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Video课程教案、知识点、字幕

那么有人就问了

说是本来直角坐标系的

关系那么简单

你为什么要用平面极坐标系呢

我们说

在很多问题里面

采用平面极坐标系

会使得你的问题的讨论

大大简化

我们举两个例子来看一下

第一个例子

行星运动是一个椭圆轨道

大家看

太阳是椭圆轨道的一个交点

我选择呢平面极坐标

这个是极点

这个是Ox轴

这是它的矢径

这是θ角

我们知道太阳的万有引力

是一个径向力

因此

它没有横向力

没有横向力

于是呢这个质点

它的横向加速度应该是0

横向加速度是0

于是呢大家看

就是这个是0

于是这个r方θ一点对时间导数是0

说明什么呢

说明r方θ一点

是跟时间无关的常数

那么这个又说明什么呢

说明我这个矢径

单位时间内扫过的面积

叫面积速率

是一个跟时间无关的常数

那么这个就是什么呢

是开普勒第二定律

大家看

开普勒总结了行星运动

一共三个定律

其中一个定律

就是这个面积速率是常数

就是矢径单位时间内

扫过的面积是常数

这是经过多少年的观察总结

得到的结论

而我们只是利用了万有引力

是径向力

再利用了平面极坐标系

立刻就得到了

轻而易举就得到了

说明了

平面极坐标系的重大威力

它是研究

行星运动的最有力的

最合适的坐标系

简单说一下什么是面积速率

面积速率就是它

dt时间内走过的面积的比值

单位dt时间内扫过面积多少呢

dt时间内它转的角度是dθ

于是它扫过的面积

就等于r²dθ/2

那么这个dA等于它

然后把它代进来

就可以得到

dA/dθ

等于二分之r方θ一点

所以r方θ一点是常数

就是面积速率是常数

这就是开普勒第二定律

我们再看第二个例子

第二个例子呢

是昆虫的运动

其实就是一些个小的

像飞蛾等等运动

夜间运动呢

常常以月光为基准

那么它想从这一点到那一点去

因为它看不清这个路线

它怎么办呢

它去看月亮

这一点在这儿

于是呢

它沿着一个跟月光

固定的角度

往那边飞行

它就是沿着直线到那点了

这就是

昆虫在夜间运动的时候的

一个方法

这是昆虫学家总结出来的

就是昆虫在夜间从一点到这一点

它是在保持跟月亮的那条直线

成固定角度来运动

现在呢

我们就来看

假设昆虫以某个光源

作为它的月亮

我们看它走什么样的路线

现在这是某一个光源

这是昆虫

它沿着这一点

到光源的这条直线

确定了夹角来运动

在这种情况下

让你计算一下　讨论一下

这个昆虫的运动轨迹

这个时候

你如果用直角坐标系来讨论

非常困难

几乎无法下手

但是我用极坐标系就可以讨论了

我把光源选择极点

这是个极轴

这是这个昆虫的矢径

它所谓的跟这个方向固定

就是说它跟矢径的径向方向

运动速度跟径向方向

保持一个确定的角度

这个角度如果确定了

那么把这个速度分解成两个

一个是横向速度vθ

这是一个vr

vθ/vr就是一个

确定的一个常数

于是我们就根据这个讨论

你看vθ/vr是tanα

α定了

这个比值就确定了

vθ等于多少呢

vθ等于r乘以θ一点

vr等于多少呢

等于r一点

θ一点等于dθ/dt

r一点等于dr/dt

俩都有dt dt约掉了

于是就变成了rdθ/dr

于是我们选用了平面极坐标

立刻就得到了一个参数方程

什么参数方程呢

就是rθ这样一个参量的

一个方程

由这个参数方程

我们就可以解出它的轨迹来

我们把这个r呢

dr乘过去把r除过去

把这个tanα除过来

这叫分离变量

就是把关于r的变量

都分解到方程的这一边

把θ变量都分解到这一边

这一边是θ作为变量

这一边是r作为变量

从这一步到这一步的术语

叫做分离变量

分离变量之后

我怎么得到解呢

我可以用两边来积分

做定积分

两边做定积分的办法

这边做定积分

就是t等于0的时候它的θ

就是θ0

到哪儿呢到θ来定积分

这边也是定积分

从t等于0的时候

r0到t时候的r 两边定积分

定积分之后我们来看

解是多少呢

要是有初始条件

假设

初始条件θ t等于0的时候

它的θ是0

t等于0的时候它是r0

所以这边是从θ0 0积分到θ

这边呢是从r0积到r

大家看dθ的积分就是θ

对吧 θ

那么就是从θ减0

所以左边是θ减去θ0就是θ

右边的呢是dr除以r的积分

dr/r的积分呢

是lnr lnr就是lnr除r0

所以结果就是θ

等于tanαln(r/r0)

我把tanα除过去

就变成了cotα乘以θ

等于ln(r/r0)

ln(r/r0)就把它变成谁呢

变成这个的指数

于是这个r/r0

就等于e的cotα乘以θ

我lnr等于一个数

比如说等于a

那么r呢就等于e^a

所以就是这个

所以r就等于r0乘以

e^cotαθ

这就是它的运动轨迹

是一条螺线

是一条这么转动的螺线

就是这么转动的螺线

它保持这个数不变

这个角度不变

它其实绕着它转

于是这就得到结果了

就是它的螺线

假设

它的这个α等于3π/4

于是cotα就是负的

然后呢这样的话

r等于r0e^-θ

就是负1 负θ

如果当θ等于2π

就是这个昆虫绕着它转一圈的话

大家注意

它这是3π/4

所以它是先是这么运动

这么运动

这个角度是3π/4

它是向这个方向运动

于是呢这个方向运动

它如果绕着它转一圈的话

那么转一圈

末尾到这一点的距离

跟原来的距离之比是多少呢

是1/535

就是它缩小到中心的

是1/535

这就叫飞蛾扑火

所以如果把这个火当做光源的时候

它向这个方向运动

于是转一圈

就等于到了火堆上了

这叫飞蛾扑火

这是什么呢

这是平面极坐标系

力学课程列表：

微积分简介

-一.导数与微分

-二. 积分

绪论

-绪论

Ch1.质点运动学

-§1 矢量简介

-Ch1.质点运动学--习题

-§2质点运动学

-§3 相对运动-参考系变换

-习题

--习题

Ch2. 质点动力学

-§1牛顿力学.力

-§2万有引力定律

-习题--作业

-§3 牛顿力学应用

-§4.非惯性系.惯性力(上)

-习题

--习题

-§4.非惯性系.惯性力(下)

-习题

--习题

Ch3.动量

-§1动量.质点动量定理

-§2质点系动量定理

-习题

-§3质心和质心运动方程

Ch4.功和能

-§1动能.功.动能定理

-Ch4.功和能--习题

-§2保守内力.势能

-§3机械能定理.机械能守恒

-习题

--习题

-§4自由碰撞

Ch5.角动量

-§1质点角动量.质点角动量定理

-习题--作业

-§2质点系角动量定理

-习题

--习题

-§3万有引力场中质点运动

-§4.刚体 (上)

-习题

--习题

-§4.刚体 (下)

-习题

--习题

Ch6.连续介质力学

-§1应力应变

-§2.固体形变和流体静力学(上)

-§2.固体形变和流体静力学(下)

-Ch6.连续介质力学--习题

-§3理想流体动力学(上)

-习题

--习题

-§3理想流体动力学(下)

-§4粘滞流体动力学(上)

-习题

--习题

-§4粘滞流体动力学(下)

-§5流体阻力(上)

-习题

--习题

-§5流体阻力(下)

Ch7. 振动和波

-§1自由振动.简谐振动

-Ch7. 振动和波--习题

-§2阻尼和受迫振动

-§3简谐振动合成(上)

-习题

--作业

-§3简谐振动合成(下)

-§4简谐波

-习题

--作业

-§5波动方程.波速

-习题

--习题

-§6衍射反射折射多普勒效应

-§7简谐波迭加.非谐波传播

-习题

--习题

-§8驻波

-习题

--习题

Ch8.狭义相对论

-§1 基本原理

-§2 L氏坐标变换.速度变换(上)

-习题--作业

-§2 L氏坐标变换.速度变换(下)

-习题

--习题

-§3 相对论动力学基础

-习题

--习题

-§4 质量.动量.能量.力相对论变换;不变量

-习题

--习题

Ch9.广义相对论

-§1.基本原理

-§2史瓦西场中时间与空间(上)

-§2史瓦西场中时间与空间(下)

-§3大爆炸宇宙学简介

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