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质点动量定理

我们把描述

系统或者质点

它的状态的物理量

动量引出来了

又把跟动量有关的过程量引出来了

那么动量的增量

和过程量的关系

就是质点动量定理

首先看微分形式

力等于动量的变化率

这哪来的呢

牛顿第二定律

所以牛顿第二定律

本质上就和我们这个

动量定理的微分形式

是完全相同的

把这个dt乘过去

于是Fdt就是元冲量

力的元冲量就等于动量的微分

这就是

质点动量定理的微分形式

动量的微分等于合力的元冲量

其实它就是牛顿第二定律

再看积分形式

这个微分形式两边一积分

记积分这边就是冲量

就是从t1到t2这个力的冲量

等于谁呢

等于动量的增量

质点动量定理的积分形式

就是合力在这段时间内的冲量

等于这段时间内动量的增量

这是一个光滑的水平面

上边用一个轻绳

系着一个小球

小球做一个匀速率的圆周运动

运动的半径是R

然后我们再来看

这个是我把这个平面投影到这儿

这就是那个上平面

小球在这个平面上

做一个匀速率圆周运动

这个半径是R

建立坐标之后

这一点我取作A

这点取作B

这点取作C

我们问你求什么呢

求你从A点到B点到C点

再回到A点

这些过程里面

动量的增量是多少

这是第一个问题

第二个

从A到B的过程中

这个过程中

小球所受的各个力

它的冲量是多少

以及所受的合力的冲量是多少

大家看

小球受几个力呢

一个力是重力

一个力是支持力

这俩是相等的

大小相等

还有一个是绳子的张力

所以小球受三个力

我要求这三个力

分别在这段时间内的冲量

以及这三个力的合力的冲量

就要求这个问题

我们现在

先对m来讨论

首先我们看到

因为做的是匀速率圆周运动

所以在整个过程里面

它的动量的大小处处相等

所以PA等于PB等于PC

我就写作P=mv

我现在先求它的动量的增量

我用矢量的形式直接写出来

我求从A到B动量的增量

等于多少呢

就等于B处的动量减去A处的动量

它们大小相等就是方向不一样

大家看

B处的动量它是谁呢

是负x方向

所以等于P乘以负x

所以是负的

然后再看这个PA等于多少呢

是正的P乘以y

然后这里要减去它

所以也是负号

所以提出来

就是负的mv（x+y）

这是从A到B

我们再看从A到C

它的末态是负的P乘以y

这点是正的P乘y

负的P乘y减去正的P乘y

于是等于负2倍的P乘y

就是负2倍的mvy

所以这就是从A到C

最后我们来求

从A再回到A

它动量增量多少呢

因为它动量没变

所以是0

这样的话我们就讨论了

这几个过程的动量的增量

下面呢

要讨论力的冲量

力的冲量跟从A到B的时间有关

所以我们先把这时间求出来

这个时间从A到B的时间差

所用的时间我们用τ来表示

它等于走的这段距离

除以它的速度

这段距离是πR/2

所以等于πR/2v

首先求正压力N它的冲量

正压力N的冲量

等于正压力的矢量乘以时间长度τ

正压力是等于mgz

它是向上的

所以就是mgτz

这样就得到了

我们再看重力的冲量

重力冲量等于mg

大家注意这是个矢量

mg乘以τ

它就等于负的mgτz

它跟这个正好是大小相等方向相反

所以等于负的N的冲量

下面求绳子张力的冲量

那么绳子张力大小是不变的

对吧

那么它的冲量

也等于力乘以τ

行不行呢

不行的

因为虽然这张力的大小不变

但是方向改变

所以张力不是常矢量

我们刚才为什么可以把冲量写成

力乘以时间呢

因为这个N和这个mg都是常矢量

所以常矢量它的冲量

等于力直接乘以时间的差

而这个张力虽然大小不变

方向改变

它不是常矢量

所以不能用它来乘时间得到冲量

必须怎么样呢

必须积分

大家看就是这个结果

力F的冲量等于Fdt对时间的积分

就是F对时间的积分

那么F对于时间的积分

F等于多少呢

F=mv²/R

这是F

然后它是什么方向呢

它是径向向里的

所以它是我们现在把这个R矢量

这个R矢量是径向向外

因为从这儿开始的R矢量

径向向外

所以这儿出现一个负号

它本来应该是mv²除以R乘以dt

现在我下边乘个R

上边把这个R单位矢量写成R矢量

所以这样的话

我下边也乘一个变成R²了

这就是我们这个力

然后乘dt

然后对它来积分

但是我们现在积分

我们要把这个R写成什么呢

要写成一个

直角坐标系的分量的形式

分量形式的时候

这里有φ

对t来积分这有φ两个不同参量

不好处理

所以我们要进一步的

改造这个式子

大家看v乘dt等于多少呢

是它走了这段

dt时间内走的小路程ds

vdt等于ds

这段小路程等于R乘以dφ

所以它应该等于R乘dφ

所以vdt

等于Rdφ

于是把R消掉一个

我们就变成了负的mv

R矢径乘以dφ再除以R

然后这个R矢径除以R

就是R的单位矢量

大家注意R的单位矢量就是这个方向

R的单位矢量写成投影式

就是变成了cosφx+sinφy

所以这一项就是

R这个矢量的单位矢量

把mv提出去

所以负的mv在外面对它来积分

这时候积分变量就不是t了

是对φ来积分

于是积分从0到π/2

Cosφ 0到π/2的积分是1

sinφ从0到π/2积分也是1

所以最后结果就是负的mv(x+y）

这就是一个变量

力是变量情况下

求它的冲量

变量情况下求冲量

就要进行积分

积分还要写成投影形式

进行一个解析的计算

那么合力的冲量

就等于三个力的冲量之和

我们刚才说

这两类冲量大小相等 方向相反

互相抵消了

所以最后就剩下F的冲量

F的冲量等于负的mv（x+y）

跟这一比较大家看

从A到B动量的增量

恰好是这个值

所以合力的冲量

就等于这段时间内动量的增量

正好满足我们的动量定理

我们再看第二个例子

第二个例子这是一个气壁

气壁有一个小球来碰它

那么这是开始的速度v0

这是碰之后的速度v

v跟v0大小是相同的

都是30厘米每秒

然后入射角等于反射角

这个角度都是45度

碰壁的时间τ等于0.05秒

求碰壁过程中

球对壁给的平均冲力

就是壁受的平均冲力

我们现在用矢量形式

也是动量定理的积分形式来做

对小球它的冲量应该等于谁呢

动量的增量

动量的增量大家看

这个方向上

这个动量的分量是相同的

所以这个方向上

动量没有增量

增量就是在x方向上

碰完之后

动量是这个方向

来的时候动量是这个方向

就是它在x轴上的分量

是这个方向

所以回去的时候

碰完之后它的动量是mv

乘以cosα 是负的

减去来的时候是mv0乘以cosα

v等于v0

所以结果是负的2倍的mv0cosα

所以单位方向是x方向

这是它的这个结果

所以我们写成矢量的形式

那么对于这个壁来说

因为这个是对小球受到的冲量

由牛顿第三定律

它给壁的冲量正好等于谁呢

等于它的负值

那么平均力

壁所受的平均力

就等于壁所受的冲量除以时间

这是我们刚才已经得到的关系式

那么

于是这个I是这个值

I′是它的负值

所以这个就取个负号

变成了2mv0cosα除以τ x方向

把它计算出来是424牛顿

这个单位矢量方向不要丢

因为你写的是矢量式子