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Video课程教案、知识点、字幕

下面看一个例子

一个质量为m

长度为l的一根均匀绳

绳子上系一个质量为Ｍ的小球

在光滑的水平面上

以ω角速度来匀角速旋转

让你求绳中的张力

这个和我们以前的例子

不一样的地方是什么呢

就是考虑了绳子的质量

不再说轻绳

不在忽略绳子的质量了

于是跟以前的讨论

就截然不同

我们来看

你既然考虑了绳子的质量

就要讨论绳子的运动

可是绳子在做转动的时候

各处的速度都不相同

于是

你就不能把绳子看做质点了

把绳子看做质点模型

就不对了

怎么办呢

我还要用牛顿定律

牛顿定律

是一个质点的运动定律

所以我还要找质点

而整根绳子不能看做质点

所以这样怎么办呢

就要利用微分思想

微分思想就是说

我在这个绳子上

找一小段的这个绳子

作为一个质元

因为这绳子很小

趋于0

所以它可以看作是均匀的

速度相同的一个质点

这就是我们的微分思想

这样的话我在绳子上

先选一个径向坐标r

在r到r+dr的地方

这段绳子当做我的研究对象

把它叫做dm

质量为dm

研究对象

把它作为研究对象

就要把这个地方

想象中切开

于是这个绳子对它的作用

用一个张力

r处的张力来表示

这边绳子对它的作用

用这儿的一个张力T

r加dr处的张力来表示

这样的话

就是把这个看做一个质点

因为它趋于零

质量也趋于零

可以看做一个质点

这样的话也是我们前面说的

我把对象选作什么

选作质点

选作质点是需要条件的

因为它选的很小

可以看做质点

这样的话就可以对它

应用什么呢

牛顿定律

牛顿定律

是一个关于质点的运动定律

于是对这个质元

利用法向列公式

那么就是这个地方的张力

是指的法向

所以它是正的

就是正的T(r)

这个张力是向外的

按法向方向它应该负的

所以-T(r+dr)

这是合力等于谁呢

等于它的这个质量

乘以它的加速度

加速度是ω平方r

质量是dm

dm等于多少呢

因为这个绳子是均匀的

所以它的线密度

就是m除以l

线密度乘以它的长度dr

就是dm 所以dm

等于它的线密度乘以dr

线密度就是m除以l

所以结果这边变成了

mω平方r乘以dr除以l

这就是dm

代进去得这结果

然后我们再看这边

这边是有个负号

我把负号这加个括弧

于是变成了Ｔ(r+dr)减去T(r)

Ｔ(r+dr)减T(r)

就是dT

就是两个很接近的

函数值的差

就是它的微分

所以就是T的微分

前面有个负号是-dT

于是我们就得到了

这个关系式

写成这个形式之后

下面就两边定积分

那么这边一个定积分

然后这边一个定积分

一般情况下

定积分都要从0开始

从0积到r

这边从0处的张量

积到r处的张量

可是我这个积分

没有这么积

原因是什么原因呢

就是原点处的张力

我是未知的

我是不知道的

所以你积分出来

还有一个未知量

存在那里非常麻烦

可是这里边

哪个地方的张力是已知的呢

端点处的张力是已知的

我可以直接计算出来

所以我的积分

就从r积到端点l

那么这个张力

就从r处的张力T(r)

积到了端点处的张力T(l)

这么积分

这个积分

就变成了T(l)减去T(r)

这个积分

就是得的这个结果

于是我们就可以知道

l处的张力

l处的张力

T(r)等于T(l)加上这些东西

那么下面就要把l处的

张力计算出来

计算l处张力要对M来讨论

对M的时候

它受的张力

等于它的向心力

因为它是一个质点小球

所以它的向心力就是

Mω平方l

于是T(l)就变成已知的了

把这个结果带进来

就把这结果求出来了

这样呢

我们就把问题讨论清楚了

在这个问题里面

我们采用了微分思想

和微分方法

于是我们看到应用数学

与物理是相辅相成的

我们一般都说

数学是物理的工具

我自己觉得这句话

是不完全正确的

实际上应用数学

也是一个自然科学的一部分

应用数学也体现了

自然的规律

所以它不仅仅是个工具

它本身是一个自然规律

而我们物理不是应用数学

而是跟数学相辅相成

我们物理里面

渗透了大量的

应用数学的思想

特别是微积分思想

所以我们可以说

物理学的骨子里头

渗透着微积分

渗透着应用数学

所以不要看两个

是截然分开的东西

两个是相辅相成

数学应用数学

也把物理的问题

当作它的主要研究对象

所以两者是非常密切的

相互渗透的一种关系

力学课程列表：

微积分简介

-一.导数与微分

-二. 积分

绪论

-绪论

Ch1.质点运动学

-§1 矢量简介

-Ch1.质点运动学--习题

-§2质点运动学

-§3 相对运动-参考系变换

-习题

--习题

Ch2. 质点动力学

-§1牛顿力学.力

-§2万有引力定律

-习题--作业

-§3 牛顿力学应用

-§4.非惯性系.惯性力(上)

-习题

--习题

-§4.非惯性系.惯性力(下)

-习题

--习题

Ch3.动量

-§1动量.质点动量定理

-§2质点系动量定理

-习题

-§3质心和质心运动方程

Ch4.功和能

-§1动能.功.动能定理

-Ch4.功和能--习题

-§2保守内力.势能

-§3机械能定理.机械能守恒

-习题

--习题

-§4自由碰撞

Ch5.角动量

-§1质点角动量.质点角动量定理

-习题--作业

-§2质点系角动量定理

-习题

--习题

-§3万有引力场中质点运动

-§4.刚体 (上)

-习题

--习题

-§4.刚体 (下)

-习题

--习题

Ch6.连续介质力学

-§1应力应变

-§2.固体形变和流体静力学(上)

-§2.固体形变和流体静力学(下)

-Ch6.连续介质力学--习题

-§3理想流体动力学(上)

-习题

--习题

-§3理想流体动力学(下)

-§4粘滞流体动力学(上)

-习题

--习题

-§4粘滞流体动力学(下)

-§5流体阻力(上)

-习题

--习题

-§5流体阻力(下)

Ch7. 振动和波

-§1自由振动.简谐振动

-Ch7. 振动和波--习题

-§2阻尼和受迫振动

-§3简谐振动合成(上)

-习题

--作业

-§3简谐振动合成(下)

-§4简谐波

-习题

--作业

-§5波动方程.波速

-习题

--习题

-§6衍射反射折射多普勒效应

-§7简谐波迭加.非谐波传播

-习题

--习题

-§8驻波

-习题

--习题

Ch8.狭义相对论

-§1 基本原理

-§2 L氏坐标变换.速度变换(上)

-习题--作业

-§2 L氏坐标变换.速度变换(下)

-习题

--习题

-§3 相对论动力学基础

-习题

--习题

-§4 质量.动量.能量.力相对论变换;不变量

-习题

--习题

Ch9.广义相对论

-§1.基本原理

-§2史瓦西场中时间与空间(上)

-§2史瓦西场中时间与空间(下)

-§3大爆炸宇宙学简介

Video笔记与讨论

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