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第四节 简谐波

我们这简谐波是以机械波为例

讨论波的描述

波的产生

传播等等

有关波的情况

以简谐波为主

那么

波动我们来讨论

什么是波动

实际上

我们前边讲的振动

都是为波动做准备

真正的个别的质点的振动

实际上是很少的

这些情况

绝大部分的振动

都是处于连续介质里面

一个集体内部的

质元的振动情况

绝大部分的振动

都是连续介质里面

质元在振动

而连续介质里面质元的振动

它不是孤立的

它是什么呢

它跟整个连续介质

是密切相关的

所以各个质元

在它的平衡位置附近振动

同时又跟其他的振动

相互关联

成为一个整体

我们称之为波动

那么这就是

连续介质的一个集体运动的

一个重要形式

就是波动

波动是物质

它的一种主要的运动形式

是连续介质受到扰动后

内部的整体反响

波动是最常见的物理现象

在力学 光学 电磁学

热学等等

都有它的体现

所以波动是物质世界

最普遍的运动形式

那么除了机械波之外

凡是物理量它的运动

它的变化

满足波动方程的

我们都称这物理量

在做着波动

所以波动

不仅仅限于机械波

所有物理量

都可能做波动

我们讨论主要讨论机械波

而且主要讨论是一维机械波

就是最简单的情况

我们来看机械波

那么机械波

就是连续介质

它的内部质点的

整体的波动情况

波动情况怎么产生的呢

一般需要一个波源

一个波源

它在这儿做振动

它振动

就带动它周围的介质做振动

而周围介质

又带动了它周围介质振动

于是波源的振动

就通过介质传播过去

我们为了表示前后的次序

我们称前边的波振动

称为波动的上游

由波动上游带动的后面的振动

称为波动的下游

当然

上下游是相对的

我先在这个地方做一个波动

它带动了它下游的波动

波动又带动了它的

再下游的波动

所以上下游是相对的

就这样由于它连续介质内部

介质之间的联系

就把波源的振动

传播到整个介质里面

形成介质的一个整体的波动

那么波的传播速度v

称为波速

我们来看波函数

描述波动的函数

称为波函数

我们先看如何描述波

这是一个连续介质

连续介质里任意确定一个点

一个质元P点

用谁呢

用它的一个矢径来描述

那么这个点

它做着一个运动

它的运动位移

这是它的平衡位置

从平衡位置做出来的位移

我们用ξ矢量来描述

于是我们把这个ξ矢量

它的位置和时间的关系给出来

那么就是一个波动的函数

称为波函数

它给出来什么意义呢

就是说

有了这个波函数

就把任意的平衡位置处的质元

在任意时刻

它的位移就确定了

所以我们说的给出的波函数

就是确定任意时刻

任意位置

它的质元的位移情况

这就是给出了整个的波动情况

就是波函数

波函数就是给出了位移

位移是谁呢

是质元的坐标r

以及时间t的函数

给定的质元

那么r是定值的话

它相对平衡位置的振动

就是ξ(r,t)

它是相对时间的变化

它是一个时间的函数

这就是这个地方质元的振动

这是波函数的一个方面

给出你波函数来

那么确定了一个位置

那么就得到一个时间函数

这个时间函数f(t)

就是这个点处的质元

它的振动情况

那么这个质元它的振动速度

就是它的位移

对时间的导数

它的加速度

就是位移

对时间的二阶导数

给定了时刻

假如给定了某一时刻

那么各个质元的位置

就是整个介质里面

各个质元的位置

就是一个空间位置的函数

所以有了波函数

就可以确定

任意时刻整个介质的分布

所以

波函数

它就是这样的一个形式

把整个的连续介质里面

任何一点的

任何时刻的位移都确定了

我们波分成两种

一种是横波

就是质点的运动速度

跟波的传播速度互相垂直

这是横波

还有一种是纵波

质点的运动速度

也就是振动速度

和它的波的传播方向平行

这叫纵波

注意在我们这里边

u表示的是

质点或者质元的速度

振动速度

v表示波的传播速度

它两个是两回事

下面考虑在一条直线上

把这条直线取做z轴

直线上各个质元

它形成的波

这就是一维波

而各个质元

它的振动方向都相同

把它取作一个

共同的单位矢量ξ

于是波函数简化成

一个它的投影ξ(z,t)

乘以ξ单位矢量

波形图

波形图呢

就是我当某一时刻

位移和z的曲线图

咱不是一条直线嘛

就是在某一时刻

各个质元它的位移

和它的平衡位置的曲线图

也就是ξ(z)

等于ξ(z,t0)

本来它应该是两个函数

现在是把时间确定

就是t0确定

它只是一个空间位置的函数

横波的波形相当于照相

大家看

这就是某一时刻横波的波形

在某一时刻

原来在一条直线上的这些质元

它垂直于直线方向

因为这个直线方向

就是波传播的方向

它的振动方向跟它垂直

所以这个点在横轴上

它在原点

然后这一点向下运动到这儿

它运动到这儿

这一点又是在原点上

这个向上 向上

于是大家看

我这个实际的一个位置

就构成了一个波形图

这就是横波的波形

相当于照片就可以了

可是纵波的波形呢

照相是不行的

你要画出图来

大家看这就是纵波

这个上边画的是

各个质点的平衡位置

下面是某一时刻

它的实际位置

我们来看这个点

这个点它的平衡位置在这儿

它的实际位置在这儿

也就是说它没有任何移动

所以它的位移是零

在这波形图上它的位移是零

再看这个点

这个平衡位置在这儿

实际位置在这儿

它这儿有一个位移

所以它的位移就是向上的

沿着z轴方向的

再看这一点是最大位移

它离这个最远

从这儿到这儿

就是它的位移

就是这个地方的位移

然后这同样画出来

到这儿又在原点

它不动

到这儿它的位移是反方向了

它的平衡位置在这儿

它的实际位置在这儿

它的位移

跟z轴的方向相反

所以反方向

于是画在下边

这是最大位移

到了这儿

然后这又在原点不动

到这儿

所以这就是纵波的波形图

你需要画出来

我们再注意看一下

纵波有个特点

你看它的实际位置

这个地方质元变得稀疏了

这个地方质元变得密集了

这个地方又变成稀疏了

所以纵波又叫疏密波

有的地方稀疏

有的地方密集

所以纵波又叫疏密波

这是横波模型

我们来看一下

横波模型是什么样

一个是盯住这个上面的某一点

比如说你盯住一个红点

发现这些红点

在它的平衡位置上下

做简谐振动

而这些点彼此之间都有联系

因此每一个点都做简谐振动

互相有联系

就形成了一个波动

你如果眯着眼睛看

这是横波的波形

它是刚性的

以一个匀速的向前传播

振动方向和传播方向垂直

这就是横波

如果你眯着眼睛的话

你会发现

整个的波形

刚性的向前方传播

而每个点

在它的平衡位置上下

做简谐振动

这就是横波的模型

这是纵波模型

是由一个一个弹簧圈

联系起来构成的一个纵波模型

我把它作为波源

让它波动起来

那么每个弹簧圈

在平衡位置做前后的

简谐振动

整个形成一个前后的纵波

振动方向

跟波的传播方向是一致的

大家一会儿会看到

纵波的波形

纵波波形有一个特点

它又叫疏密波

有的地方密

有的地方疏

那么你一会儿看到的黑圈

就是密的地方

这样的话你仔细看会发现

整个波

特别是那种密的地方

它是一个匀速的向前传播

我们来看一下这个纵波