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Video课程教案、知识点、字幕

好这个运动问题呢

我们就已经讨论到这儿了

我们讨论的是以矢径

来描述质点的位置

以位移来描述质点的

位置的变化

以速度来描述

它的运动的快慢等等

但是我们这里有个问题

什么问题呢

就是我的描述质点位置的变化

用的是△r

△r是位移

是个矢径的增量

注意

它可不是路程

△r的模不等于△s

△s才是在△t时间内走的路程

它不是路程

所以我们现在要说明一下

如何计算这个路程

路程是一个标量

不能用这些个矢量来计算

那么怎么计算呢

有两个方法

一个已知轨迹

如果知道了

质点运动的轨迹

就可以用轨迹的办法来计算

从这一点到这一点走的路程

初始条件

就是x等于0的时候

走的路程是s0

那么

要求路程就要求路程的微分dx

dx等于多少呢

大家看

我从这运动到这

沿着这一条曲线运动对吧

曲线运动

当我这个时间△t非常短变成dt的时候

这一条曲线就变成了近似一条直线

一条直线的话

这一条直线它的长度

就等于dx²+dy²再开方

所以ds等于dx²+dy²

再开方

我把dx²提出来就变成dx了

里边剩下谁呢

是1+dy/dx的平方

就是y'的平方

所以ds等于多少呢

等于1+y'²再开方乘以dx

我有了这个微分关系式

就可以得到它了

于是s-s0就等于谁呢

就等于这个1+y'²的

二分之一次方

它的定积分从0到x的定积分

所以你要想求路程

等于s0加上1+y'²

的二分之一次方的定积分

那么y’

就是曲线的导数

这是已知这个轨迹方程

另一种方法呢

我知道了这个质点运动的速率

我们知道

这速率和这个路程

有这个关系

ds等于速率乘dt

所以知道了速率

就可以求出路程了

于是呢

s就等于t等于0的时候的

初始的s0

加上v 0到t的定积分

所以第二种方法

知道它的速率

就可以求出路程来

我们看一个例子

咱们平抛问题里的例子

这是刚才的平抛问题对吧

我先要让你求什么呢

后抛出去之后

当这质点

它距离原点的坐标是x的时候

它走的路程是多少

让你计算这个

我就用刚才的办法来计算

首先

第一种办法要知道轨迹方程

对吧知道这个轨迹

这个轨迹呢就是z关于x的函数

所以要把z求出来

t时刻我这个x等于多少呢

x等于速率

x方向的速率或者是速度投影

b乘以t

所以s=bt

这个z等于多少呢

z是负的它等于gt²/2

把t等于x/b代进去

就得到了这一条曲线的函数方程

z等于这样的一个x的函数

描述了一条曲线方程

于是质点走到这儿的时候

它在这的路程是多少呢

就等于开始的路程是0

然后是1+z'²

二分之一次方

就是这个z对x的导数

它的平方再开方

然后从0到x的积分

把它的导数求出来平方

大家看就这个结果

再对它求导就是2x 对吧

2跟2约掉了

就是b²分之gx 一平方

b的4次方分之g²x²

然后再开方　再积分

这个积分不让你去积了

直接查积分表

积分表就是这个积分表

有这个积分表

把这个代进去

积分结果就是这个结果

所以这个结果就是

从原点到这一点

平抛物体走的路程

这是第一种方法

已知轨迹来做这个积分

这道题还可以用

第二种方法来做

因为什么呢

我知道它的速率

就是可以求出它的速率来

它的速率等于多少呢

我们知道速率

就是应该等于

它在直角坐标系的

速度的投影的平方和再开方

就等于vx²+vy²+vz²再开方

那么vx等于b

所以b²

它的这个vz等于gt

gt平方对吧

vy²没有 vy没有

所以就是vx²加上vz²

再开方

这就是它的速率

这个速率从0到t的积分

也查表得到这个结果

但是这还没完

因为你要求的是

质点在x处

它走的路程

所以还要把时间

跟这个x建立起关系来

什么关系呢

就是刚才就是这个关系

x等于bt

所以t呢就等于x/b

把t=x/b代到这里来

结果跟它是相同的

这样的话呢

我们就解决了

求路程的问题

这样的话我们就把

一个质点的运动学的关系式

运动学的主要的参量

运动学的主要问题

都讨论了

我们矢径是矢量

速度也是矢量

加速度也是矢量

所以我们整个的

都是一个矢量方程

计算是用投影来计算

解析来计算

所以写到这儿呢

就是有一个阶段

但是还没有完

还有什么问题呢

还有坐标系的问题

力学课程列表：

微积分简介

-一.导数与微分

-二. 积分

绪论

-绪论

Ch1.质点运动学

-§1 矢量简介

-Ch1.质点运动学--习题

-§2质点运动学

-§3 相对运动-参考系变换

-习题

--习题

Ch2. 质点动力学

-§1牛顿力学.力

-§2万有引力定律

-习题--作业

-§3 牛顿力学应用

-§4.非惯性系.惯性力(上)

-习题

--习题

-§4.非惯性系.惯性力(下)

-习题

--习题

Ch3.动量

-§1动量.质点动量定理

-§2质点系动量定理

-习题

-§3质心和质心运动方程

Ch4.功和能

-§1动能.功.动能定理

-Ch4.功和能--习题

-§2保守内力.势能

-§3机械能定理.机械能守恒

-习题

--习题

-§4自由碰撞

Ch5.角动量

-§1质点角动量.质点角动量定理

-习题--作业

-§2质点系角动量定理

-习题

--习题

-§3万有引力场中质点运动

-§4.刚体 (上)

-习题

--习题

-§4.刚体 (下)

-习题

--习题

Ch6.连续介质力学

-§1应力应变

-§2.固体形变和流体静力学(上)

-§2.固体形变和流体静力学(下)

-Ch6.连续介质力学--习题

-§3理想流体动力学(上)

-习题

--习题

-§3理想流体动力学(下)

-§4粘滞流体动力学(上)

-习题

--习题

-§4粘滞流体动力学(下)

-§5流体阻力(上)

-习题

--习题

-§5流体阻力(下)

Ch7. 振动和波

-§1自由振动.简谐振动

-Ch7. 振动和波--习题

-§2阻尼和受迫振动

-§3简谐振动合成(上)

-习题

--作业

-§3简谐振动合成(下)

-§4简谐波

-习题

--作业

-§5波动方程.波速

-习题

--习题

-§6衍射反射折射多普勒效应

-§7简谐波迭加.非谐波传播

-习题

--习题

-§8驻波

-习题

--习题

Ch8.狭义相对论

-§1 基本原理

-§2 L氏坐标变换.速度变换(上)

-习题--作业

-§2 L氏坐标变换.速度变换(下)

-习题

--习题

-§3 相对论动力学基础

-习题

--习题

-§4 质量.动量.能量.力相对论变换;不变量

-习题

--习题

Ch9.广义相对论

-§1.基本原理

-§2史瓦西场中时间与空间(上)

-§2史瓦西场中时间与空间(下)

-§3大爆炸宇宙学简介

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