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欠阻尼振动

它的阻尼系数是小于

系统的本征圆频率

那么它的振动函数

就是它的一个

衰减因子e负δt

乘以谐振因子

这样的话

欠阻尼振动

它确实是一个往复的振动

它就等于衰减因子

乘以谐振因子

它是一个往复运动

但不是简谐振动

所以本来它是一个非周期运动

但是

我们看在谐振因子的面上

我们还可以定义谁呢

定义欠阻尼振动的周期

按说非周期运动

应该是没有周期的

但是我们看在有谐振因子的面上

定义它的周期

周期等于ω′除以2π

把这ф′定义为初相

就是初位相

它的位相ψ′等于ω′t+ф′

在我们看到的情况

是它的欠阻尼振动的圆频率

小于系统的本征圆频率

而且振幅不断衰减

所以体现出阻尼的影响

大家看这就是

欠阻尼振动的振动曲线

它不是一个周期运动

所以它的这样一个不断的衰减

那么连续两次通过平衡位的时候

是它周期的一半

所以这个就是它的振动的周期

欠阻尼的振动速度

我们把x对时间求导一次

就可以得到它的速度了

它的速度是两项

其中一项是e负的δt

里边还有一个cosω′t加上ф′

所以它对t求导的时候出来两项

就是这个结果

其中ψ′是阻尼振动的位相

是等于ω′t加上ф′

我们看一个例子

将振子拉到最大位移x0处松手

求该阻尼振动

那么也就要求它的A和ф′

初始条件就是

t等于零的时候

它的位移是x0

t等于零的时候

它的速度是零

我们看x等于

Ae负tcosω′t加上ф′

t取零的时候

那么这一项就变成1了

这个cosω′t加上ф′

就变成了ф′

于是就得到这个方程

在t等于零的时候位移

等于Acosф′

再看第二个初始条件

t等于零的时候速度是零

把这个t等于零代进来

这一项是1

这一项是ф′

这一项是ф′

于是就等于

负A（ω′sinф′+δcosф′）

它等于零

于是由这个式子

就可以把tanф′求出来

tanф′等于负的δ除以ω′

于是ф′

就等于阿戈tan负δ除以ω′

于是ф′就得到了

下面就需要求A

求A的话

就要把cosф′求出来

那么cosф′

等于塞肯特ф′分之一

塞肯特ф′等于

1+tanф′平方再开方

所以cosф′

就等于1+tanф′平方的

负的二分之一次分

然后把tanф′代进来

就得这个结果

我们又知道ω′平方等于ω

0平方减去δ平方

所以ω′平方加上δ平方

应该就等于ω零平方

再开方变成ω零

于是cosф′

就等于ω′除以ω0

于是

就可以把A求出来了

A就等于x0除以cosф′

就等于这个结果

然后把ω′用ω0跟δ平方代进去

最后就把A求出来了

A有了ф′

有了

于是我们阻尼振动就有了

阻尼振动

就是Ae负δtcos（ω′t+ф′）ф′

知道了

A知道了

就确定了这个阻尼振动

下面我们看一下

欠阻尼振动的机械能

它的机械能应该等于

动能加上势能

它的k等于mω0平方

这是我们从ω0的定义得到的ω

0平方等于k除m

所以k等于mω0平方

然后ω′平方刚才说了

它等于ω0平方减δ平方

于是把刚才求的那个x和v

以及k等于mω0平方代进去

E就等于这个结果

其中还用到了这个条件

那么最后得到了

欠阻尼振动的机械能

我们看到它是这样一项

其中这里包含了两个

一个这个余弦形式

和这个的正弦形式

我们现在重点讨论小阻尼振动

这是小阻尼振动

是欠阻尼振动里面的

重要的一个内容

什么是小阻尼振动呢

小阻尼振动

就是阻尼系数非常小

远远小于它的本征圆频率

因此在小阻尼振动情况下

本征圆频率

就约等于阻尼振动的圆频率

这样的话它小于小于它

我们知道ω′等于2π除以T′

把它乘过去

就是δ乘以T′

就小于小于1

这就是小阻尼振动的特点

就是它的阻尼系数非常小

阻尼系数乘以它的周期

小于小于1

这样的话

在一个周期里面

它的振动的振幅几乎不变

所以我们把小阻尼振动

称为振幅衰减的简谐振动

因为它在一个周期里几乎不变

我们下面

就定量的说明一下

它的振幅在一个周期里几乎不变

我们把小阻尼振动

写成这个形式

就是它的振幅

是一个时间的函数

乘以一个余弦函数

所以这就是

以它为振幅的一个余弦振动

那么

它的这个振幅

是A乘以e负的δt

所以它是时间函数

我们来看

T时刻是这个振幅

过了一个周期

它的振幅就应该变成

Ae负的δt加上周期

把这两个拆开

就变成了Ae负的δ小t

加上e负的δ大T

那么前面这一项

就是t时刻的振幅

这一项就是它

在一个周期里边它的衰减

我们知道刚才说了

小阻尼振动δT′小于小于1

所以这一项约等于1

所以就约等于At

所以在一个周期里面

它的振幅几乎保持不变

所以我们就说

它是一个振幅缓慢衰减的

简谐振动

刚才我们计算出

阻尼振动的机械能是这个结果

对于小阻尼振动的时候

我们可以求出它的

平均的机械能

所谓平均机械能

就在一个周期里面

对时间积分

然后取平均

也就是机械能

在一个周期里面积分

然后除以这周期的长度

就是机械能对时间的平均值

一般情况下

这是很难计算的

因为这里头有这两项

计算结果也比较复杂

但是对小阻尼振动

我们可以做近似计算

刚才说了我们已经说明了

在一个周期里面

这At几乎不变

也就是在一个周期里面

把这个都近似看作常数

可以提到积分号的外面来

于是在里面

就是对这个的积分

这个积分一看就很容易积出来

因为什么呢

因为cos2倍的ψ′

sin2倍的ψ′

都是周期函数

在一个周期里积分是零

所以这两项都是零

所以平均机械能结果很简单

就是二分之mω0平方A方

e负的2倍δt

也可以写成

二分之kA方e负的2倍的δt

那么二分之kA方

或者是二分之mω0平方A方

它约等于谁呢

就约等于t等于零时候的机械能

我们看这个

把这个t取作零

这是t等于零时候的机械能

这一项是1

那么这个和这两项因为都有δ

小阻尼δ相当的小

小于小于ω零

所以这两项可以忽略不计

于是t等于零时候的E零

就约等于二分之mω0平方A方

或者是二分之kA方

所以平均机械能就等于e零

e负的2倍的δt

也就是说

平均机械能

是初始的机械能

以2δt的指数衰减

进一步近似

我们把机械能

就约等于平均机械能

于是我们就近似为机械能

就是小阻尼振动的机械能

它是谁呢

它是按照e负的2δt

这样来衰减

从t等于零的时候

这么样的衰减下去