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首先讨论正碰的关系式

全部都采用投影

大家看

这就是我们的画出来的示意图

这是两个小球

开始的速度它是u1

它是u2

这是它的投影

这是x坐标

碰撞之后的速度是v1 v2

这是碰撞之后的速度

也都是投影

那么能够实现碰撞的条件

就是它的速度比它大

所以才能追上它而且发生碰撞

当然如果它是负的话

它是反方向那能更碰得上

然后碰之后

它的速度要比它大或者相等

这才能分离

所以v1要小于等于v2

我们建立起它的普遍方程

这里要说一下

我们讨论的是什么样的问题

我们不讨论它的中间过程

我们只讨论它的碰撞前后的状态

也就是说

我知道了这个小球的材料

知道这个小球的材料

知道这个小球的质量是m1

这个小球的质量是m2

u1 u2是已知的

这是它的已知条件

要求的是什么呢

求的是碰撞之后的它的速度

就是v1 v2是未知的

前面那些个m1 m2 u1

u2以及材料都是已知

求的是碰撞之后的速度

这是我们要讨论的

所以要建立方程组

来解出v1 v2

首先我们说

只要是自由碰

它一定动量守恒

所以建立起动量守恒的方程来

这是一维的

就是一个

碰撞之后的动量

等于碰撞之前的动量

这是两个未知数

一个方程不够

所以我们还要利用一个经验公式

就是牛顿关系

由牛顿关系得到另一个

关于v1 v2的方程

就是这个方程

那么这个方程表示什么意思呢

什么是牛顿关系呢

e是什么参量呢

我们来看

这里边最后加以解释

e叫恢复系数

什么是恢复系数呢

就是两个小球碰撞的之后

分离的速度

除以碰撞之前

接近的速度

就是两个碰撞之后的速度差

除以碰撞之前的速度差

取绝对值

求它的绝对值

这就叫恢复系数

我们知道碰撞之后

是它的速度大

它的速度小

所以是v2减v1

碰撞之前是它的速度大

它的速度小

除以u1减u2

这就是我们的恢复系数

因为恢复系数是绝对值

所以这恢复系数

一定是大于等于0

e大于等于0

那么通过实验知道

如果两个小球的材料确定的话

这个e是个常数

所以知道了小球的材料

e是已知的

大家看e是已知的

这俩是已知的

于是把这个关系式代进来

就得到牛顿关系

于是两个方程

就可以把这两个未知数解出来了

我们来看

这是一个实验

来测量两种材料的

恢复系数的一种方法

这是m1

这是m2

m1是个小球

m2是做成一个大的平板

它两个是两种材料

这个m1

在高度x上

把它松手让它自由下落

碰了m2之后反弹

弹的高度是小h

我们就由这两个数据

就可以测出

这两个材料之间的恢复系数

当然也可以同样材料

也可以不同材料

来测量恢复系数

我们来看

y是这个方向

这个是碰撞

碰之前的这个小球速度

u1等于根号下2gH

那么碰了之后

它的弹回去的速度

就v1是负的根号下2gh

而大平板碰前碰后速度都是0

所以平板的速度都是0

于是恢复系数

就等于碰之后的速度差

它的速度是0

0减去v1

然后碰之前的速度差

就是u1减0

结果等于根号下

小h除以大H

所以我们把待测材料

做成小球跟大平板

就可以测出

这两种材料的恢复系数

比如说常见的

玻璃跟玻璃的碰撞

恢复系数0.94

铁跟铝的碰撞0.12

铝跟铝的碰撞0.20

这就是恢复系数

而刚才的关系式

就叫牛顿关系

我们由刚才的两个方程

可以解出来

普遍解

碰之后的第一个小球的速度

等于u1减去m2除以m1+mz

这是1+e乘以u1减u2

那么v2

大家注意

v2的时候

把这个换了

把这个换了

其他大体相同

把那负号变成正好

你看v2等于u2加上m1除以

这些个都相同

这就是v2

我们就由基本的方程

得到了普遍解

由普遍解

就可以讨论一切

有关正碰的问题

那么这就是我们的研究方法

先找出特点来

然后建立起方程

得到普遍解

然后讨论实际问题

我们来分析一下

首先第一种

叫完全非弹性碰撞

e等于0

就是两个不分离

结合在一起了

这个时候v1等于v2

就等于质心速度

等于m1u1+m2u2除以m1+m2

这是第一种情况

第二种弹性碰撞

e等于1

那么为什么它是弹性碰撞呢

我们以后会讨论

动能损失的时候

知道在这种情况下

没有机械能损失

所以它是弹性碰撞

e等于1

把e等于1

代到这个方程里面去

就得到结果了

v1等于它

v2等于它

而这两个速度差

正好是大小相等

方向相反

就是v1减v2等于负的u1减u2

这可以直接从这个来计算出来

其实不用它也能计算出来

我们知道e等于谁呢

e等于这个

它的分离速度除以接近速度

e等于1

所以它俩的比值绝对值是1

然后方向相反

所以加上负号

这就是弹性碰撞的特点

就是碰之前的速度差

跟碰之后的速度差

接近速度跟分离速度

正好差一个负号

我们讨论

弹性碰撞这几个特殊情况

第一个特殊情况

两个质点的质量相同

于是碰之后v1等于u2

就是这两个小球碰了

碰之后它的速度

变成了碰之前它的速度

它的速度

等于它碰之前它的速度

v2等于u1

就是说

这种碰撞等于交换速度

如果大家看

如果这个小球静止

这个小球跟它质量相同

撞上去

弹性碰撞

于是它变成静止

它以它的速度走

这叫交换速度

这是第一种情况

第二种情况

我们讨论

这个第二个小球静止的时候

有什么特点

就是在这样的情况里头

第二个小球静止不动

于是得到它的v1 v2

这样的话

从这两个可以分析出来

如果m1大于大于m2

从这个式子分析出来

这个v1约等于u1

因为m1大于大于m2

可以把它忽略不计

这俩一除变成1

所以v1约等于u1

然后v2约等于2倍的u1

所以这个忽略不计

它俩一消等于2倍的，

所以就这种情况。

也就是说

这个小球静止不动

这个质量非常大的小球撞上去

而且弹性碰撞

于是怎么样呢

大小球的速度基本不变

小的小球速度

以2倍的它的速度逃离

就是这种情况

反过来

如果m1小于小于m2

就这是非常大的小球

这是很小的小球

碰了之后

这个第一个小球

基本上是原速返回

第二个小球几乎不动

这个最明显的例子

就是我们拿球去碰墙

碰墙相当于跟地球相碰

所以地球这墙是不动的

这个效果球原速返回

这就是弹性碰撞的情况

然后我们说

弹性碰撞是可逆的

什么是可逆的大家看

原来过程我是1碰2

它的初速度u1

它的初速度u2

碰完之后它变成了v1

变成了v2

这个跑了

这个在后头走的慢了

如果反过来

我把这整个反向

它去碰它

用什么呢

用v2去碰v1

大家看

反过来我把这个速度是v2

这个速度是v1

就是这个速度反过来去碰它

于是这个小球的速度

变成什么呢

这个小球变成了u2

这个小秋的速度变成了u1

就是它两个的过程是可逆的

这就是碰撞可逆现象

我们下面通过两个实验

给大家看一看

弹性碰撞的这几个特点

这个实验

是两个钢球碰撞实验

钢球跟钢球相碰

可以近似为弹性碰撞

弹性碰撞的情况下

m1的质量小于小于m2质量

当m1去碰静止的m2的时候

那么m1是原速弹回

m2几乎不动

在我们实验里

质量的悬殊没有那么大

所以这个小球

是基本原速弹回

大球还有一些移动

大家看这实验

这就是小球碰大球

这样的实验

反过来如果大球碰小球

那么大球的速度几乎不变

小球的速度

应该是大球速度的2倍弹回

当然这个不是那种

质量悬殊的情况

它略有点差别

我们来看一下

这就是大球碰小球的实验

在这个实验里面

我们还可以演示一种

弹性碰撞可逆的现象

那么第一次碰撞

碰撞之后

又发生第二次碰撞

第二次碰撞

它在同一地点进行

为什么呢

就因为它两个的绳长是一样的

周期一样

所以第二次碰撞

发生在原地点

而第二次碰撞

是第一次碰撞的逆碰撞

我们说弹性碰撞可逆

就是逆碰撞

就是完全的跟原碰撞是可逆的

所以逆碰撞实现之后

原来静止的钢球

会静止下来

我们来看这个实验

大家注意

我现在是小球碰大球

那么逆碰撞实现之后

大球应该不动

我们来看是不是这种情况

不动不动

不动

确实在逆碰撞的时候

大球不动了

我们现在再反过来看一下

大球碰小球

在逆碰撞实现之后

小球是不是不动

不动 不动 不动

确实逆碰撞实现之后

小球静止不动

这就是我们演示的

大小球碰撞的实验

下面我们接着看第二个实验

大家看

一共是五个小球

我现在把第一个小球拉起来

那四个小球

紧紧靠在一起

这样的话

我们用一个小球

去碰四个小球

应该相当于小球碰大球

那么这样的话

这四个小球是缓慢运动

它基本上原速返回

大家看这实验

实验结果

和我们刚才的预想

完全不一样

道理在什么地方呢

大家看

我们这个实验

它是这边碰一下

那边是一个小球弹起来

我们知道

如果两个小球

它是弹性碰撞

而且质量相等的话

那么它应该是交换速度

如果我一个动的小球

去碰一个质量相等的小球

对心碰撞的话

那么动的小球应该静止

静止小球

以动的小球的速度运动

这就是弹性碰撞里面

质量相同的两个小球

对心碰撞情况下

交换速度

那么这样看起来

我们这实验

实际上是交换速度

那道理在什么地方呢

这个实验

就体现了我们讲的

宏观碰的这种剧烈程度

它是一个剧烈的

短暂时间的

一种强烈的相互作用

因此作用时间极短

而位移又极小

所以看起来

是一个小球去碰四个小球

实际上

是一个小球去碰第二个小球

第二个小球获得速度以后

碰第三个小球

实际上

是一个一个小球碰下去

传递的速度

所以这个实验

让我们看到了宏观碰的特点

我们再来看一下这实验

它确实

是一个一个小球的

单独的碰撞

彼此交换了速度

我们还可以让两个小球一块儿

来进行碰撞

大家看

两个小球碰撞

使得那两个小球弹起来

看起来

是两个小球一起碰撞

实际上

也是一个一个的小球

彼此的独立碰撞

交换了速度

所以这个实验

就是演示了这个特点