uA

uB减uA

等于vBO减去vAO

vBO是uB减uO

那么这个vAO是uA减uO

它俩一减把这个消掉了

就是uB减uA

所以uB减uA

又等于vBO减vAO

vBO是这个简谐振动

是Vcos（ωt+三分之二π）

vAO是这个减去cosωt

这是这两个简谐振动相减

我们刚才讲的都是简谐振动相加

所以把这个负号变正号

变成正号的话

就变成了加上Vcos（ωt+π）

于是就是这两个简谐振动相加

就是它的线电压

这两个合成是线电压

所以就是写成

V线乘以cos（ωt+ф）

V线就是合成的

简谐振动的振幅

既然是两个简谐振动迭加

所以他就可以套用我们刚才的

那个简谐振动迭加的公式

就是它的振幅

等于它的平方加上它的平方

加上2倍的它乘它

再乘以cosΔф

在我们这个问题里面Δф

等于是π

减去三分之二π

等于三分之π

所以把它代进去之后

这个跟这个都是相电压都是相等的

这个是三分之π

是二分之一

所以就变成谁呢

结果就变成了这是v方

这是v方

这又是v方

等于3倍的v方加起来开方

就等于根号3V

也就是根号3倍的V相

我们就证明了

线电压的振幅

是相电压的振幅的根号3倍

第二个例子

我们用振幅矢量图

来求受迫振动的特解

我们刚才用复数的办法

推导出了

受迫振动的特解

觉得已经比较简单了

现在我们用振幅矢量图

来推导受迫振动的特解

你会发现它更简单

我们看特解就是这个解

把这个解代进去

把这个解代到这个

受迫振动的微分方程里面去

于是呢这一项大家看

也是一个简谐振动

它求导以后

仍然是个简谐振动

它求导两次还是简谐振动

所以怎么样呢

这样的话我们把这个解

代到这个方程里面去以后

就相当于

三个简谐振动

它算一个简谐振动

它算一个简谐振动

它算一个简谐振动

它是x1 x2 x3

三个简谐振动迭加起来

这边又是简谐振动

等于第四个简谐振动

所以我们看

我们来求解

把这个特解代进去

来求解这个微分方程

就相当于

由三个简谐振动加起来

等于第四个简谐振动

大家看第一个简谐振动

是ω0平方x

就是把x代进去

就是这个

那么第二个

等于2倍的δx一点

把这个x求导一次以后代进去

是这个结果

x3是x两点

把这个代进去

是这个结果

所以x1 x2 x3

都是已知的

x4就是这个

就是hcosωt

这样的话

x1 x2 x3 x4都有了

于是它对应的振幅 矢量

就有了

A1就等于ω0平方A

A2就等于2δωA

A3就是ω平方A

A4就是h

所以

三个振幅矢量的大小都有了

现在就把它图画出来

图怎么画呢

我先把x轴确定

然后先画x1

x1呢

它跟这个角度是已知的

是负ф

因为它是ф小于零

我为了这个表示加个负ф

因为ф小于零

所以它是在这个线的底下

这个

画出A1来

就把这个A1ω平方画出来

这是第一个振幅矢量

第二个振幅矢量

大家看

它是这个的一阶导数

我们曾经说过

凡是一个简谐振动求导之后

得到的简谐振动

比原来简谐振动

超前二分之π

超前二分之π

对于振幅矢量来说

就相当于逆时针转90度

所以大家看这是

第一个振幅矢量

第二个振幅矢量

比它超前二分之π

于是在振幅矢量的基础上

沿着逆时针方向转90度

这就是第二个振幅矢量的方向

它的大小有了

A2

同样A3呢

x3是x2的导数

它也应该在A2的基础上

逆时针转90度

这是A3

它的大小是已知的

然后

这就是三个振幅矢量的迭加

迭加起来

应该等于第四个振幅矢量

第四个振幅矢量大家看

它的俯角是零

或者它的初位相是零

所以它是沿着x轴的

于是这个矢量

加这个矢量

加这个矢量

就回到了x轴上

等于A4

由这个振幅矢量图

我们就可以求出谁呢

求出A来

求出ф角来

大家看

由这个图

我这个的平方

等于这个平方加这个平方

这个的大小

等于A1减A3

所以等于A1减A3的平方

加上A2的平方

所以A4的平方等于这个结果

把这个A1 A2 A3 A4都代进去

于是就是A4是x平方

A1减A3

A1减A3

就是ω0平方减去ω平方

再平方

然后呢A2的平方是这个

就是4倍的δ平方ω平方

所以这个式子

这个矢量的关系式

把这个A1 A2 A3 A4代进去

得到这个结果

于是就把A求出来了

A呢

就是h除以这个的开方

再看ф角

这个角度它的正切等于是

这个长度除以这个长度

这个长度是A2

这个长度是A1减A3

所以就是

A2除以A1减A3

把A1 A2 A3都代进去

就是2倍的δω

除以ω0平方减ω平方

于是ф也求出来了

所以大家看

我就用这个振幅矢量图

来解决几个简谐振动的合成

就把我那个受迫振动的特解

解出来了

这个是求特解的

最简单的方法