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我们看哈根泊肃叶公式

是不可压缩的

粘滞流体的基本方程

但是用它来解决问题

太过于复杂

所以我们像我们现在讨论

更多的是用

考虑了粘滞性的这个

伯努利方程

来进行定性的讨论

所以下面我们推导一下

这个不可压缩的粘性流体的

定常流动下

它所满足的

伯努利的方程

那么我们应用仿照前边推导

伯努利方程的方法

来用机械能定理

推导考虑了粘滞性的

伯努利方程

其中增加了粘滞力做功

大家看

还是原来那个弧形

我们还是把AB这段的流体

当做我们研究对象

那么还是用机械能定理

这机械能定理

是外力做功

等于它的机械能的增量

那么现在外力

除了压力做功之外

还有粘滞力

就是摩擦力做功

所以首先是摩擦力做功

从1点到2点

那么它做的功

加上这个压力做的功

我们这个已经前边推导了

压力做的功

是P1减P2乘以dV

然后它的机械能增量

这是增加的

这是减小

所以跟刚才推导的类似

只是增加了这一项

于是得到了

粘滞流体的伯努利方程

不可压缩的粘性的流体

定常流动时沿着流线

大家看

它的应用条件三条

比我们前边的伯努利方程

少了一条

就是少了理想流体

有了粘滞性

怎么样呢

P1加上二分之一ρv1的平方

加上ρgz1

这三项加起来

等于2点这三项

怎么样

它不完全相等

还加上一项W12

这就是

粘滞流体的伯努利方程

这也是很快重要的

进行定性讨论的一个方程

其中W12等于负的

W粘滞性的1到2

就是它是等于这个

粘滞力做功的负值

粘滞力是等于dW

就是我从这儿到这儿

这个流体粘滞力做的功

因此我们这一项叫什么呢

这一项叫

单位体积流体从1到2

克服粘滞阻力做的功

所以它一般来说是正的

这W12就是

我这流体从1到2

单位体积流体

克服粘滞力做的功

所以它一般来说是正的

我们知道水的粘滞性

是很小的

但是我们要说明的是

即使很小的粘滞性

在很多情况下

也是不能忽略的

所以对于一般的流体来说

粘滞性小

在很多情况下

是要起到决定性作用的

我们下面

就给大家做一下

演示水的粘滞性的

一个实验

大家看一下这个现象

大家看这些个水柱表示了

这些点和大气的压强差

它们的高度并不是零

而是一个沿着这个方向

一个直线的增加

这就是我们的水的

粘滞性的实验的演示

对于这个演示现象

详细的讨论

我们下面进行

我们看一个粘滞现象的演示

这是一个大的水槽

下面接一个水平的细流管

这流管是比较细的

在这个细流管上

间隔一段距离l

就分出一个竖直的细流管

然后一个一个的

建立起了竖直的细流管

那么水流就从这儿流过来

从这个B处是开口流出去

这B是出口

那么这样的话我们看

因为这水槽很大

这水管很细

所以近似为定常流动

这就是我们看这个现象

因为这竖直的细管

水流是不流的

所以水柱的高度

就显示了这一点

跟流体里边的

压强之间的压强差

所以呢

这个P2就这点的流体的压强

等于谁呢

等于P0加上ρgH2

类似这个压强

等于P0加上ρgH3

所以水平流管的

上边的水流液面的高度

显示了这个和大气压的压强差

那么这个w12从这点到这点

刚才说

单位体积流体

克服粘滞阻力做的功

就是w1到2

这是w2到3

w3到4等等

大家看

由对称性知道这儿

知道这儿

知道这儿

它这个粘滞阻力做的功应该是

单位体积流体

克服粘滞阻力做的功

应该是相等的

所以w12就等于w23

我们用小写的w代表

那么我们来看

如果把水

看作理想流体的话

我们知道一般水的黏度是很小的

我们很多情况下

是把水看作是一个理想流体

没有粘滞性

如果是理想流体的话

注意

在水平细管里面

它的流速

跟高度是相同的

所以按理想流体的

伯努利方程

应该是P加上二分之一ρv方

加上ρgz等于常数

v跟z都相同

所以在整个水平流管里边

压强都应该相同

等于这一点出口处的压强

我们说出口处的水流是水平的

所以出口处的压强

就等于P0

所以假如你认为

这水是理想流体话

这里边处处压强都相等

都等于P0

既然这压强等于P0了

这个各处的水柱高度

都应该是零

所以如果是理想流体的话

各个细管水柱的高度

都应该是零

可是实际上我们看到

水柱的高度都不是零

而且是个线性关系

从出口沿着这线性关系到这儿

在这个上边结出一个高度H1来

因此我们看到

实际上它有高度

说明什么呢

说明在这种情况下

即使水的黏度很小

也绝不能把它看作理想流体

所以就说明了这个

很多情况下

粘滞性要发挥作用

粘滞性要在实验现象里

起到效果

所以它绝对不是理想流体

而是粘滞流体

如果是粘滞流体

我们就应用

粘滞流体的伯努利方程

粘滞流体伯努利方程

就是P2加上二分之一ρv方

加上ρgz等于谁呢

等于P3加上二分之一ρv方

加上ρgz

再加上w2到3 对吧

其中流速这个高度都相同

约掉了

于是P2等于P3加上w23

因此这个之间的w

也就是我们刚才说的w

就等于P2减P3

所以w就等于前后的压强差

前后压强差

就体现在液柱的高度差上

所以就等于ρgΔH

所以我们看到这个结果

因为这样的话那么w相同

所以它的高度差相同

所以它是线性的

所以我们的实验

就得到了正确的解释

它恰好是我们所讨论的

粘滞流体的伯努利方程的一个

说明的对象

所以是线性关系

那么

从细管我w从这儿1到B

等于多少呢

等于w1到2加上w2到3

一共加起来

加起来就等于多少呢

等于ρgH1

大家注意

这个是w细管又叫沿途损失

它等于谁呢

等于ρgH1

H1是我从B这点

沿着这条线直线画下来

到这个地方的高度

H0是这个液面的高度

H0比H1大

H0减去H1等于小h

这是我们在这里做的分析

下面这个

就是我们的分析的详细说明

于是我们现在呢

除了这个沿途损失之外

我们看

这个水流从大水槽

进到小细管

从大到小

这有一个由于管径突变

还要有一个损失

还有个损失

这个损失我们就它略去了

于是把液面

咱们刚才看

液面的高度A处

跟这个水流的出口B处

弄一流线

用粘滞流体的伯努利方程

把这个A跟B建立起关系来

A就是P0

压强P0加上ρgH0

加上流速是零

等于B处的P0

因为B处它的出口也是P0

加上它的高度是零

加上它的流速是二分之ρv方

再加上w细管

注意

你从A

到进水那个细管进水的地方

它要经过粗管还要有流动

所以在粗管上

还有一个沿途损失

所以用这个

粘滞流体的伯努利方程

就有这个关系

于是二分之ρv方

就等于ρgH0减H1

就我们刚才说的小h

再减去w粗管

因为这w细管是ρgH1

已经把它利用了

那么还剩下一个粗管

还要减去这个粗管的沿途损失

我们知道管越粗

沿途损失越小

所以这个是很小的

这个可以忽略不计

于是约等于ρgH0减H1

H0减H1就是小h

所以

二分之ρv方约等于ρgh

于是流速等于多少呢

流速等于根号下2gh

这就是我们对这个的

问题的讨论

考虑粘滞性之后

在这个管里面

流体的流速并不相同

我们曾经讨论过

在这个推导

哈根泊肃叶公式的时候曾经说过

在水平流管里边

它流速是不均匀的

在轴线上流速最大

管壁上流速是零

所以我们这里所说的

流速v不是某一处的

而是指的平均流速

所以这要说明

粘滞流体水平均匀流动的前后

必须有压强差

就是粘滞流体

要想在水平面上流动

必须有压强差才可以

没有压强差是不可能流动的

那么在这个静止的流体

表面是水平的

可是自然流动的流体

考虑粘滞性之后

前后一定有压强差

所以它应该是有高度差

也就是我们俗话说的

水向低处流

你必须有一个高度差

自然的水才能够流动

像这个等截面的明渠

每层水的流速都相同

对水面上1跟2两点

我们应用咱们刚才说的

这个关系式

就是P0这点1点

加上二分之一ρv方

加上ρgz1

等于P0加上二分之ρv方

加上ρgz2

这是2点

再加上从1到2的w12

于是z1减z2

就等于w12除以ρg

因此就是这里必须有高度差

才能够使得它产生流动

所以这就是我们说的

自然流动

必须有高度差